山东省威海乳山市（五四制）2025-2026学年八年级上学期期末数学试题（试卷+解析）

初三数学亲爱的同学：你好！答题前，请仔细阅读以下说明：1.本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部．第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题，考试时间120分钟.2.不允许使用计算器.3.本次考试另设10分卷面分．希望你能愉快地度过这120分钟，祝你成功！第Ⅰ卷（选择题，共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分）1.下列变形，属于因式分解的是（）A. B.C. D.2.若一个正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形的边数是（）A.7 B.8 C.9 D.103.若分式中的，的值都扩大3倍，则该分式的值（）A.扩大3倍 B.扩大9倍 C.扩大6倍 D.不变4.一组数据3，4，4，5，若添加一个数4，则发生变化的统计量是（）A.平均数 B.众数 C.中位数 D.方差5.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝10．将△ABC沿着BC的方向平移至△DEF，若平移的距离是5，则图中阴影部分的面积为（）A.25 B.50 C.35 D.706.如图，在中，分别是的中点，点在延长线上，添加一个条件使四边形为平行四边形，则这个条件是（）A. B. C. D.7.分式的最大值是（）A.5 B.6 C. D.8.如图，点，在对角线上，，，则（）A. B. C. D.9.已知关于x的分式方程－1＝的解是正数，则m的取值范围是()A.m＜4且m≠3 B.m＜4C.m≤3且m≠3 D.m＞5且m≠610.如图，在的正方形网格中，格点绕某点旋转一定角度，可得格点，则旋转中心是（）A.点 B.点 C.点 D.点第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，只要求填出最后结果）11.若分式的值为0，则的值为_____．12.利用因式分解计算：_____．13.鞋店在一段时间内销售了某种运动鞋30双，各种尺码的销售量如下表：尺码2222.52323.52424.525销售量/双12512622如果鞋店要再购进90双这种运动鞋，那么购进和两种尺码运动鞋最合适的数量（单位：双）分别是____．14.在平面直角坐标系中，点，点，平移线段，使点落在点处，则点的对应点的坐标为_____．15.在中，，点N是边上一点，点M为边上的动点，点D、E分别为的中点，则的最小值是________________．三、解答题（本大题共8小题，共75分，写出必要的运算、推理过程）16.因式分解、化简：（1）因式分解：；（2）化简：．17.如图，中，点E是边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，连接AC，DF．求证：四边形ACDF是平行四边形．18.利用因式分解计算：．19.商场统计了某月每个营业员的销售额，绘制了如下统计图：商场规定：当时为不称职，当时为基本称职，当时为称职，当时为优秀．解决下列问题：（1）商场管理层将称职和优秀两类营业员的该月销售额作为一组数据进行分析，写出这组数据的中位数、众数和平均数；（2）为了调动营业员的积极性，商场决定制定月销售额奖励标准，凡达到或超过标准的营业员将受到奖励．如果要使得称职和优秀两类营业员的半数左右人能获奖，奖励标准应定为多少万元？并简述理由．20.在和中，，，，点是的中点，连接，．（1）如图Ⅰ，当点，分别在边，上时，线段和存在怎样的关系？直接写出结论：（不要求证明）（2）将图Ⅰ中绕点逆时针方向旋转一定角度得到图Ⅱ，（1）中的结论是否成立？如果成立．请给予证明：如果不成立，写出新的关系及理由．21.如图，在四边形中，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；同时点从点出发，以的速度向点运动，若其中一点到达终点时，则另一点随之停止运动.从运动开始，经过多少时，?22.如图①、②所示，A品种小麦试验田是边长为的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，B品种小麦的试验田是边长为的正方形，两块试验田的小麦都收获了．（1）哪种小麦的单位面积产量高?（2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍?23.综合与实践【动手操作】如图Ⅰ，把一个长方形纸片沿对角线剪成两个完全相同的三角形纸片，分别记为，，．