山西忻州部分学校2025-2026学年高一上学期2月质量检测数学试题（人教B版）（试卷+解析）

高一数学考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．4．本卷命题范围：人教B版必修第一册，必修第二册．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设命题，则的否定为（）A. B.C. D.2.已知集合，则中的元素个数为（）A.2 B.3 C.4 D.53.某高中高一、高二、高三年级的学生人数分别为400，400，600，为了解各年级学生每天阅读的时间，用分层随机抽样的方法从中抽取样本，若样本中高一年级的学生有14人，则样本容量为（）A.42 B.45 C.49 D.504.已知幂函数在上单调递减，则（）A. B. C. D.45.如图，在中，，，若，则（）A. B. C. D.6.已知，则下列关系正确的是（）A B.C. D.7.已知函数，则关于的不等式的解集为（）A. B.C. D.8.已知，则的最大值为（）A.1 B.0 C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.某城市连续7天的最低温度（单位：）为0，2，5，5，6，7，3，则这组数据的（）A.极差7 B.40%分位数为4C.平均数为4 D.方差为510.已知定义在上的函数满足，且当时，，若在上恒成立，则的值可以是（）A. B. C. D.11.已知函数，则下列结论正确的是（）A.偶函数B.上单调递增C.的值域为D.若，且，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.设向量，若，则实数___________．13.从10，11，12，13，14，15这6个正整数中任取两个数，其中恰有1个质数的概率为___________．14.已知正实数满足，则的最小值为___________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知集合．（1）若，求实数的取值范围；（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围．16.甲、乙两人进行4场投篮比赛，规定若有一人连续获胜2场，则比赛提前结束．根据以往的经验，在每场比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，假设每场比赛没有平局，且各场比赛结果相互独立．（1）求打完两场比赛结束的概率；（2）求比赛结束时，甲获胜的次数大于乙的概率．17.某AI公司为提高经济效益，大力进行新产品研发，现计划投入100万元，全部用于甲、乙两种产品的研发，每种产品至少要投入10万元，对市场进行调研分析后发现，甲产品的利润，乙产品的利润与研发投入（单位：万元）分别满足,，设甲产品的投入为（单位：万元），两种产品的总利润为（单位：万元）．（1）求的表达式；（2）试问如何安排甲、乙两种产品的研发投入，才能使总利润最大，最大利润是多少万元？18.某中学举行了一次环保知识竞赛，为了了解本次竞赛的情况，从中抽取了名学生的成绩作为样本进行统计，将其成绩（满分：分）分成、、、六组，得到如图所示频率分布直方图．（1）求图中的值，并估计样本数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）若根据这次成绩，学校准备给成绩较高的前的学生颁发“环保小达人”荣誉证书，估计获得该荣誉证书的最低分数；（3）若落在中的样本数据的平均数是，方差是，落在中的样本数据的平均数是，方差是，求这两组数据的总平均数和方差．19.定义一种新的运算“”：，都有．（1）对于任意实数，试判断与大小关系；（2）若关于的不等式的解集中恰有5个整数，求实数的取值范围；（3）已知函数，，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围．高一数学考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．4．本卷命题范围：人教B版必修第一册，必修第二册．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设命题，则的否定为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先修改量词，再否定原来结论可求解.【详解】命题的否定为：，.故选.2.已知集合，则中的元素个数为（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】分别用列举法表示集合，再求取交集，即可求解；【详解】集合，，则，其中的元素个数为个；故选：C.3.某高中高一、高二、高三年级的学生人数分别为400，400，600，为了解各年级学生每天阅读的时间，用分层随机抽样的方法从中抽取样本，若样本中高一年级的学生有14人，则样本容量为（）A42 B.45 C.49 D.50【答案】C【解析】【分析】设样本容量为，由抽取的高一年级人数为14人，利用分层抽样的性质能求出抽取的样本容量.【详解】某校高一、高二、高三年级的学生人数分别为400，400，600，为调查该校学生每天用于课外阅读的时间，现按照分层抽样的方法取若干人，设样本容量为.∵抽取的高一年级人数为14人，∴.故选：C.4.已知幂函数在上单调递减，则（）A. B. C. D.4【答案】B【解析】【分析】根据幂函数的定义和单调性确定参数数值，求得解析式，再求函数值即可；【详解】因为为幂函数，则，解得或，又因为在上单调递减，所以，则；所以，故，故选：B.5.如图，在中，，，若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，结合向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解.【详解】在中，，，又，，，，，.故选：D.6.已知，则下列关系正确的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】应用对数函数的单调性得出的大小关系.【详解】因为，，，则故选：B.7.已知函数，则关于的不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】令，再判断该函数的奇偶性和单调性，最后列不等式求解即可.【详解】令，该函数的定义域，又，为奇函数，又在上单调递增，根据复合函数的单调性在上单调递增，在上单调递增，不等式可化为，则，解得.