2026年数学建模与计算思维测试题目

2026年数学建模与计算思维测试题目第一部分：问题求解（共5题，每题15分，总分75分）1.问题背景：某城市交通管理局需要对2026年春节期间（2月1日至2月12日）的交通流量进行预测，以优化道路资源配置。根据历史数据，春节期间的交通流量受天气、节假日、周边大型活动等多种因素影响。假设交通流量可以用时间序列模型进行拟合，并结合机器学习算法进行短期预测。题目：（1）收集近5年春节期间该城市的每日交通流量数据（假设数据已提供），建立时间序列模型（如ARIMA模型）对交通流量进行拟合，并分析主要影响因素。（2）利用机器学习算法（如LSTM或XGBoost）对未来3天的交通流量进行预测，并给出预测结果的置信区间。（3）根据预测结果，设计一个简单的交通信号灯配时优化方案，以缓解高峰时段的交通拥堵。答案与解析：（1）时间序列模型建立：-数据预处理：剔除异常值，进行平稳性检验（如ADF检验），若不平稳则差分处理。-模型选择：ARIMA(p,d,q)模型，通过ACF和PACF图确定参数，如ARIMA(1,1,1)。-影响因素分析：结合节假日、天气数据，使用多元线性回归或随机森林分析关键因素。（2）机器学习预测：-LSTM模型：输入历史流量数据（如过去14天），训练模型并进行预测，输出未来3天流量。-置信区间：通过Bootstrap方法计算预测误差的95%置信区间。（3）信号灯优化方案：-高峰时段（如上午7-9点、下午5-7点）延长绿灯时间，短时黄灯，其余时段动态调整。-验证：模拟优化前后流量变化，如优化后拥堵指数下降20%。2.问题背景：某地区农业部门需要评估2026年春季干旱对该地区主要农作物（小麦、玉米）产量的影响。已知该地区2026年3月-5月的降雨量比历史同期减少30%，且气温偏高2℃。需结合气象数据和作物生长模型进行产量预测。题目：（1）收集该地区近10年的气象数据（降雨量、温度）和农作物产量数据，建立相关性分析模型。（2）利用机器学习算法（如支持向量回归SVR）预测干旱条件下小麦和玉米的产量变化，并分析关键影响因子。（3）提出至少两种农业干预措施（如灌溉策略、品种改良），以减轻干旱对产量的影响。答案与解析：（1）相关性分析：-使用Pearson相关系数分析降雨量、温度与产量的关系。-建立线性回归模型：产量=β₀+β₁×降雨量+β₂×温度+ε。（2）SVR预测：-特征工程：加入历史产量、土壤湿度等变量。-模型训练：使用RBF核函数，调整超参数C、γ。-关键因子：通过SHAP值分析，温度和降雨量是主要影响因子。（3）农业干预措施：-灌溉策略：精准灌溉（如滴灌），减少蒸发损失。-品种改良：选育抗旱品种，如耐旱小麦。3.问题背景：某电商平台需要优化其推荐算法，以提高用户购买转化率。假设平台已有用户行为数据（浏览、加购、购买），需结合协同过滤和深度学习模型进行推荐系统设计。题目：（1）基于用户-商品评分矩阵，设计协同过滤算法（如User-BasedCF或Item-BasedCF）计算用户相似度，并给出推荐列表。（2）利用深度学习模型（如Wide&Deep）结合用户特征和商品特征，预测用户购买概率，并优化推荐排序。（3）设计A/B测试方案，验证新推荐算法对购买转化率的提升效果。答案与解析：（1）协同过滤算法：-User-BasedCF：计算余弦相似度，选择最相似用户的历史购买记录作为推荐。-推荐列表：Top-N相似用户的最热门商品。（2）Wide&Deep模型：-特征工程：用户年龄、性别、购买历史等；商品类别、价格等。-模型结构：Wide部分使用逻辑回归，Deep部分使用DNN，结合双线性注意力机制。（3）A/B测试方案：-对照组使用传统推荐算法，实验组使用新算法。-指标：转化率、点击率，使用t检验分析差异显著性。第二部分：数据分析（共4题，每题20分，总分80分）4.问题背景：某医院需要分析2026年流感季（11月-次年3月）的病例数据，以预测疫情发展趋势并制定防控策略。数据包括每日新增病例数、年龄分布、地区分布等。题目：（1）绘制时间序列图，分析流感病例的周期性变化，并识别异常波动。（2）使用地理信息系统（GIS）数据，分析病例的地理分布特征，并绘制热力图。（3）结合年龄分布数据，设计分层防控策略（如重点保护儿童和老年人）。答案与解析：（1）时间序列分析：-使用STL分解分离趋势、季节性和残差，识别异常波动的具体日期。-指标：增长率（如日环比）、峰值出现时间。（2）GIS热力图：-使用ArcGIS或Python库（如Folium）绘制病例密度热力图，识别高发区域。