(2025年)数据结构图练习试题及答案

(2025年)数据结构图练习试题及答案一、选择题1.一个有n个顶点的无向连通图，至少有（）条边。A.n-1B.nC.n+1D.2n答案：A解析：对于一个有n个顶点的无向连通图，要保证图是连通的，至少需要n-1条边，这种情况下图是一棵树，树是连通无环的无向图，若边数少于n-1则图不连通。2.若一个有向图的邻接矩阵中，主对角线以下的元素均为0，则该图的拓扑排序（）。A.一定存在B.一定不存在C.可能存在也可能不存在D.无法确定答案：A解析：有向图的邻接矩阵主对角线以下元素均为0，说明图中不存在从编号大的顶点指向编号小的顶点的边，即图中不存在回路，而一个有向无环图一定存在拓扑排序。3.在一个具有n个顶点的有向图中，若所有顶点的出度之和为s，则所有顶点的入度之和为（）。A.sB.s-1C.s+1D.2s答案：A解析：在有向图中，每条有向边会给一个顶点贡献一个出度，同时给另一个顶点贡献一个入度，所以所有顶点的出度之和等于所有顶点的入度之和。4.对于一个带权有向图G，采用迪杰斯特拉（Dijkstra）算法求从某一源点到其余各顶点的最短路径，要求图中（）。A.所有边的权值为非负B.所有边的权值为正C.所有边的权值为负D.边的权值无限制答案：A解析：迪杰斯特拉算法的基本思想是每次选择距离源点最近且未确定最短路径的顶点，然后以该顶点为中间点更新其他顶点到源点的距离。如果图中存在负权边，可能会出现已经确定最短路径的顶点，在后续处理中由于负权边的存在使得其最短路径发生变化，导致算法失效，所以要求所有边的权值为非负。5.一个无向图有n个顶点和e条边，则其邻接表中表结点的个数为（）。A.2eB.eC.n+eD.2n答案：A解析：在无向图的邻接表中，每条边在邻接表中会被表示两次（因为无向边没有方向），所以表结点的个数为2e。6.若要把一个无向图G转化为一个有向图D，使得G的连通性和D的强连通性等价，则D中至少需要添加（）条有向边。A.n-1B.nC.2n-1D.n(n-1)/2答案：A解析：对于一个有n个顶点的无向连通图，将其转化为有向强连通图，至少需要添加n-1条有向边。可以通过将无向图的提供树的边改为有向边，并且保证形成一个有向环的方式来实现，而提供树有n-1条边。7.下面关于图的遍历说法错误的是（）。A.深度优先搜索（DFS）类似于树的先序遍历B.广度优先搜索（BFS）类似于树的层序遍历C.深度优先搜索和广度优先搜索的时间复杂度都与图的存储结构有关D.深度优先搜索和广度优先搜索的空间复杂度都与图的顶点数无关答案：D解析：深度优先搜索和广度优先搜索的空间复杂度都与图的顶点数有关。深度优先搜索使用栈来实现递归调用，栈的深度最大可能达到顶点数；广度优先搜索使用队列来存储待访问的顶点，队列中最多可能存储所有顶点，所以空间复杂度都与顶点数有关。8.已知一个有向图的邻接表存储结构，若要删除所有从顶点v出发的边，则需要（）。A.遍历邻接表中顶点v对应的链表，删除所有表结点B.遍历邻接表中所有链表，删除所有指向顶点v的表结点C.遍历邻接表中所有链表，删除所有从顶点v出发的表结点D.以上说法都不对答案：A解析：在邻接表存储结构中，顶点v对应的链表存储的是从顶点v出发的所有边的信息，所以要删除所有从顶点v出发的边，只需要遍历邻接表中顶点v对应的链表，删除所有表结点即可。9.若一个图的邻接矩阵是对称矩阵，则该图一定是（）。A.有向图B.无向图C.完全图D.强连通图答案：B解析：对于无向图，其邻接矩阵是对称的，因为无向图的边没有方向，若顶点i和顶点j之间有边，则邻接矩阵中第i行第j列和第j行第i列的元素都为1（或边的权值）；而有向图的邻接矩阵不一定对称。10.