故关于的不等式的解集为.故选：A.8.已知，则的最大值为（）A.1 B.0 C. D.【答案】C【解析】【分析】设，将原方程转化为关于一元二次方程，利用判别式和韦达定理分析正根存在条件求解.【详解】令，则，所以，所以由可得，令，则方程即，则该方程必有正根，所以，解得，所以的最大值为.故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.某城市连续7天的最低温度（单位：）为0，2，5，5，6，7，3，则这组数据的（）A.极差为7 B.40%分位数为4C.平均数为4 D.方差为5【答案】AC【解析】【分析】对该数据进行排序，分别求出极差，百分位数，平均数，和方差，再与选项对比进行判断；【详解】某城市连续7天的最低温度（单位：）为0，2，5，5，6，7，3，将这组数据从小到大依次排列为：0，2，3，5，5，6，7；对于A选项：极差为，故选项A正确；对于B选项：由于，故分位数为从小到大排列的第三位“”，故选项B错误；对于C选项：平均数为，故选项C正确；对于D选项：方差为，故选项D错误；故选：AC.10.已知定义在上的函数满足，且当时，，若在上恒成立，则的值可以是（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】【分析】已知递推关系，分区间推导函数表达式，再通过解方程找到的对应点，最后结合图象确定的取值范围即可得解.详解】根据已知条件，，，当时，有，当时，有.令，解得或，结合图象，的最大值为.故选：ABC.11.已知函数，则下列结论正确的是（）A.是偶函数B.在上单调递增C.的值域为D.若，且，则【答案】ABD【解析】【分析】利用偶函数恒等式可判断A，利用复合函数单调性可判断B，利用偶函数和单调性可判断C，利用偶函数和基本不等式可判断D.【详解】由函数的定义域为，且，所以是偶函数，故A正确；由，令，则上式可化为，当时，，则在上是单调递增，此时，则在上也是单调递增，所以函数在上是单调递增，故B正确；因为是偶函数且在上是单调递增，所以的最小值为，即的值域为,故C错误；因为是偶函数且在上是单调递增，，，所以，即，当且仅当时取等号，故D正确；故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.设向量，若，则实数___________．【答案】【解析】【分析】根据“若，则”，解出的值；【详解】，，则实数，解得，故答案为：.13.从10，11，12，13，14，15这6个正整数中任取两个数，其中恰有1个质数的概率为___________．【答案】【解析】【分析】先区分质数与合数个数，再分别计算总取法数和恰有1个质数的取法数，最后用古典概型公式求概率.【详解】从中，质数为共2个；合数为，共4个.1.总基本事件数：从6个数中任取2个，；2.恰有1个质数的事件数：选1个质数+1个合数，；3.所求概率：.故答案：.14.已知正实数满足，则的最小值为___________．【答案】##【解析】【分析】对原式进行化简代入，得到关于的函数，再利用基本不等式，求出的范围，即可求出代数式的最小值；【详解】，可得，则.又因为，即，所以，故，即（当且仅当，即时取等），所以，故答案：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知集合．（1）若，求实数的取值范围；（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)利用集合间的基本关系计算即可；(2)利用集合间的基本关系及必要不充分条件的定义计算即可.【小问1详解】因为恒成立，所以可得，，由可知，区间与有公共部分，恒成立，则需满足；解得.所以实数的取值范围为.【小问2详解】∵是的必要不充分条件，∴是的真子集.所以，且满足，解得，∴实数的取值范围为.16.甲、乙两人进行4场投篮比赛，规定若有一人连续获胜2场，则比赛提前结束．根据以往的经验，在每场比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，假设每场比赛没有平局，且各场比赛结果相互独立．（1）求打完两场比赛结束的概率；（2）求比赛结束时，甲获胜的次数大于乙的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）用表示“第场比赛甲获胜”，用表示“打完两场比赛结束”，则，应用独立事件和互斥事件的概率运算公式求解；（2）用表示“比赛结束时，甲获胜的次数大于乙”，则，应用独立事件和互斥事件的概率运算公式求解.【小问1详解】用表示“第场比赛甲获胜”，则用表示“打完两场比赛结束”，则.【小问2详解】若“比赛结束时，甲获胜的次数大于乙”为事件，则，所以.17.某AI公司为提高经济效益，大力进行新产品研发，现计划投入100万元，全部用于甲、乙两种产品的研发，每种产品至少要投入10万元，对市场进行调研分析后发现，甲产品的利润，乙产品的利润与研发投入（单位：万元）分别满足,，设甲产品的投入为（单位：万元），两种产品的总利润为（单位：万元）．（1）求的表达式；（2）试问如何安排甲、乙两种产品的研发投入，才能使总利润最大，最大利润是多少万元？【答案】（1）（2）甲产品投入万元，乙产品投入万元；最大利润是万元【解析】【分析】（1）根据题意，分情况列出关系式，写成分段函数形式即可；（2）分情况求出各段的最大值，结合换元，基本不等式，二次函数知识求解即可.【小问1详解】甲产品的投入为万元，则乙产品的投入为万元，当时，，当时，，则；【小问2详解】当时，令，则，则；当时，，等号成立时，，因为，所以当甲产品的投入为万元，乙产品的投入为万元时，总利润最大，最大为万元.18.某中学举行了一次环保知识竞赛，为了了解本次竞赛的情况，从中抽取了名学生的成绩作为样本进行统计，将其成绩（满分：分）分成、、、六组，得到如图所示频率分布直方图．（1）求图中的值，并估计样本数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）若根据这次成绩，学校准备给成绩较高的前的学生颁发“环保小达人”荣誉证书，估计获得该荣誉证书的最低分数；（3）若落在中的样本数据的平均数是，方差是，落在中的样本数据的平均数是，方差是，求这两组数据的总平均数和方差．【答案】（1），平均数为（2）（3），【解析】【分析】（1）根据频率之和为，求图中的值，用该组区间的中点值代表同组数据计算样本数据的平均数；（2）求出第百分位数可得结果；（3）利用分层抽样的平均数公式和方差公式可求得结果.【小问1详解】由题意