2025年全国大学生数学建模竞赛赛前培训模拟卷

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姓名：______班级：______学号：______得分：______

（考试时间：90分钟，满分：100分）

1.选择题（共5题，每题4分，计20分）

2.填空题（共5题，每题4分，计20分）

3.简答题（共3题，每题10分，计30分）

4.分析题（共2题，每题15分，计30分）

5.论证题（共1题，20分）

6.案例分析题（共1题，15分）

7.模型建立与求解题（共1题，20分）

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**1.选择题（共5题，每题4分，计20分）**

1.1若函数f(x)在[a,b]上连续，则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得______。

A.f(ξ)=0

B.f(ξ)=(f(b)+f(a))/2

C.f(ξ)=f'(ξ)

D.ξ=(a+b)/2

1.2矩阵A=[[1,2],[3,4]]的逆矩阵为______。

A.[[1,-2],[-3,4]]

B.[[-1,2],[3,-4]]

C.[[4,-2],[-3,1]]

D.[[-4,2],[3,-1]]

1.3微分方程y''-4y'+4y=0的通解为______。

A.y=Ce^2x

B.y=(C1+C2x)e^2x

C.y=C1e^2x+C2e^-2x

D.y=e^2x(C1sinx+C2cosx)

1.4设向量组α1,α2,α3线性无关，则向量组α1+α2,α2+α3,α3+α1的秩为______。

A.1

B.2

C.3

D.无法确定

1.5设随机变量X~N(μ,σ^2)，则P(X>μ)等于______。

A.0.5

B.1

C.0

D.依赖于μ

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**2.填空题（共5题，每题4分，计20分）**

2.1极限lim(x→0)(sinx/x)=______。

2.2曲线y=x^3-3x^2+2在x=1处的切线方程为______。

2.3级数∑(n=1to∞)(1/2^n)的和为______。

2.4若A是3阶方阵，|A|=2，则|3A|=______。

2.5设X~P(λ)，则E(X^2)=______。

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**3.简答题（共3题，每题10分，计30分）**

3.1简述定积分的定义及其几何意义。

3.2解释什么是线性无关向量组，并举例说明。

3.3简述概率密度函数的性质。

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**4.分析题（共2题，每题15分，计30分）**

4.1分析函数f(x)=x^3-6x^2+9x+1的单调区间和极值点。

4.2已知矩阵A=[[1,1],[0,1]]，求A^10的通项公式。

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**5.论证题（共1题，20分）**

证明：若数列{an}单调递增且收敛，则其极限唯一。

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**6.案例分析题（共1题，15分）**

某工厂生产两种产品A和B，利润分别为每件10元和12元，生产每件产品A需消耗原料3kg，产品B需消耗原料2kg，工厂每日原料供应量为100kg。求如何安排生产计划使每日利润最大？

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**7.模型建立与求解题（共1题，20分）**

某城市人口增长服从Logistic模型，初始人口为100万，最大承载量为1000万，增长率k=0.05。求：

（1）建立人口增长模型；

（2）计算5年后的人口数量；

（3）何时人口达到500万？

8.计算题（共4题，每题5分，计20分）

8.1计算∫[0,1]x^2*e^xdx

8.2求解线性方程组：

x+2y=5

3x+4y=9

8.3计算行列式D=|[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]|的值

8.4已知事件A的概率P(A)=0.6，事件B的概率P(B)=0.7，且P(AB)=0.4，求P(A|B)

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9.证明题（共2题，每题10分，计20分）

9.1证明：若函数f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上有界

9.2证明：向量组α1,α2,α3线性无关的充要条件是其中任意一个向量都不能由其余两个向量线性表示

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10.应用题（共2题，每题10分，计20分）

10.1某商品的需求量Q与价格p的关系为Q=100-2p，求当p=10时的边际需求

10.2设随机变量X的分布律为：

X012

P0.20.50.3

求E(X)和D(X)

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11.拓展题（共1题，15分）

已知函数f(x)满足f''(x)+f(x)=0，且f(0)=1，f(π/2)=0，求f(x)