（说明：以下操作两个三角形纸片时，保持点重合，且统一记为点）【问题解决】（1）如图Ⅱ，将的边落在上（即），连接．①直接写出度数：_______；②延长交的延长线于点，写出，，间的数量关系及理由；（2）将图Ⅱ中绕点顺时针旋转得到图Ⅲ，点是的中点，连接，，．求证：四边形是平行四边形．初三数学亲爱的同学：你好！答题前，请仔细阅读以下说明：1.本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部．第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题，考试时间120分钟.2.不允许使用计算器.3.本次考试另设10分卷面分．希望你能愉快地度过这120分钟，祝你成功！第Ⅰ卷（选择题，共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分）1.下列变形，属于因式分解的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查因式分解的定义，因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，据此逐一判断选项即可．【详解】A、属于整式乘法，不是因式分解，不符合题意；B、属于因式分解，符合题意；C、，等式右边不是整式的积的形式，不是因式分解，不符合题意；D、，等式的右边不是整式的积的形式，不是因式分解，不符合题意；故选：B．2.若一个正多边形一个外角是45°，则这个正多边形的边数是（）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】B【解析】【分析】根据正多边形每个外角都相等且外角和为360°列式解答即可．【详解】解：∵正多边形每个外角都相等且外角和为360°∴正多边形的边数是360°÷45°=8．故选B．本题主要考查了正多边形的外角的性质和外角和，灵活运用正多边形每个外角都相等且外角和为360°成为解答本题的关键．3.若分式中的，的值都扩大3倍，则该分式的值（）A.扩大3倍 B.扩大9倍 C.扩大6倍 D.不变【答案】A【解析】【分析】本题考查分式的基本性质，将x、y的值扩大3倍后代入原分式，化简后与原分式比较即可得出结果．【详解】解：∵将x、y都扩大3倍后，原分式变为∴化简得∴该分式的值扩大3倍，故选：A．4.一组数据3，4，4，5，若添加一个数4，则发生变化的统计量是（）A.平均数 B.众数 C.中位数 D.方差【答案】D【解析】【分析】依据平均数、中位数、众数、方差的定义和公式分别计算新旧两组数据的平均数、中位数、众数、方差求解即可．【详解】解：原数据的3，4，4，5的平均数为，原数据的中位数为，原数据的众数为4，方差为；新数据3，4，4，4，5的平均数为，新数据3，4，4，4，5的中位数为4，新数据3，4，4，4，5的众数为4，新数据3，4，4，4，5的方差为，∴添加一个数据4，方差发生变化，故选D．本题主要考查的是众数、中位数、方差、平均数，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键．5.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝10．将△ABC沿着BC的方向平移至△DEF，若平移的距离是5，则图中阴影部分的面积为（）A.25 B.50 C.35 D.70【答案】B【解析】【分析】先根据平移的性质得AC=DF，AD=CF=5，然后根据平行四边形的面积公式计算即可．【详解】解：∵直角△ABC沿BC边平移3个单位得到直角△DEF，∴AC=DF，AD=CF=5，∴四边形ACFD的面积=CF•AB=5×10=50，即阴影部分的面积为50．故选：B．本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．6.如图，在中，分别是的中点，点在延长线上，添加一个条件使四边形为平行四边形，则这个条件是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用三角形中位线定理得到，结合平行四边形的判定定理进行选择．【详解】∵在中，分别是的中点，∴是的中位线，∴．A、根据不能判定，即不能判定四边形为平行四边形，故本选项错误．B、根据可以判定，即，由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得到四边形为平行四边形，故本选项正确．C、根据不能判定，即不能判定四边形平行四边形，故本选项错误．D、根据不能判定四边形为平行四边形，故本选项错误．故选B．