在一个有向图中，若存在一个顶点v，使得从v出发可以到达图中其他所有顶点，且从其他所有顶点都可以到达v，则该图是（）。A.强连通图B.单向连通图C.弱连通图D.不连通图答案：A解析：强连通图的定义是图中任意两个顶点之间都存在双向的路径，即从一个顶点可以到达另一个顶点，同时从另一个顶点也可以到达这个顶点。题目中描述的顶点v满足从它出发可以到达其他所有顶点，且其他所有顶点都可以到达它，符合强连通图的定义。二、填空题1.图的两种主要存储结构是__________和__________。答案：邻接矩阵、邻接表解析：邻接矩阵是用一个二维数组来表示图中顶点之间的邻接关系，邻接表是一种链式存储结构，每个顶点对应一个链表，链表中存储与该顶点相邻的顶点信息。2.对于一个有n个顶点和e条边的无向图，其邻接矩阵中值为1的元素个数为__________。答案：2e解析：无向图的邻接矩阵是对称的，每条边在邻接矩阵中会对应两个值为1的元素（因为无向边没有方向），所以值为1的元素个数为2e。3.深度优先搜索（DFS）使用__________来实现，广度优先搜索（BFS）使用__________来实现。答案：栈、队列解析：深度优先搜索是沿着一条路径尽可能深地访问顶点，当无法继续时回溯，使用栈来实现递归调用；广度优先搜索是按照层次依次访问顶点，使用队列来存储待访问的顶点。4.若一个有向图的拓扑排序结果唯一，则该图中一定不存在__________。答案：有向环解析：拓扑排序是对有向无环图的顶点进行排序的一种方法，如果图中存在有向环，则无法得到一个有效的拓扑排序。而当拓扑排序结果唯一时，说明图中不存在多个可以同时选择的顶点，即不存在有向环。5.带权图的最小提供树是指图中所有提供树中__________最小的提供树。答案：边的权值之和解析：最小提供树是在一个带权的连通无向图中，找到一棵包含所有顶点且边的权值之和最小的树。6.已知一个有向图的邻接矩阵A，若A[i][j]=1，则表示__________。答案：从顶点i到顶点j有一条有向边解析：在有向图的邻接矩阵中，若A[i][j]=1，则表示存在一条从顶点i指向顶点j的有向边。7.图的遍历算法中，深度优先搜索和广度优先搜索的时间复杂度在邻接矩阵存储结构下为__________，在邻接表存储结构下为__________。答案：O(n²)、O(n+e)解析：在邻接矩阵存储结构下，要访问每个顶点和其所有邻接顶点，需要遍历整个二维数组，时间复杂度为O(n²)；在邻接表存储结构下，需要访问每个顶点和其所有邻接边，时间复杂度为O(n+e)，其中n是顶点数，e是边数。8.若要判断一个有向图中是否存在回路，可以使用__________算法。答案：拓扑排序解析：如果一个有向图可以进行拓扑排序，则说明图中不存在回路；如果无法得到拓扑排序结果，则说明图中存在回路。9.对于一个有n个顶点的无向完全图，其边的数量为__________。答案：n(n-1)/2解析：无向完全图中任意两个顶点之间都有一条边，从n个顶点中选2个顶点的组合数为C(n,2)=n(n-1)/2。10.迪杰斯特拉（Dijkstra）算法用于求解带权有向图中__________到其余各顶点的最短路径。答案：某一源点解析：迪杰斯特拉算法的目的是在带权有向图中，从一个指定的源点出发，找到到其余各顶点的最短路径。三、判断题1.有向图的邻接矩阵一定是不对称的。（）答案：错误解析：有向图的邻接矩阵不一定是不对称的，当有向图是对称有向图（即若存在从顶点i到顶点j的边，则一定存在从顶点j到顶点i的边）时，其邻接矩阵是对称的。2.深度优先搜索和广度优先搜索的遍历结果一定是唯一的。