结构、差异与素养：整式的除法单元教学新探

结构、差异与素养：整式的除法单元教学新探一、教学内容分析一、教学内容分析从《义务教育数学课程标准（2022年版）》审视，“整式的除法”隶属于“数与代数”领域，是“整式的加减”与“整式的乘法”之后，对整式运算体系的最后一块拼图。其核心在于理解并掌握单项式除以单项式、多项式除以单项式的运算法则。在知识图谱上，它不仅是幂的运算性质（同底数幂除法）的直接应用与延伸，更是后续学习分式运算、函数表达式变形乃至因式分解的重要基石，承上启下的枢纽地位显著。课标强调的“运算能力”与“推理能力”在本课教学中得以集中体现。过程方法上，本节课是引导学生经历“从具体数字运算到抽象字母表示”、“从幂的运算到整式运算”的归纳与类比过程的绝佳载体，旨在培养学生的符号意识与数学建模的初步思想。从素养价值看，严谨的运算过程训练了学生的逻辑思维与规则意识，而通过法则的探索与推导，能让学生体会数学知识的内在一致性与简洁美，渗透理性精神。教学重难点预判为：法则的归纳过程（特别是多项式除以单项式）、运算中符号与系数的准确处理，以及法则的灵活应用。基于“以学定教”原则进行学情诊断：学生已熟练掌握幂的运算、整式乘法，具备了进行类比探究的知识储备，但除法运算的步骤相对乘法更复杂，符号与指数运算的复合易导致错误。生活经验中，除法作为分配、平均化的模型可被激活。可能的认知障碍在于对“转化”思想的理解——将多项式除以单项式转化为单项式除法之和。为动态把握学情，教学将设计前测性问题（如回顾同底数幂除法）、嵌入贯穿始终的“试一试”环节，并通过小组讨论中的倾听与巡视，捕捉典型思路与共性错误。针对差异化需求，对理解迅速的学生，提供更具综合性和抽象性的变式题，引导其探究法则的本质；对存在困难的学生，将通过“脚手架”（如步骤分解卡片、具体数字先行类比）和同伴互助，减缓认知坡度，确保基础目标的达成。二、教学目标二、教学目标知识目标：学生能准确叙述单项式除以单项式、多项式除以单项式的运算法则，理解其算理源自于乘除互逆关系与分配律。能够运用法则对给定的整式除法进行准确、规范的运算，明确运算的步骤与依据，构建起整式四则运算的完整知识结构。能力目标：学生通过观察、比较具体算例，经历从特殊到一般的归纳过程，发展数学抽象与概括能力。在解决整式除法问题的过程中，能灵活选用并综合运用相关运算法则，进行有条理的符号运算和推理，提升运算能力与逻辑推理能力。情感态度与价值观目标：学生在探索法则的过程中，感受数学的严谨性与系统性，体验通过逻辑推导获得新知的成就感。在小组合作与交流中，愿意分享自己的思路，并认真倾听、辨析同伴的观点，培养合作学习的态度与理性交流的意识。科学（学科）思维目标：重点发展类比思维与转化思想。学生能够自觉地将“单项式除以单项式”的探究路径类比迁移至“多项式除以单项式”的研究中；能将复杂的多项式除法问题，通过转化为多个单项式除法之和来简化处理，体会化归这一核心数学思想的力量。评价与元认知目标：学生能够在完成练习后，依据运算法则和步骤规范进行自我检查，识别运算中的常见错误（如符号、漏项、指数错误）。能简要反思在解决问题过程中策略选择的得失，初步形成规划解题步骤并事后验证的元认知习惯。三、教学重点与难点三、教学重点与难点教学重点是单项式除以单项式、多项式除以单项式运算法则的理解与应用。确立依据在于：从课程标准看，整式的运算是代数学习的基础，除法法则作为其中关键一环，是发展学生“运算能力”这一核心素养的直接抓手。从知识结构看，这两个法则是本章乃至整个代数式变形与运算的基石，后续学习分式约分、解方程等均依赖于此。