第三章：量子力学导论

第三章：量子力学导论ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦ玻尔理论的困难

波粒二象性不确定关系波函数及其统计解释薛定谔方程平均值和算符氢原子的薛定谔方程解

按照经典物理学的观点去推断，在轨道上运动的电子带有电荷，运动中要辐射电磁波，电子损失了能量，其轨道半径不断缩小，最终落在原子核上．由于电子轨道的变化是连续的，辐射电磁波的频率也会连续变化．

事实上，原子是稳定的，辐射电磁波的频率也只是某些确定的值．1、定态条件—不同的轨道对应着不同的状态，在这些状态中，尽管电子在做变速运动，却不辐射能量；2、频率条件—原子在不同的状态之中具有不同的能量，当电子从一个轨道跃迁到另一个轨道时，会以电磁波形式放出或者吸收一定的能量；3、角动量量子化条件1913年玻尔提出了自己的原子结构假说玻尔

玻尔理论成功的解释并预言了氢原子辐射的电磁波的问题，但是也有它的局限性．在解决核外电子的运动时成功引入了量子化的观念同时又应用了“轨道”等经典概念和有关牛顿力学规律

除了氢原子光谱外，在解决其他问题上遇到了很大的困难．困难卢瑟福的质疑：“电子的先知”薛定谔的非难：“糟糕的跃迁”第三章：量子力学初步ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦ玻尔理论的困难波粒二象性不确定关系波函数及其统计解释薛定谔方程平均值和算符氢原子的薛定谔方程解经典物理中的波和粒子在经典物理学中波和粒子是完全不同的两个概念。是自然界中仅有的两种能量传递的方式。是波就不能是粒子，是粒子就不能是波。是就是是，否就是否，无法用波和粒子描述同一现象。粒子的特性：定域性，占据一定的空间，有确定的质量和动量，粒子和粒子之间是分离的。粒子的运动有确定的轨道。波的特性：广延性，周期性,迭加性，能产生干涉、衍射、偏振等现象。波动性--它能在空间表现出干涉、衍射等波动现象，具有一定的波长、频率。粒子性--是指它具有集中的不可分割的性质。一个光子就是集中的不可分割的一个，它具有能量动量与质量。ZXY光子波动如此截然不同的图象却集中于一体，很难想象！---世界真奇妙光的波动性和粒子性光的波粒二象性

光是一种电磁波已被我们充分认识，并被干涉、衍射、偏振等实验和麦克斯韦理论完全证明。光在传播时显示波动性。光是粒子性和波动性的矛盾统一体。或光的波动性:光的粒子性：

光电效应和康普顿效应等证明光的粒子性。

光在与物质作用，转移能量时显示粒子性。。（光电效应）（质能方程）物质的波粒二象性－德布罗意假设

路易·德布罗意(1892－1989)法国物理学家。1892年8月15日生于下塞纳的迪耶普。出身贵族，父母早逝，从就酷爱读书。中学时代显示出文学才华，在大学里受的是文科教育，1910年获巴黎大学文学学士学位。1911年，他听到作为第一届索尔维物理讨论会秘书的莫里斯谈到关于光、辐射、量子性质等问题的讨论后，激起了强烈兴趣，特别是他读了庞加莱的《科学的价值》等书，他转向研究理论物理学。1913年，他获理学硕士学位。第一次世界大战期间，在埃菲尔铁塔上的军用无线电报站服役。他的哥哥是X射线方面的专家，战后他一方面参与他哥哥的物理实验工作，一方面拜朗之万为师，研究与量子有关的理论物理问题，攻读博士学位。他在1923年9－10月间，连续在《法国科学院通报》上发表三篇短文：《辐射－波和量子》、《光学─光量子、衍射和干涉》、《物理学─量子、气体动理论及费马原理》，在1924年通过的博士论文《量子论研究》中他作了系统阐述，提出了德布罗意波理论。他荣获了1929年诺贝尔物理学奖。