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12.综合题（共1题，15分）

设向量组α1=[1,1,1],α2=[1,2,3],α3=[1,3,k]，

（1）求k为何值时，向量组线性无关；

（2）求k为何值时，向量组线性相关，并求其秩及一个极大无关组

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13.模拟应用题（共1题，10分）

某投资者有资金10万元，计划投资两种风险不同的股票，股票A的预期收益率为10%，风险系数为0.1，股票B的预期收益率为15%，风险系数为0.2。投资者希望总预期收益率为12.5%，风险系数不超过0.15。求两种股票的投资比例

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14.数值分析题（共1题，10分）

用牛顿迭代法求方程x^3-x-1=0在区间[1,2]内的近似根，迭代初值x0=1.5，保留两位小数

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15.线性规划题（共1题，10分）

某公司生产两种产品，每件产品A需要1小时加工和2小时装配，利润为30元；每件产品B需要2小时加工和1小时装配，利润为40元。公司每周可提供40小时加工时间和30小时装配时间。求每周生产多少件产品A和产品B可使总利润最大？

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**1.选择题答案**

1.1B1.2C1.3B1.4C1.5A

**2.填空题答案**

2.112.2y=-2x+42.312.4182.5λ^2

**3.简答题答案要点**

3.1定积分定义：函数f(x)在[a,b]上的定积分是极限∫[a,b]f(x)dx=lim(n→∞)∑[i=1ton]f(ξi)Δxi，其中ξi∈[xi-1,xi]，Δxi=xi-xi-1。几何意义是曲线y=f(x)与x=a,x=b及x轴围成的面积。

3.2线性无关：向量组α1,α2,...,αn线性无关指不存在不全为零的数k1,k2,...,kn使得k1α1+k2α2+...+knαn=0。例如α1=[1,0],α2=[0,1]线性无关。

3.3概率密度函数性质：①f(x)≥0；②∫[-∞,+∞]f(x)dx=1；③P(a<X<b)=∫[a,b]f(x)dx。

**4.分析题答案要点**

4.1f'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)^2≥0，故单调递增。极值点在f'(x)=0处，即x=1，此时f(1)=5为极大值。

4.2A^2=[[1,1],[0,1]]^2=[[1,1],[0,1]],猜测A^n=[[1,an-1],[0,1]]。用数学归纳法证明：假设成立，则A^(n+1)=A^n·A=[[1,an-1],[0,1]]·[[1,1],[0,1]]=[[1,an],[0,1]]，结论成立。

**5.论证题答案要点**

设数列{an}单调递增且收敛于a1和a2，a1<a2，取ε=(a2-a1)/2>0。由收敛定义，存在N使得当n>N时|an-a1|<ε，即an<a1+ε=a1+(a2-a1)/2=a2-ε，矛盾。故极限唯一。

**6.案例分析题答案要点**

设生产A产品x件，B产品y件，目标函数MaxZ=10x+12y，约束条件：

3x+2y≤100

x≥0,y≥0

用图解法，最优解为x=20,y=30，最大利润=10*20+12*30=660元。

**7.模型建立与求解题答案要点**

（1）模型：P(t)=P0*e^(kt*(1-P(t)/K))，P0=100，K=1000，k=0.05。

（2）P(5)=100*(e^(0.05*5*(1-100/1000)))≈127.27万。

（3）令P(t)=500，解得t≈22.31年。

**8.计算题答案**

8.1∫[0,1]x^2*e^xdx=x^2e^x|0,1-∫[0,1]2xe^xdx=1-2(e^x*x|0,1-e^x|0,1)=1-2(e-1)=-1+2e