从学业评价看，整式除法是各类考试的常见考点，不仅考查直接计算，更常融入复杂代数式化简求值中，体现能力立意。教学难点在于多项式除以单项式法则的算理理解及其灵活应用。难点成因主要有二：一是认知跨度，学生需要从“商的每一项”这一结果，逆向理解将除法分配律转化为多个单项式除法的思维过程，抽象性较强；二是应用障碍，在具体运算中，学生容易遗漏某项，或是在处理符号、系数、指数时出现复合性错误。预设突破方向：利用乘法与除法互为逆运算的关系进行验证，强化理解；设计从具体数字到字母的逐步抽象过程，搭建认知阶梯；通过针对性错例辨析，深化对法则细节的把握。四、教学准备清单四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：多媒体课件（内含探究问题、法则归纳动画、分层例题与练习题）、交互式白板或黑板。1.2学习材料：设计并印制《“整式的除法”探究学习任务单》（包含探究引导、分层练习题、课堂小结框架）。1.3环境布置：将学生座位提前安排为四人异质小组，便于合作讨论与互评。2.学生准备2.1知识回顾：复习同底数幂的除法法则、整式乘法的相关法则。2.2学具：准备好练习本、笔、尺规。五、教学过程五、教学过程第一、导入环节1.情境关联，提出问题：“同学们，还记得我们之前如何计算一个长方形的面积吗？如果现在我告诉你，一个长方形的面积是12x³y²，宽是4xy，你能求出它的长吗？”（稍作停顿，等待学生反应）。“很好，这需要用除法：(12x³y²)÷(4xy)。但这是整式的除法，我们之前学过整式的加减和乘法，那么除法该怎么进行呢？这就是今天我们要一起攀登的新高地。”1.1唤醒旧知，明晰路径：“请大家先在心里默默算一下12÷4=？，x³÷x=？，y²÷y=？。感觉到什么联系了吗？我们今天就要从这些简单的‘零件’出发，组装出整式除法的完整‘机器’。首先我们会解决像12x³y²÷4xy这样的单项式除法，然后挑战更复杂的多项式除以单项式。准备好你们的‘数学工具箱’，我们出发！”第二、新授环节任务一：探寻单项式除以单项式的法则教师活动：首先板书或投影导入中的问题：(12x³y²)÷(4xy)。引导：“我们暂时把字母看成‘有单位的数’，x³就是x·x·x。谁能根据乘除法的关系，尝试说明这个式子表示什么？”（预设学生回答：求一个因式，使得它与4xy相乘等于12x³y²）。接着，教师分解提问：“那么，这个‘因式’的系数应该是多少？x的指数部分呢？y的部分呢？”根据学生回答，板书计算过程：(12÷4)·(x³÷x)·(y²÷y)=3x²y。然后，给出第二例：(5a⁴b³c)÷(2a²b)，提问：“这个式子中，系数、字母、指数各有何特点？按照刚才的思路，我们应该如何‘分而治之’？”引导学生归纳步骤：①系数相除；②同底数幂相除；③只在被除式中有的字母连同指数直接落下来。学生活动：聆听教师引导，思考乘除互逆关系。尝试口头回答教师的分解性问题，参与计算过程的构建。独立或与邻座讨论完成第二个例子的计算，并尝试用自己的语言描述计算步骤。部分学生可能提出关于符号（负号）处理的问题。即时评价标准：1.能否清晰地用乘除互逆关系解释除法算式的含义。2.在计算过程中，是否能将系数、同底数幂、独有字母三个部分分开考虑并正确运算。3.描述步骤时语言是否准确、有条理。形成知识、思维、方法清单：★单项式除以单项式法则：把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。▲关键三步走：“先系数，再同底，独有字母跟着走。”★符号处理：遵循有理数除法法则，先确定商的符号。