德布罗意觉得自然界在很多方面是对称的，但整个世纪以来，人们对光的研究是否过多地注意到了它们的波动性；而对实物粒子（静止质量不为零的微观粒子及由它们组成的实物）的研究，又是否把粒子的图象想得过多而忽略了它们的波的图象呢！1922年他的这种思想进一步升华，经再三思考，1924年，DeBroglie在他的博士论文“量子论研究”中，大胆地提出了如下假设：

不仅辐射具有二象性，而且一切实物粒子也具有二象性。物质的波粒二象性－德布罗意假设实物粒子的波粒二象性质量为m的粒子，以速度v运动时，不但具有粒子的性质，也具有波动的性质；h粒子性波动性二者通过h来联系物质的波粒二象性－德布罗意假设德布罗意波并非真实存在的波！事实上德布罗意提出以上想法后，也没有被大家接受，直到他的导师朗之万将其论文交给爱因斯坦，爱因斯坦称赞他“揭开了大幕的一角”才引起学术界的重视，并研究如何从实验上去验证。从经典物理看来，简直是荒谬和不可思议，看来提出这种想法没有一定的气魄是不行的。德布罗意回忆说：“我当时只不过是一种想法，不过尚没有诞生，而且觉得这种想法不敢讲出去”。注意：这一假设建立了对实物粒子的一种新的图象，这种图象既允许它.表现微粒性，又允许它表现出波动性。这种波称为“物质波”或“德布罗易波”。电子数N=7电子数N=100电子数N=3000电子数N=20000电子数N=70000单个粒子在哪一处出现是偶然事件；大量粒子的分布有确定的统计规律。出现概率小出现概率大电子双缝干涉图样A在时，考虑相对论B在时例子：

电子的德布罗意波长，加速电势差为U可获得电子在不同电压下的波长与x射线的波长相当子弹：m=0.01kg，v=300m/s电子的波长:微尘：m=10-13kg，v=0.01m/sm=9.1×10-31kg,EK=100eV123人：m=50Kg，v=15m/s

4WhyStudyUltra-ColdGases?Answer:CoherentQuantumPhenomenaHighTemperature:RandomthermalmotiondominatesLowTemperature:UnderlyingquantumbehaviorrevealedQuantumwave-likebehaviorClassicalparticle-likebehavior物质波的实验验证：戴维逊－革末实验1926年夏天，戴维逊出席了在牛津大学召开的不列颠协会的科学进展会议。在那里，他同玻恩、弗兰克以及其他人讨论了他的电子散射的研究。他详细地听取了关于电子具有波动性的德布罗意假设，通过牛津大学会议的讨论使戴维逊相信他的实验结果是由于晶格的电子衍射造成的，这就证实了德德布罗意的假设，所以戴维逊对电子束衍射所作的真正有价值的探讨是从牛津会议开始的。翌年初，戴维逊与革谋(Germer)一起，进行镍单晶的电子衍射实验，从实验中所得到的数据表明，德布罗意公式入=h/mv在测量准确度范围内是正确的。同年3月，他们便提出了一个研究结果的初步摘要，不久又提出全文报告，第一次确定了运动电子的波动性，跟德布罗意的理论相一致。获得了1937年的诺贝尔物理奖。

戴维逊(ClintonJosephDavisson)是美国物理学家，电子衍射的实验者之一。1881年10月22日出生于伊利诺斯州的布卢明顿，1958年2月1日于弗吉尼亚州的夏洛茨维尔逝世，卒年77岁。戴维逊的研究内容主要涉及两个不同领域：热电子学和金属在电子轰击下的电子发射。在热电子学中，他的最重要的实验之一是，关于金属功函数的测量。测量的结果认为，金属中的传导电子几乎没有正常的热能。