-关联分析：结合气象数据，如低温地区病例增多。（3）分层防控策略：-儿童和老年人：加强疫苗接种、减少聚集活动。-高发区域：增设临时发热门诊、加强环境消杀。5.问题背景：某金融机构需要评估2026年经济环境下（通胀率3.5%、失业率4.2%）个人信贷风险，以优化信贷审批流程。数据包括借款人收入、负债、信用历史等。题目：（1）使用逻辑回归模型分析影响信贷违约的关键因素，并绘制ROC曲线。（2）设计决策树模型，给出信贷审批的规则（如收入>5万且负债率<30%则通过）。（3）计算预期损失（EL），并确定最优的信贷审批阈值。答案与解析：（1）逻辑回归模型：-特征选择：收入、负债率、逾期次数等。-ROC曲线：AUC=0.85，表明模型预测能力较强。（2）决策树规则：-使用ID3算法构建树，剪枝后得到规则：-若收入>5万且负债率<30%→通过；-若收入>5万且负债率≥30%→拒绝；-若收入≤5万→拒绝。（3）预期损失计算：-EL=P(违约)×损失金额，结合置信区间确定审批阈值（如P(违约)>5%则拒绝）。6.问题背景：某电力公司需要预测2026年夏季（7月-8月）高峰时段的电力需求，以优化发电调度。数据包括历史用电量、气温、节假日等。题目：（1）使用多项式回归模型拟合电力需求与气温的关系，并解释模型系数的经济意义。（2）结合节假日数据，设计时间序列预测模型（如SARIMA）预测未来一周的电力需求。（3）提出两种可能的应对策略（如增加水电发电、启动备用机组）。答案与解析：（1）多项式回归：-模型：需求=β₀+β₁×气温+β₂×气温²。-经济意义：气温每升高1℃，需求增加β₁+2β₂度电。（2）SARIMA模型：-模型参数（1,1,1）×(0,1,0)₁，预测未来7天需求。-节假日效应：通过差分处理，加入虚拟变量。（3）应对策略：-水电优先：若降雨充足，优先使用水电。-备用机组：高温时段启动燃气机组，保障供应。7.问题背景：某城市环保部门需要监测2026年空气污染（PM2.5）的时空分布，以优化污染治理方案。数据包括各监测站点的PM2.5浓度、气象条件（风速、湿度）等。题目：（1）使用空间自相关分析（Moran'sI）检测PM2.5的聚集性，并绘制空间权重矩阵。（2）结合气象数据，建立地理加权回归（GWR）模型分析污染源的影响。（3）提出至少三种污染治理措施（如工业限产、道路清扫、植物造林）。答案与解析：（1）空间自相关分析：-Moran'sI=0.32（显著），表明污染存在空间聚集性。-空间权重矩阵：使用距离倒数法计算。（2）GWR模型：-模型：PM2.5=β₀+β₁×距离工业源+β₂×风速。-空间异质性：系数随位置变化，如工业区附近β₁显著为正。（3）治理措施：-工业限产：高温时段对钢铁厂限产20%。-道路清扫：早晚时段增加洒水频次。-植物造林：在工业区周边种植滞尘植物。答案与解析（续）问题求解部分：1.交通流量预测：（1）ARIMA模型步骤：平稳性检验通过ADF检验（p<0.05），ARIMA(1,1,1)拟合R²=0.85。主要影响因素为节假日（解释度45%）和天气（解释度35%）。（2）LSTM预测：未来3天流量分别为12.5万辆/天、13.2万辆/天、11.8万辆/天，95%置信区间为[11.2,14.8]。（3）信号灯优化：高峰时段绿灯延长至90秒，拥堵指数下降21%。2.农业产量预测：（1）相关性分析：降雨量与产量相关系数0.67（显著），温度影响次要。（2）SVR预测：干旱条件下小麦产量下降15%，玉米下降10%，关键因子为温度（SHAP值0.42）。（3）干预措施：滴灌节水率可达30%，抗旱品种产量提升8%。3.推荐系统设计：（1）协同过滤推荐：User-BasedCF推荐Top-5相似用户的购买商品。（2）Wide&Deep模型AUC=0.89，转化率提升12%。（3）A/B测试：实验组转化率18.5%（p<0.01），显著优于对照组14.2%。数据分析部分：4.流感疫情分析：（1）时间序列周期为7天，异常波动出现在12月15日（日增病例200例）。（2）GIS热力图显示北部病例密集，与冬季风场关联。（3）分层防控：儿童疫苗接种率提升至90%，老年区增设发热门诊。5.信贷风险评估：（1）逻辑回归模型显示负债率是关键因子（系数1.2）。（2）决策树规则通过率从75%提升至82%。（3）预期损失EL=0.8%，最优阈值设定为违约概率6%。6.电力需求预测：（1）多项式回归系数：β₁=5（气温每升高1℃增5度电），β₂=-0.2（气温过高时边际效应递减）。