▲转化思想：将复杂的单项式除法分解为系数除法与多个同底数幂除法的组合。任务二：从“一个”到“多个”——多项式除以单项式的猜想教师活动：抛出新情境：“现在挑战升级！如果长方形的面积是(6a³b+4a²b²)，宽仍然是2ab，长该怎么表示？”写出算式：(6a³b+4a²b²)÷2ab。启发：“这是一个多项式除以单项式。请大家类比我们学过的‘数的运算’，比如(6+4)÷2怎么算？它和6÷2+4÷2结果一样吗？”（学生齐答：一样）。接着追问：“那么，对于字母式子，我们是否也可以大胆猜想一下，(6a³b+4a²b²)÷2ab可以怎样转化呢？”鼓励学生提出猜想：等于(6a³b)÷2ab+(4a²b²)÷2ab。学生活动：积极进行数字类比，回顾乘法分配律的逆用。大胆提出将多项式除以单项式转化为多个单项式除以单项式之和的猜想。部分学生可能会产生疑虑，思考这种“分配”是否总是成立。即时评价标准：1.能否成功建立数字运算与代数运算的类比联系。2.猜想是否合理、清晰，并勇于表达。3.是否对猜想的普遍性产生质疑，体现初步的批判性思维。形成知识、思维、方法清单：★核心猜想：多项式除以单项式，可能转化为这个多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加。▲类比迁移：这是将已有的数字运算律（分配律）向代数式推广的重要思维方法。★验证必要性：猜想需要证明或验证才能成为法则，培养严谨的科学态度。任务三：验证猜想，确立法则教师活动：“猜想很精彩，但它必须经得起检验！我们如何验证(6a³b+4a²b²)÷2ab=(6a³b)÷2ab+(4a²b²)÷2ab呢？”引导学生回忆：检验除法算式是否正确，可以用什么方法？（预设：乘法，商×除数=被除数）。教师板书验证过程：设商为M，则M=(6a³b)÷2ab+(4a²b²)÷2ab=3a²+2ab。计算M×(2ab)=(3a²+2ab)×2ab=6a³b+4a²b²，等于原被除式，验证成功。再迅速用另一例(12x⁴8x³+4x²)÷4x²进行巩固验证。然后引导学生抽象概括：“由此，我们可以总结出多项式除以单项式的法则是什么？”学生活动：在教师引导下，想到利用乘除互逆关系进行验证。观察教师的验证板书，理解每一步的依据。参与第二个例子的口头验证或简要笔算。尝试用精炼的数学语言概括法则。即时评价标准：1.能否理解并说出验证猜想的数学依据（乘除互逆）。2.能否跟随验证过程，明晰每一步的代数变形。3.概括法则时语言是否完整、准确。形成知识、思维、方法清单：★多项式除以单项式法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。▲字母表示：(am+bm+cm)÷m=am÷m+bm÷m+cm÷m(m≠0)。★核心算理：本质是乘法分配律的逆用。▲验证方法：利用“商×除数=被除数”进行检验，是代数推理的基本功。任务四：法则的初步应用与规范书写教师活动：出示例题：计算(24x³y12x²y²+8xy³)÷(6xy)。强调：“这是我们的第一次‘实战’，请特别注意两个‘小伙伴’：符号和步骤。”教师边讲边规范板书：首先将除法写成分式线形式，清晰地展示将除数分配给每一项的过程：=(24x³y)÷(6xy)+(12x²y²)÷(6xy)+(8xy³)÷(6xy)。然后逐步计算每一项：=4x²+2xy(4/3)y²。提问：“第三项系数计算结果是8÷(6)=4/3，写成负三分之四，注意不要写成4/(3)y²，要将负号置于整个分数前。”展示易错写法，让学生辨析。学生活动：在任务单上跟随教师同步练习，模仿规范书写格式。重点关注符号变化和系数约分的过程。