戴维逊（左）手持电子衍射管，右为他的助手革末物质波的实验验证：戴维逊－革末实验GNi单晶电流计1923年ClntonDavisson发表了电子从镍片反射的角分布实验情况，他发现弹性反射电子束强度在某些角度出现了极大值。玻恩（Born）认为是一种干涉现象，可能与德布罗意波有关，这引起了戴维逊和革末（LesterGermer）继续对电子在镍单晶表面散射进行研究。实验装置：UMBK发射电子阴级加速电极探测器电子束电子枪镍单晶实验解释：将电子看成波，其波长为德布罗意波长：既然是波，电流出现最大值时正好满足布喇格公式：即：显然将电子看成微粒无法解释。实验表明电流最大值正好满足当加速电压U=54伏，加速电子的能量eU=mv2/2，电子的德布罗意波长：再由X射线实验测得镍单晶的晶格常数求得满足相干条件的角度：理论值比实验值稍大的原因是电子进入晶格后，传播速度增加。经修正后，理论值与实验结果完全符合。I电流出现了周期性变化实验验证：物质波的实验验证：汤姆逊（G·P·Thomson）

实验

电子不仅在反射时有衍射现象，汤姆逊实验证明了电子在穿过金属片后也象X射线一样产生衍射现象。电子的衍射实验证明了德布罗意关系的正确性。屏P多晶薄膜高压栅极阴极1961年约恩还给出了电子的单缝和多缝衍射图

随后人们从实验还发现质子、中子、原子、分子都具有波动性。物质波的实验验证

量子围栏(QuantumCorral)中的驻波1993年克罗米(M·F·Corrie)等人用扫描电子显微镜技术,将48个原子在铜的表面排列成直径为14.3nm的圆圈构成一个“量子围栏”，照片中反映的是电子密度的高低，围栏内是电子密度波的驻波。直接证实了物质波的存在.物质波的实验验证——原子尺度上的物质波“2012年中国科学技术大学中科院量子信息重点实验室的李传锋、郭光灿等领导的实验小组在实验上率先实现了量子惠勒延迟选择实验[1，9，10]。随后，英国布里斯托J.L.O'Brien领导的小组[11]和法国S.Tanzilli领导的小组[12]也分别完成了这一实验。在这一实验中，不仅观测到了光的波动性，而且同时观测到了光的粒子性。实际上，观测到的是光的波动性和粒子性的量子叠加状态――一种特殊的“非波非粒，亦波亦粒”状态”/thesis/0da3c36314e2453db55233776a34d1f1.html

AQuantumDelayed-ChoiceExperimentRealizationofquantumWheeler'sdelayed-choiceexperimentEntanglement-enableddelayedchoiceexperiment德波罗易波和量子态

电子的物质波沿轨道传播，当电子轨道周长恰为物质波波长的整数倍时，可以形成稳定的驻波（因只有驻波是一稳定的振动状态，不辐射能量），这就对应于原子的定态。电子波动反映到原子中，为驻波。当受到扰动时，波很稳定，象金、银等金属化学性质很稳定。这正是玻尔的量子化的轨道半径。将rn再代入能量E的表达式如果把代入氢原子总能量表达式中考虑在刚性匣子中的运动粒子（如图）

粒子在匣中的动能为1/2mv2

，运动周期为2d/v,按照物质波的观点，物质波来回反射形成驻波，驻波波长满足

于是粒子的动量

动能可见匣中的粒子的动量和能量都是量子化的，定域的波必然导致量子化行为。第三章：量子力学初步ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦ玻尔理论的困难波粒二象性不确定关系波函数及其统计解释薛定谔方程平均值和算符氢原子的薛定谔方程解不确定关系

维尔纳·海森堡（WernerHeisenberg，1901年12月5日－1976年2月1日），德国物理学家，量子力学的奠基人之一，“哥本哈根学派”代表性人物，因创立量子力学而获1932年诺贝尔物理学奖。他对物理学的主要贡献是给出了量子力学的矩阵形式（矩阵力学），提出了“測不準原理”（又称“不确定性原理”）和S矩阵理论等。他的《量子论的物理学基础》是量子力学领域的一部经典著作。