8.2x=1,y=2

8.3D=1×(5×9-6×8)+2×(4×9-6×7)+3×(4×8-5×7)=-3+0-9=-12

8.4P(A|B)=P(AB)/P(B)=0.4/0.7≈0.571

**9.证明题答案要点**

9.1用反证法：假设f(x)无界，则存在子列趋于+∞或-∞，与连续性矛盾。

9.2充分性：若存在向量α不能由其余线性表出，则表出系数唯一。必要性：若α能表出且系数不唯一，则线性相关。

**10.应用题答案**

10.1Q'=100-2p，p=10时Q'=-20，即边际需求为-20（价格每增1元，需求减少20件）。

10.2E(X)=0*0.2+1*0.5+2*0.3=1.1，D(X)=E(X^2)-(E(X))^2=(0^2*0.2+1^2*0.5+2^2*0.3)-(1.1)^2=0.49。

**11.拓展题答案**

特征方程r^2+1=0，r=±i，通解y=C1cosx+C2sinx。由y(0)=1得C1=1，由y(π/2)=0得C2=0，故y=cosx。

**12.综合题答案**

（1）det[α1,α2,α3]=1*(2k-6)-1*(k-3)+1*(3-2)=k-3=0⇒k=3；

（2）k=3时向量组秩为2，极大无关组为α1,α2。

**13.模拟应用题答案**

设投资A比例x，B比例y，约束：

0.1x+0.2y=0.125

0.1x+0.2y≤0.15

x+y=1

解得x=0.75,y=0.25。

**14.数值分析题答案**

f(x)=x^3-x-1，f'(x)=3x^2-1。x0=1.5，f(1.5)=0.875，f'(1.5)=5.25。

x1=x0-f(x0)/f'(x0)=1.5-0.875/5.25≈1.439，保留两位为1.44。

**15.线性规划题答案**

MaxZ=30x+40y

s.t.x+2y≤40

2x+y≤30

x,y≥0

最优解x=10,y=10，Z=700。

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**知识点分类总结**

**一、基础理论**

1.极限与连续：极限计算（洛必达法则）、函数连续性判断、闭区间上性质（最值定理、介值定理）。

2.一元微积分：导数定义与计算、积分计算（牛顿-莱布尼茨公式、分部积分）、微分方程求解。

3.矩阵与向量：行列式计算、矩阵运算、线性方程组求解（克拉默法、高斯消元）、向量空间基与维数。

**二、线性代数**

1.线性相关性：向量组线性表出、秩的计算、极大无关组求法。

2.特征值与特征向量：特征方程求解、对角化条件。

3.矩阵变换：初等变换、逆矩阵计算。

**三、概率统计**

1.基础概率：概率运算公式、条件概率、独立性。

2.随机变量：分布律与密度函数、期望与方差计算。

3.数理统计：抽样分布、参数估计。

**四、应用模型**

1.微分方程应用：经济模型（边际分析）、增长模型（Logistic模型）。

2.线性规划：资源分配问题、生产计划优化。

3.数值方法：牛顿迭代法求根、图解法解线性规划。

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**各题型知识点详解及示例**

**1.选择题**

考察核心概念辨析能力，如极限性质、矩阵运算规则、概率基本性质。

示例：向量组线性无关的判定需掌握“反证法构造矛盾”思路。

**2.填空题**

侧重基础计算准确性，如定积分基本公式、行列式展开法则、期望方差公式。

示例：E(X^2)=Var(X)+[E(X)]^2是计算方差的常用技巧。

**3.简答题**

要求清晰阐述定义与定理，如定积分定义的黎曼和形式、线性无关的几何意义（无公共起点延伸不共线）。

**4.分析题**

考察综合分析能力，需结合导数、行列式、收敛性等工具。

示例：单调性与极值点关系需通过导数符号变化分析。

**5.论证题**

重点考察逻辑推理与反证法，如单调有界数列收敛性证明。

**6.案例分析题**

应用题典型形式，需建立数学模型（目标函数+约束条件），如生产计划问题需转化线性规划。

**7.模型建立与求解**

综合运用微分方程与数值方法，需理解实际背景（人口增长模型参数意义）。

**8.计算题**

考察基本运算技能，如积分技巧（分部积分）、行列式计算（按行/列展开）。

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