本题三角形的中位线的性质和平行四边形的判定．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．7.分式的最大值是（）A.5 B.6 C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查分式的最值，利用完全平方公式，求出分母的最小值，进而求出分式的最大值即可．【详解】解：∵，且，∴，∴的最小值为4，∴分式的最大值是；故选：C．8.如图，点，在的对角线上，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查平行四边形的性质，等边对等角，根据等边对等角，以及三角形的外角的性质，求出的度数，平行线的性质，得到，再利用角的和差关系进行求解即可．【详解】解：∵，，∴，，∵，∴，∴，∴；故选D．9.已知关于x的分式方程－1＝的解是正数，则m的取值范围是()A.m＜4且m≠3 B.m＜4C.m≤3且m≠3 D.m＞5且m≠6【答案】A【解析】【分析】方程两边同乘以，化为整式方程，求得，再列不等式得出的取值范围．【详解】解：方程两边同时乘以∵已知关于的分式方程的解是正数，∴∴且．故选：A本题考查了分式方程的解的概念、解分式方程、数的分类、解不等式组等知识点，要注意分式的分母不为的条件，此题是一道易错题，有一定的难度．10.如图，在的正方形网格中，格点绕某点旋转一定角度，可得格点，则旋转中心是（）A.点 B.点 C.点 D.点【答案】B【解析】【分析】本题考查了旋转图形的性质，根据旋转图形的性质，可知旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上，则连接，，分别作出，的垂直平分线，线段垂直平分线的交点即为所求．【详解】解：如图，连接，，分别作出，的垂直平分线，，的垂直平分线的交点为，旋转中心是点，故选：B．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，只要求填出最后结果）11.若分式的值为0，则的值为_____．【答案】1【解析】【分析】本题考查了分式值为的条件，掌握分式值为的条件是分子为且分母不为，注意排除使分母为的解是解题的关键．分式的值为的条件是分子等于且分母不等于．【详解】解：由分式的值为，得分子且分母解方程，即，得或当时，分母，分式无意义，故舍去；因此．故答案为：．12.利用因式分解计算：_____．【答案】【解析】【分析】本题考查因式分解的应用；通过提取公因式进行因式分解后计算．【详解】解：．故答案为．13.鞋店在一段时间内销售了某种运动鞋30双，各种尺码的销售量如下表：尺码2222.52323.52424.525销售量/双12512622如果鞋店要再购进90双这种运动鞋，那么购进和两种尺码运动鞋最合适的数量（单位：双）分别是____．【答案】36，3【解析】【分析】本题主要考查了用样本估计总体，掌握用样本估计总体的方法是解题的关键．先计算销售数据中和两种尺码运动鞋占总销量的比例，再利用比例计算即可．【详解】解：总销售量为30双，销售12双，∴占比，∴购进90双时数量为；的鞋销售1双，占比，∴购进90双时数量为，故答案为：36，3．14.在平面直角坐标系中，点，点，平移线段，使点落在点处，则点的对应点的坐标为_____．【答案】【解析】【分析】本题主要考查图形的平移，掌握图形的平移与点的坐标变化规律，是解题的关键．先通过点，点确定平移方式，再由平移方式确定点的对应点的坐标．【详解】解：∵点，点，平移线段，使点落在点处，∴可得，向左平移4个单位，向上平移1个单位，∴点向左平移4个单位，向上平移1个单位得到，故答案为：．15.在中，，点N是边上一点，点M为边上的动点，点D、E分别为的中点，则的最小值是________________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了三角形的面积、勾股定理、三角形的中位线等知识点，掌握三角形的中位线等于第三边的一半成为解题的关键．如图：连接，根据三角形的中位线可得，当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小，根据勾股定理求出，根据三角形的面积求出即可解答．【详解】解：如图：连接，∵点D、E分别为的中点，∴，当时，的值最小，此时的值也最小，由勾股定理得：∵，∴，∴，故答案为：．三、解答题（本大题共8小题，共75分，写出必要的运算、推理过程）16.因式分解、化简：（1）因式分解：；（2）化简：．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查因式分解，分式混合运算：（1）提公因式法进行因式分解即可；（2）先通分，计算括号内，除法变乘法，约分化简即可．