在经典力学中，质点（宏观物体或粒子）在任何时刻都有完全确定的位置、动量、能量等。由于微观粒子具有明显的波动性，以致于它的某些成对物理量（如位置坐标和动量、时间和能量等）不可能同时具有确定的量值。不确定关系粒子的特性：定域性，占据一定的空间，有确定的质量和动量，粒子和粒子之间是分离的。粒子的运动有确定的轨道。波的特性：广延性，周期性,迭加性，能产生干涉、衍射、偏振等现象。不确定关系粒子在空间的位置是可以无限地被测定，意味着我们假定粒子是无限小的质点。若要无限精确地测定一个波的频率和波长，则这个波必须在空间无限扩展。不确定关系两列波的“拍”频看到一个拍至少所需的时间：在Δt时间内波所走过的路程：不确定关系（单缝衍射）电子具有波粒二象性，也可产生类似波的单缝衍射的图样，若电子波长为，则让电子进行单缝衍射则应满足：暗纹次明纹{a、位置的不确定程度电子在单缝的何处通过是不确定的!只知是在宽为a的的缝中通过.结论:电子在单缝处的位置不确定量为Ub、单缝处电子的动量的不确定程度先强调一点：电子衍射是电子自身的波粒二象性的结果，不能归于外部的原因，即不是外界作用的结果。

显然，电子通过单缝不与单缝材料作用，因此通过单缝后，其动量大小P不变。但不同的电子要到达屏上不同的点。故各电子的动量方向不同。UXYI电子大部分都到达中央明纹处，作为分析：要估算单缝处电子在X轴上的分量的不确定量，可先抓住到达中央明纹处的电子在单缝处的不确定量来研究。即正负一级暗纹间的电子来研究。这部分电子在单缝处的动量在X轴上的分量值为：为一级暗纹的衍射角由单缝一级暗纹条件：由德布罗意关系式：考虑到还存在方向的电子，这些方向电子的动量不确定量还要大动量位置不确定量关系式不确定关系严格证明：不确定关系的讨论1）不确定关系是物质的波粒二象性引起的。是建立在波粒二象性基础上的一条基本客观规律，是波粒二象性的深刻反应，也是对波粒二象性的进一步描述。由于微观粒子的波动性，位置与动量不能同时有精确值。2）不确定关系是由物质本身固有的特性所决定的，而不是由于仪器或测量方法的缺陷所造成的。不论测量仪器的精度有多高，我们认识一个物理体系的精确度也要受到限制。3）不确定关系指明了宏观物理与微观物理的分界线：在某个具体问题中，粒子是否可作为经典粒子来处理，起关健作用的是普朗克恒量h的大小。结论：没有静止的微观粒子，束缚范围越小，束缚粒子的最小平均动能越大。解子弹的动量1、一颗质量为10g的子弹，具有的速率，若其动量的不确定范围为动量的(这在宏观范围是十分精确的),则该子弹位置的不确定量范围为多大?动量的不确定范围位置的不确定量范围2、一电子具有的速率,动量的不确范围为动量的0.01%(这也是足够精确的了),则该电子的位置不确定范围有多大?解电子的动量动量的不确定范围位置的不确定量范围4、光谱线的自然宽度原子所发射的光是由电子在两个能级之间跃迁产生的。如果两个能级有确定的值，那么由频率条件将得到有确定频率(或波长)的谱线。由于处在激发态能级上的电子寿命(Δt)有限，按照不确定关系，这意味着能级存在着一定的能级宽度ΔE，这导致辐射光谱不再是单一频率，而有一定频率宽度，称谱线自然宽度。如果激发态的寿命为Δt=10-8s

