初二数学函数专题复习试题

初二数学函数专题复习：从概念到应用，夯实基础再提升函数，作为初中数学的核心内容之一，不仅是代数知识的延伸，更是培养逻辑思维和解决实际问题能力的重要载体。对于初二学生而言，函数概念的引入和初步应用，往往是一个不小的挑战。本次专题复习，我们将回归函数的本源，梳理核心知识点，通过典型例题的剖析与配套练习，帮助同学们构建清晰的知识网络，提升解题技能，从容应对各类函数问题。一、函数的基本概念：理解变量之间的依赖关系在数学的世界里，万物皆有联系，函数便是描述这种变量之间确定性依赖关系的工具。1.1函数的定义与三要素函数的定义：在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。这里的“唯一确定”是理解函数概念的关键。也就是说，给定一个x，不能有两个或更多的y值与之对应。函数的三要素：*自变量（x）：在变化过程中主动发生变化的量。*函数值（y）：随着自变量的变化而变化，且有唯一确定值的量。*对应关系（f）：描述自变量如何变化从而得到函数值的规则或法则。例如，在关系式y=2x+1中，x是自变量，y是x的函数，“2x+1”便是x与y之间的对应关系。1.2自变量的取值范围自变量的取值范围，即函数的定义域，是指能使函数有意义的自变量x的所有取值的集合。确定自变量取值范围时，通常要考虑以下几种情况：*整式型：自变量可取全体实数。*分式型：分母不能为零。*偶次根式型：被开方数必须是非负数。*实际问题型：除了考虑数学意义，还必须符合实际问题的背景，例如时间不能为负，人数必须为正整数等。1.3函数的表示方法函数的表示方法是我们研究和运用函数的桥梁，常见的有三种：*解析法：用数学式子（解析式）表示两个变量之间的对应关系，如y=3x-2。这种方法简洁明了，便于进行理论分析和计算。*列表法：通过列出表格来表示两个变量之间的对应关系。这种方法直观具体，能清晰地看到部分函数值。*图象法：用图象（通常是平面直角坐标系中的曲线或直线）表示两个变量之间的对应关系。这种方法形象直观，能帮助我们从整体上把握函数的变化趋势。在解决实际问题时，我们常常需要根据具体情况灵活选择或综合运用这些表示方法。二、一次函数的深入探究：定义、图象与性质一次函数是初中阶段学习的第一种基本初等函数，也是应用最为广泛的函数之一。2.1一次函数的定义一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）的函数，叫做一次函数。*当b=0时，一次函数y=kx（k≠0）也叫做正比例函数。正比例函数是特殊的一次函数。*理解一次函数定义的核心在于抓住“k≠0”和“自变量x的次数是1”这两个关键点。2.2一次函数的图象一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是一条直线。因此，画一次函数的图象，只需确定两个点，再过这两点作直线即可。*正比例函数y=kx（k≠0）的图象是经过原点（0，0）的一条直线。通常取（0，0）和（1，k）两点。*一般一次函数y=kx+b（k≠0，b≠0）的图象，通常取与坐标轴的交点：与y轴的交点（0，b）和与x轴的交点（-b/k，0）。2.3一次函数的性质一次函数的性质主要由其解析式中的系数k和b决定。*系数k的作用：*k的符号决定函数的增减性：当k>0时，y随x的增大而增大，函数图象从左到右上升；当k<0时，y随x的增大而减小，函数图象从左到右下降。*|k|的大小决定直线的倾斜程度：|k|越大，直线越陡；|k|越小，直线越平缓。*系数b的作用：*b是函数图象与y轴交点的纵坐标，即交点坐标为（0，b）。*当b>0时，图象与y轴交于正半轴；当b=0时，图象经过原点；当b<0时，图象与y轴交于负半轴。综合k和b的符号，我们可以确定一次函数图象经过的象限。例如，当k>0，b>0时，直线经过第一、二、三象限。三、一次函数与方程、不等式的联系：数形结合的魅力函数、方程、不等式是紧密联系的数学概念，利用一次函数的图象来解决方程和不等式的问题，能充分体现数形结合思想的优越性。*一次函数与一元一次方程：一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与x轴交点的横坐标，就是一元一次方程kx+b=0的解。*一次函数与一元一次不等式：对于一次函数y=kx+b（k≠0），当y>0时，即kx+b>0，其解集是函数图象在x轴上方部分对应的x的取值范围；当y<0时，即kx+b<0，其解集是函数图象在x轴下方部分对应的x的取值范围。