（）答案：错误解析：深度优先搜索和广度优先搜索的遍历结果不一定唯一，因为在选择下一个访问的顶点时可能有多种选择，不同的选择会导致不同的遍历结果。3.一个无向图的连通分量是其极大连通子图。（）答案：正确解析：连通分量是无向图中的极大连通子图，即该子图是连通的，且不能再加入其他顶点使其仍然连通。4.带权图的最小提供树一定是唯一的。（）答案：错误解析：带权图的最小提供树不一定是唯一的，当图中存在多条边的权值相等且都可以构成最小提供树时，最小提供树就不唯一。5.拓扑排序可以用于有向无环图和有向有环图。（）答案：错误解析：拓扑排序只能用于有向无环图，因为有向有环图无法得到一个有效的拓扑排序结果。6.邻接表存储结构比邻接矩阵存储结构更节省空间，尤其是对于稀疏图。（）答案：正确解析：对于稀疏图（边数远小于顶点数的平方），邻接表只存储实际存在的边的信息，而邻接矩阵需要存储所有顶点之间的关系，所以邻接表更节省空间。7.迪杰斯特拉算法可以处理带负权边的图。（）答案：错误解析：迪杰斯特拉算法要求图中所有边的权值为非负，因为如果存在负权边，可能会导致已经确定最短路径的顶点，在后续处理中由于负权边的存在使得其最短路径发生变化，导致算法失效。8.图的遍历算法中，深度优先搜索和广度优先搜索的空间复杂度都与图的边数有关。（）答案：错误解析：深度优先搜索和广度优先搜索的空间复杂度主要与图的顶点数有关，深度优先搜索使用栈来实现递归调用，栈的深度最大可能达到顶点数；广度优先搜索使用队列来存储待访问的顶点，队列中最多可能存储所有顶点。9.若一个有向图的邻接矩阵中所有元素都为0，则该图是一个空图。（）答案：正确解析：邻接矩阵中所有元素都为0表示图中不存在任何边，即该图是一个空图。10.无向图的连通性和有向图的强连通性是等价的。（）答案：错误解析：无向图的连通性是指图中任意两个顶点之间都存在路径，而有向图的强连通性是指图中任意两个顶点之间都存在双向的路径，二者概念不同，不等价。四、解答题1.已知一个无向图G有6个顶点，其邻接矩阵如下：\[\begin{bmatrix}0&1&1&0&0&0\\1&0&1&1&0&0\\1&1&0&0&1&0\\0&1&0&0&1&1\\0&0&1&1&0&0\\0&0&0&1&0&0\end{bmatrix}\]（1）画出该无向图G的图形。（2）写出从顶点1出发的深度优先搜索（DFS）序列和广度优先搜索（BFS）序列。答案：（1）根据邻接矩阵画出的无向图G如下：顶点1与顶点2、3相邻；顶点2与顶点1、3、4相邻；顶点3与顶点1、2、5相邻；顶点4与顶点2、5、6相邻；顶点5与顶点3、4相邻；顶点6与顶点4相邻。（2）从顶点1出发的深度优先搜索（DFS）序列：1->2->3->5->4->6从顶点1出发的广度优先搜索（BFS）序列：1->2->3->4->5->6解析：深度优先搜索是沿着一条路径尽可能深地访问顶点，当无法继续时回溯；广度优先搜索是按照层次依次访问顶点。2.对下图所示的有向图进行拓扑排序，并写出拓扑排序的步骤。（此处假设有一个有向图，顶点为A、B、C、D、E，边有A->B，A->C，B->D，C->D，D->E）答案：拓扑排序步骤如下：（1）选择入度为0的顶点，这里是A，将A输出，并从图中删除A以及所有从A出发的边，得到新的图。（2）此时入度为0的顶点有B和C，选择B，将B输出，并从图中删除B以及所有从B出发的边。（3）此时入度为0的顶点是C，将C输出，并从图中删除C以及所有从C出发的边。（4）此时入度为0的顶点是D，将D输出，并从图中删除D以及所有从D出发的边。（5）最后入度为0的顶点是E，将E输出。拓扑排序结果为：A->B->C->D->E3.