【小问1详解】解：原式；【小问2详解】解：原式．17.如图，中，点E是边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，连接AC，DF．求证：四边形ACDF是平行四边形．【答案】见解析.【解析】【分析】利用平行四边形的性质，即可判定，即可得到，再根据，即可得出四边形ACDF是平行四边形；【详解】四边形ABCD是平行四边形，，，是AD的中点，，又，，，又，四边形ACDF是平行四边形．本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键．18.利用因式分解计算：．【答案】【解析】【分析】本题考查利用因式分解进行简算，利用平方差公式进行因式分解后，进行计算即可．【详解】解：原式．19.商场统计了某月每个营业员的销售额，绘制了如下统计图：商场规定：当时为不称职，当时为基本称职，当时为称职，当时为优秀．解决下列问题：（1）商场管理层将称职和优秀两类营业员的该月销售额作为一组数据进行分析，写出这组数据的中位数、众数和平均数；（2）为了调动营业员的积极性，商场决定制定月销售额奖励标准，凡达到或超过标准的营业员将受到奖励．如果要使得称职和优秀两类营业员的半数左右人能获奖，奖励标准应定为多少万元？并简述理由．【答案】（1）中位数是22，众数是20，平均数是22.3；（2）22万元，见解析【解析】【分析】本题主要考查了条形统计图，求中位数，众数和平均数，明确题意，准确从图形中获取信息是解题的关键．（1）先求出所有称职和优秀的营业员的人数，再根据中位数、众数和平均数的定义，即可求解；（2）根据使得称职和优秀的所有营业员的半数左右能获奖，可得应该以这些员工的销售额的中位数为标准，即可求解．【小问1详解】解：所有称职和优秀营业员的人数为：人，则位于第11位的月销售额是22万元，所以中位数是22，月销售额是20万元的有5人，最多，所以众数是20，平均数是；【小问2详解】解：奖励标准应定为22万元理由：要使称职和优秀的员工中有半数左右能获奖，应该以这些员工的销售额的中位数为标准．20.在和中，，，，点是的中点，连接，．（1）如图Ⅰ，当点，分别在边，上时，线段和存在怎样的关系？直接写出结论：（不要求证明）（2）将图Ⅰ中的绕点逆时针方向旋转一定角度得到图Ⅱ，（1）中的结论是否成立？如果成立．请给予证明：如果不成立，写出新的关系及理由．【答案】（1），（2）（1）中的结论成立，证明见解析【解析】【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟知全等三角形的性质及其判定定理，等腰直角三角形的性质及其判定定理是解题的关键．（1）延长交于点H，证明是等腰直角三角形，得到，再证明，得到，，再导角证明，可得；（2）延长交于点H，设交于点O，证明是等腰直角三角形，得到；证明，得到，再导角证明，得到，则，．【小问1详解】解：如图所示，延长交于点H，∵，，∴；∵点是的中点，∴，∴∴是等腰直角三角形，∴，又∵，∴，∴，，又∵，∴，∴，∴；∴，；【小问2详解】解：（1）中的结论成立，证明如下：如图所示，延长交于点H，设交于点O，∵，，∴；∵点是的中点，∴，∴∴是等腰直角三角形，∴；∵，∴，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，．21.如图，在四边形中，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；同时点从点出发，以的速度向点运动，若其中一点到达终点时，则另一点随之停止运动.从运动开始，经过多少时，?【答案】经过或时，【解析】【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，先确定两点运动的时间，设经过时，，分两种情况：当四边形为平行四边形时，，，当四边形为等腰梯形时，，讨论求解即可．【详解】解：根据题意，点运动到点需要24秒，点运动到点需要秒，设经过时，，①当四边形为平行四边形时，，，∴，解得；②当四边形为等腰梯形时，，过点作，交于点，过点作，交于点，则，∴，∴，∵，，即，∴，，∴，在和中，，∴，∴，∴∴，解得；综上所述，经过或时，．22.如图①、②所示，A品种小麦的试验田是边长为的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，B品种小麦的试验田是边长为的正方形，两块试验田的小麦都收获了．（1）哪种小麦的单位面积产量高?（2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍?【答案】（1）品种小麦的单位面积产量高（