四、函数的应用：解决实际问题的利器学习函数的最终目的是为了应用于实际。利用一次函数解决实际问题的一般步骤是：1.审题：理解题意，明确问题中的已知量、未知量以及它们之间的关系。2.设元：选择适当的自变量和函数，并用字母表示。3.列函数关系式：根据题目中的等量关系，列出一次函数的解析式。4.确定自变量的取值范围：结合实际问题的意义，确定自变量x的取值范围。5.求解：利用函数的解析式或其图象，解决提出的实际问题（如求值、最值、方案选择等）。6.检验与作答：检验结果是否符合实际意义，并写出完整的答案。常见的应用题型有：行程问题、工程问题、利润问题、方案优化问题、几何图形中的动态问题等。五、专题复习试题与解析（一）基础巩固选择题1.下列函数关系中，是一次函数的是（）A.正方形的面积S与边长a的关系B.圆的周长C与半径r的关系C.矩形面积一定时，长y与宽x的关系D.y=x²-2x+1*提示：回忆一次函数定义，看哪个选项符合y=kx+b（k≠0）的形式。*2.函数y=(x-1)/(x+2)中，自变量x的取值范围是（）A.x≠1B.x≠-2C.x≥1D.x>-2*提示：分式有意义的条件是分母不为零。*3.一次函数y=-2x+3的图象不经过（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限*提示：根据k和b的符号判断直线经过的象限。k=-2<0，b=3>0。*填空题4.已知一次函数y=kx+b的图象经过点（0，-3）和（1，1），则k=______，b=______。*提示：将两点坐标代入解析式，得到关于k、b的方程组，求解即可。*5.若函数y=(m-2)x+5-m是正比例函数，则m=______，该函数的解析式为______。*提示：正比例函数是b=0且k≠0的一次函数。*解答题6.已知一次函数的图象经过点A（2，5）和点B（-1，-1）。（1）求此一次函数的解析式；（2）画出此函数的图象；（3）判断点C（1，2）是否在该函数的图象上。*提示：（1）设y=kx+b，代入A、B两点坐标求解；（2）两点确定一条直线；（3）将点C坐标代入解析式，看左右是否相等。*（二）能力提升7.已知一次函数y=(2m-1)x+m+3。（1）若函数值y随x的增大而减小，求m的取值范围；（2）若函数图象与y轴的交点在x轴的上方，求m的取值范围；（3）若函数图象经过第一、二、四象限，求m的取值范围。*提示：（1）k<0；（2）b>0且k≠0；（3）k<0且b>0。*8.如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，3）。（1）求此一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积（O为坐标原点）；（3）在x轴上是否存在一点P，使得△PAB的面积为△AOB面积的2倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。*提示：（1）用待定系数法；（2）OA、OB为直角边；（3）以PA为底，OB为高，或考虑P点在A点左侧和右侧两种情况。*（三）综合应用9.某商店准备购进A、B两种商品。已知购进A商品3件和B商品2件，共需120元；购进A商品5件和B商品4件，共需220元。（1）求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？（2）若该商店准备用不超过1000元购进这两种商品，且A商品数量不少于B商品数量的2倍，问最多能购进多少件A商品？（3）若A商品每件售价30元，B商品每件售价45元，在（2）的条件下，如何进货才能使销售总利润最大？最大利润是多少？*提示：（1）列二元一次方程组求解进价；（2）设购进A商品x件，B商品y件，根据题意列不等式组，用含x的式子表示y，再根据x、y为正整数求解；（3）列出利润关于x（或y）的一次函数，根据一次函数的增减性求最值。*六、复习建议1.回归课本，吃透概念：函数的概念、一次函数的定义、图象和性质是基础中的基础，务必理解透彻，不能似是而非。2.勤于动手，规范作图：画一次函数图象是掌握其性质的重要手段，要养成规范作图的习惯，通过图象直观感受k、b对函数的影响。3.多做练习，总结方法：通过不同类型的题目练习，巩固知识，掌握解题技巧。注意总结各类问题的常用解法和易错点