已知一个带权无向图G，顶点集合为{1,2,3,4,5}，边的信息如下：(1,2)权值为3，(1,3)权值为5，(2,3)权值为1，(2,4)权值为7，(3,4)权值为2，(3,5)权值为4，(4,5)权值为6。使用Prim算法求该图的最小提供树，并写出每一步的选择过程。答案：Prim算法步骤如下：（1）选择顶点1作为起始顶点，将其加入到最小提供树的顶点集合U中，U={1}。（2）在所有一端在U中，另一端不在U中的边中，选择权值最小的边，这里是(1,2)权值为3，将顶点2加入到U中，U={1,2}，最小提供树加入边(1,2)。（3）在所有一端在U中，另一端不在U中的边中，选择权值最小的边，这里是(2,3)权值为1，将顶点3加入到U中，U={1,2,3}，最小提供树加入边(2,3)。（4）在所有一端在U中，另一端不在U中的边中，选择权值最小的边，这里是(3,4)权值为2，将顶点4加入到U中，U={1,2,3,4}，最小提供树加入边(3,4)。（5）在所有一端在U中，另一端不在U中的边中，选择权值最小的边，这里是(3,5)权值为4，将顶点5加入到U中，U={1,2,3,4,5}，最小提供树加入边(3,5)。最小提供树的边集合为{(1,2),(2,3),(3,4),(3,5)}，边的权值之和为3+1+2+4=10。4.简述迪杰斯特拉（Dijkstra）算法的基本思想，并使用该算法求下图（假设一个带权有向图，顶点为A、B、C、D，边及权值：A->B权值为2，A->C权值为4，B->C权值为1，B->D权值为7，C->D权值为3）中从顶点A到其他各顶点的最短路径。答案：迪杰斯特拉算法的基本思想：设图G=(V,E)，源点为s，将顶点集合V分为两个集合S和V-S，S中存储已经确定最短路径的顶点。初始时，S中只有源点s，源点到自身的最短路径为0。然后每次从V-S中选择距离源点最近的顶点u，将其加入到S中，并以u为中间点更新V-S中其他顶点到源点的距离，直到S包含所有顶点。使用迪杰斯特拉算法求从顶点A到其他各顶点的最短路径步骤如下：（1）初始化：S={A}，dist[A]=0，dist[B]=2，dist[C]=4，dist[D]=∞。（2）选择距离源点A最近且不在S中的顶点B，将B加入到S中，S={A,B}。以B为中间点更新其他顶点的距离：dist[C]=min(dist[C],dist[B]+1)=min(4,2+1)=3，dist[D]=min(dist[D],dist[B]+7)=min(∞,2+7)=9。（3）选择距离源点A最近且不在S中的顶点C，将C加入到S中，S={A,B,C}。以C为中间点更新其他顶点的距离：dist[D]=min(dist[D],dist[C]+3)=min(9,3+3)=6。（4）选择距离源点A最近且不在S中的顶点D，将D加入到S中，S={A,B,C,D}。最终从顶点A到其他各顶点的最短路径：A到B的最短路径长度为2，路径为A->B；A到C的最短路径长度为3，路径为A->B->C；A到D的最短路径长度为6，路径为A->B->C->D。五、算法设计题1.设计一个算法，判断一个有向图是否为强连通图。答案：```pythondefis_strongly_connected(graph):n=len(graph)深度优先搜索函数defdfs(v,visited):visited[v]=Trueforiinrange(n):ifgraph[v][i]==1andnotvisited[i]:dfs(i,visited)从每个顶点出发进行深度优先搜索foriinrange(n):visited=[False]ndfs(i,visited)如果存在一个顶点无法访问到所有其他顶点，则不是强连通图forjinrange(n):