那么谱线的自然宽度为不过能级的寿命常受外界条件影响，例如多普勒展宽、碰撞展宽等。第三章：量子力学初步ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦ玻尔理论的困难波粒二象性不确定关系波函数及其统计解释薛定谔方程平均值和算符氢原子的薛定谔方程解波函数及其统计解释

马克斯·玻恩（MaxBorn，1882年1月11日－1970年1月5日），德国犹太裔物理学家，量子力学的创始人之一，因对量子力学的基础性研究尤其是对波函数的统计学诠释，获得1954年的诺贝尔物理学奖。玻恩对固体理论进行过比较系统的研究，1912年和冯·卡尔曼一起撰写了一篇有关晶体振动能谱的论文，他们的这项成果早于劳厄(1879—1960)用实验确定晶格结构的工作。1925年玻恩写了一本关于晶体理论的书，开创了一门新学科——晶格动力学。1954年他和我国著名物理学家黄昆合著的《晶格动力学》一书，被国际学术界誉为有关理论的经典著作。玻恩还和富兰克(1882—1964)一起把哥廷根建成很有名望的国际理论物理研究中心。当时，只有玻尔建立的哥本哈根理论物理中心可以和它匹敌。玻恩讲课很生动，浅入深出，教学很有成绩。他培养出的学生，后来有不少人成为有名的物理学家，如泡利、海森伯和我国的黄昆等波函数及其统计解释电子数N=7电子数N=100电子数N=3000电子数N=20000电子数N=70000单个粒子在哪一处出现是偶然事件；大量粒子的分布有确定的统计规律。出现概率小出现概率大电子双缝干涉图样双缝实验（水波）干涉双缝实验（电子）

物质波也可以用一个随时间和空间变化的函数来描述，这个函数称为波函数，通常用

表示。波函数及其统计解释1）从波动性看，对光的衍射，空间某处光强与光波在该处振幅平方成正比，衍射极大值对应光振动振幅平方的极大值，衍射极小值对应振幅平方的极小值。用这种观点分析实物粒子衍射实验，可以看到在衍射极大值处，波函数的振幅平方

＊具有极大值，在衍射极小值处，波函数的振幅平方

＊具有极小值。波函数的物理意义2）从粒子的观点看，对光的衍射现象，光的衍射极大值处找到光子的几率最大，极小值处找到光子的几率最小。同样，这种观点对实物粒子衍射来说，在衍射极大值处，找到粒子的几率最大，衍射极小值处，找到粒子的几率最小。综合上述：在某时刻t，在空间某处，波函数

的平方正比于粒子在该时刻、该地点出现的几率。波函数模的平方代表时刻、在处单位体积内一个粒子出现的概率。波函数的统计解释对应于空间的一个状态，就有一个由伴随这状态的德布罗意波指定的概率。若与电子对应的波函数在空间某点为零，这就意味着在这点发现电子的概率小到零。

根据波恩的解释，波函数本身并没有直接的物理意义，有物理意义的是波函数模的平方。从这点来说，物质波在本质上与电磁波、机械波是不同的，物质波是一种几率波，它反映微观粒子运动的统计规律。是的共轭复数。实物粒子的波函数在给定时刻，在空间某点的模的平方|

|2与该点邻近体积元dV的乘积，正比于该时刻在该体积元内发现该粒子的概率W。由此可见，为粒子在某点附近单位体积内粒子出现的几率，称为几率密度。即：波函数不仅把粒子与波统一起来，同时以几率幅（几率密度幅）的形式描述粒子的量子运动状态。波函数的统计解释

微观粒子的运动所遵循的是统计性规律，波函数正是为描写粒子的这种统计行为而引入的。波函数的概念也和通常的经典波的概念不同，它既不代表介质运动的传播过程，也不是那种纯粹经典的场量，而是一种比较抽象的几率波。波函数既不描述粒子的形状，也不描述粒