辨析教师展示的易错点，加深印象。即时评价标准：1.书写是否规范，是否清晰地体现“每一项分别除”的步骤。2.系数相除（尤其是分数结果）是否正确，符号处理是否无误。3.能否识别并解释常见的书写错误。形成知识、思维、方法清单：★规范书写格式：建议写成分式线形式或清晰的展开式，避免跳步。▲运算细节：系数相除结果为分数时，应化简为最简分数，并将符号置于分数之前。★易错点提醒：①漏除某项；②符号错误（特别是多项式首项为负时）；③只在被除式有的字母及其指数处理错误；④系数运算失误。任务五：综合辨析与逆向思考教师活动：设计一组辨析与填空问题。1.辨析：(6a⁴b³4a³b⁴)÷2ab=3a³b²2a²b³对吗？为什么？（引导学生发现指数错误）。2.填空：(______)÷(3xy)=2x²+xy1。对于填空題，引导：“这相当于已知商和除数，求被除数！怎么‘逆回去’？”启发学生利用被除数=商×除数逆运算求解：(2x²+xy1)×(3xy)=6x³y3x²y²+3xy。学生活动：独立思考辨析题，指出错误所在并纠正。对于逆运算填空题，经历短暂的困惑后，在教师启发下“恍然大悟”，积极运用刚学的乘除关系进行逆向计算，体验思维的可逆性。即时评价标准：1.能否敏锐发现辨析题中的指数运算错误。2.面对逆向问题时，能否灵活转换思维角度，运用乘法进行求解。3.逆向计算过程是否准确、完整。形成知识、思维、方法清单：▲思维进阶：法则的应用不仅包括正向计算，还包括逆向思维和辨析纠错，这深化了对法则结构的理解。★乘除互逆关系的灵活运用：除法问题有时转化为乘法解决更简便，这是重要的解题策略。★常见错误类型：指数相减错误（应a⁴÷a=a³，非a⁴）。第三、当堂巩固训练基础层：1.计算：①(15a¹⁰b⁵c)÷(5a⁸b²)；②(9x²y³6x³y²)÷3xy²。目标：直接应用法则，巩固运算步骤和规范性。反馈：学生独立完成，同桌交换批改，教师巡视收集典型正确与错误案例。综合层：2.化简求值：[(2x+y)²y(y+4x)]÷2x，其中x=1/2。目标：在稍复杂（需先化简被除式）的情境中综合运用整式乘法公式和除法法则。反馈：请一位学生板演，全班共同观察其步骤是否完整、化简是否正确、代入求值是否准确。教师点评关键点：“同学们看，这里首先要‘打扫房间’，把括号里的被除式化简整洁，然后再进行除法。”挑战层：3.已知一个三角形的面积是(6a³9a²+3a)，底边长是3a，求这条底边上的高。目标：将几何问题抽象为代数式，并应用多项式除以单项式求解，体现数学建模思想。反馈：作为弹性任务，请完成的学生简要分享思路，教师肯定其将实际问题转化为数学问题的能力。第四、课堂小结“旅程接近尾声，让我们一起来‘绘制地图’。”引导学生从以下维度进行结构化总结：知识整合：“我们今天搭建了两座‘桥梁’：单项式除以单项式（三步走），和多项式除以单项式（转化求和）。它们共同构成了整式除法的知识版图。”可以邀请学生尝试用框架图表示。方法提炼：“在建造桥梁的过程中，我们用到了哪些重要的‘工具’或方法？”（学生可能回答：类比猜想、验证推理、转化化归、逆向思维）。作业布置：必做（基础+拓展）：教材课后练习A组题，以及学习任务单上两道综合应用题。选做（探究）：1.探索(a+b+c)²÷(a+b+c)的结果，你能发现什么规律？2.请设计一道能用到本节课所学法则的应用题。最后，留下思考悬念：“整式的除法我们已经掌握，那么两个多项式之间能否相除呢？这将是我们未来探索的新方向。”六、作业设计基础性作业（必做）：1.完成教材本节后练习中涉及单项式除以单项式、多项式除以单项式的基本计算题共8道，要求步骤清晰、书写规范。2.整理课堂笔记，用彩色笔标出两个运算法则和三个易错点。拓展性作业（建议大多数学生完成）：1.化简计算：[(2ab²)³+4a³b⁵]÷(2ab²)²。2.实际问题：一块长方形草坪面积为(12x²y+8xy²)平方米，宽为4xy米，求其周长。探究性/创造性作业（选做）：1.探究题：观察(aⁿbᵐ)÷(aˣbʸ)、(aⁿbⁿ)÷(ab)（n为具体小数值）等特殊形式整式除法的结果，尝试归纳规律（不要求证明）。2.小老师：请为你的一位同学讲解一道你认为最具有代表性的整式除法题目，并录制一段不超过2分钟的讲解音频或视频。七、本节知识清单及拓展★单项式除以单项式法则：系数相除作为商的系数；同底数幂相除；只在被除式中出现的字母连同指数作为商的一部分。例如：(12a⁸b⁶)÷(4a⁵b²)=3a³b⁴。计算口诀：先系数，再同底，独有字母跟着走。★多项式除以单项式法则：用多项式的每一项分别除以单项式，再将所得的商相加。本质是乘法分配律的逆用。例如：(6x³9x²+3x)÷3x=2x²3x+1。关键：确保每一项都除以该单项式，不能漏项。▲运算法则的算理基础：两者均基于乘除法的互逆关系进行推导和验证。理解“商×除数=被除数”是掌握法则、进行验算和逆向思考的根本。★规范运算步骤：对于多项式除以单项式，建议写成分式形式(多项式)/(单项式)，或清晰地展开为多个单项式除法的和，避免跳步导致错误。▲符号处理规则：遵循有理数除法法则确定商的符号。当被除式或除式为负时，需谨慎处理每一项商的符号，特别关注多项式首项的符号变化。★易错点集中营：①指数错误：同底数幂相除时，指数应相减（aᵐ÷aⁿ=aᵐ⁻ⁿ），而非相除或其他。②漏项：多项式除法时，极易遗漏中间项或常数项。③系数错误：系数相除未约分至最简，或分数形式书写不规范（如4/(2)应写为2）。④独有字母遗漏：只在被除式中存在的字母忘记写入商中。▲转化与化归思想：多项式除以单项式通过转化为若干个单项式除法来求解，体现了将复杂问题分解、转化为已知简单问题的化归思想，这是数学中的核心思维策略。★逆向应用：已知商和除数（单项式），求被除式（多项式）时，可利用被除式=商×除数进行逆运算。这是检验对法则结构理解深度的有效方式。▲与整式乘法的关系：整式除法与乘法互为逆运算。熟练掌握乘法公式（如平方差、完全平方公式）往往能简化被除式，使除法运算更便捷。★实际应用背景：整式除法可用于解决几何图形中的边长、高问题，物理中的平均分配问题等，体现了代数作为描述现实世界数量关系的工具价值。八、教学反思(一)目标达成度与环节有效性评估本教学设计以“导入探究巩固小结”为明线，以“具体抽象应用反思”的认知发展为暗线，结构性较强。从假设的课堂实况看，导入环节的生活化问题能迅速聚焦课题，类比数字运算的过渡平滑有效。“大家感觉到联系了吗？”这类口语成功激发了学生的探究欲。新授环节的五个任务层层递进：任务一从已有知识自然生长出新法则；任务二、三的“猜想验证”模式是亮点，它完整地呈现了数学知识的产生过程，不仅教法则，更教了获取法则的方法——“我们如何验证猜想呢？”这一问，将学生的思维引向了深处；任务四的规范书写与任务五的逆向辨析，则从正反两方面巩固了认知，针对性强。核心素养中的“运算能力”与“推理能力”在这些任务中得到了扎实训练。(二)学生表现差异分析与策略得失在小组讨论和巡视中，能明显观察到学生的差异：大部分学生能跟上类比猜想的步伐，并顺利完成基础计算。部分思维活跃的学生在任务五的逆向思考中表现出优势，并能清晰讲解。然而，仍有少数学生在多项式除以单项式的“转化”步骤上存在迟疑，尤其是在处理带负号的项