六年级数学下册：“折扣”问题的深度探究与思维拓展

六年级数学下册：“折扣”问题的深度探究与思维拓展一、教学内容分析

本节课隶属于人教版六年级下册“百分数（二）”单元，是百分数知识在现实生活中的典型应用。从《义务教育数学课程标准（2022年版）》来看，本课坐标清晰：在知识技能图谱上，它要求学生从理解“折扣”的生活概念出发，将其数学化为“百分之几十”或“几成”，并熟练进行原价、现价、折扣率三量之间的互算。这一内容承接了上册百分数意义与一般计算，并为后续综合运用解决更复杂的金融、经济问题奠定基础，是培养学生数学应用能力的关键节点。在过程方法路径上，课标强调的“模型思想”与“应用意识”在此得以集中体现。教学需引导学生经历“实际情境抽象为数学问题——建立‘原价×折扣=现价’等数量关系模型——运用模型求解并回归现实解释”的完整过程，将数学建模的初步思想转化为可操作的课堂探究活动。就素养价值渗透而言，本课是发展学生“三会”的优良载体：用数学眼光观察现实世界中的商业促销现象，用数学思维分析比较不同折扣方案的优劣，用数学语言清晰表达问题解决的过程与策略。同时，透过数字计算，可潜移默化地渗透理性消费、批判性思维等价值观念，实现学科育人。

基于“以学定教”原则，进行学情研判。已有基础与障碍方面，六年级学生已牢固掌握百分数的意义与互化，并拥有丰富的购物折扣生活经验。常见的认知障碍在于：易将“打几折”机械理解为“除以十”，而忽略其百分数本质；在解决“折上折”或已知现价反推原价等逆向、复杂问题时，数量关系容易混淆。过程评估设计将贯穿课堂始终：通过导入环节的生活化提问、新授中的小组讨论与板演、巩固练习的即时反馈，动态捕捉学生对核心关系的理解程度与思维卡点。教学调适策略上，将实施差异化支持：对于基础薄弱学生，提供“折扣意义理解清单”和直观线段图作为思维支架；对于学有余力者，则设计开放性的“最优购物方案设计”任务，引导其进行综合应用与策略优化，确保不同层次学生都能在最近发展区内获得提升。二、教学目标

知识目标：学生能深刻理解“折扣”即表示现价是原价的百分之几十，并能在折扣、成数与百分数之间熟练互化。他们能自主建构并清晰阐述原价、现价与折扣率三者之间的基本数量关系模型（原价×折扣率=现价），并能够举一反三，推导出求原价或折扣率的变式公式，形成结构化的知识网络。

能力目标：学生能够从真实的购物情境中准确识别数学信息，抽象出折扣问题模型，并选择恰当的策略进行求解。在面对“折上折”“满减优惠对比”等复杂或新型促销模式时，能够进行批判性分析、综合计算与方案比较，形成初步的数据分析与决策能力。

情感态度与价值观目标：在小组合作探究与方案辩论中，学生能乐于分享自己的解题思路，认真倾听同伴见解，形成理性探讨的学习氛围。通过对各类促销手段的数学剖析，初步树立理性消费、精明理财的意识，认识到数学在现实生活中的实用价值。

科学（学科）思维目标：重点发展学生的模型思想与推理能力。通过将具体折扣问题抽象为普适数学模型的过程，强化符号意识与概括能力。在解决变式问题时，引导学生进行逻辑严密的顺向与逆向推理，并渗透优化思想，学会从数学角度寻求最优解。

评价与元认知目标：引导学生运用“关系是否准确”“步骤是否清晰”“结果是否符合实际”等标准，对本人及同伴的解题过程进行评价。在课堂小结阶段，鼓励学生反思问题解决的不同路径（算术法、方程法），比较优劣，初步形成根据问题特点选择策略的元认知意识。三、教学重点与难点

教学重点：牢固建立“原价×折扣=现价”这一核心数量关系模型，并能熟练运用该模型及其变式解决基础折扣问题。其确立依据源于课标对“模型思想与应用意识”的核心要求，以及小升初考试中此类问题作为百分数应用高频率、高分值考点的地位。掌握此模型，是学生能否将生活问题数学化、并灵活解决所有折扣变式问题的基石。

教学难点：灵活、综合地运用模型解决“折上折”、已知现价和折扣求原价（逆运算）、以及折扣与“满减”等混合优惠方案的对比分析问题。难点成因在于，这些问题超越了单一公式的直接套用，需要学生克服思维定式，深刻理解数量关系的本质，并可能涉及多步运算或策略比较。突破方向在于，设计循序渐进的变式任务链，借助线段图等直观手段厘清关系，并鼓励学生用方程思想驾驭逆向思维。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：精心制作的多媒体课件，内含真实商品促销海报（如“全场八折”“第二件半价”“满300减50”）、动态演示的数量关系线段图。1.2学习材料：分层设计的学习任务单（含基础练习、综合应用与挑战任务）、课堂巩固练习卷。2.学生准备2.1学具：常规文具、计算器（以备复杂计算）。2.2经验准备：回忆一次自己或家人的购物经历，关注其中的优惠方式。3.环境准备3.1座位安排：课前将学生分为46人异质小组，便于合作探究与讨论。五、教学过程第一、导入环节1.情境创设与问题驱动：1.1课件出示两张学生熟悉的网络购物节宣传图，一张写着“双十一狂欢，全场五折起！”，另一张是某品牌鞋的详情页：“原价520元，现价416元”。1.2教师抛出问题：“同学们，看到这些信息，你的第一反应是什么？‘五折’到底是什么意思？那这双鞋到底是打了几折呢？我们怎么快速判断？”（等待学生七嘴八舌地回答）对，大家生活经验都很丰富，知道打折就是便宜了。但作为数学学习者，我们不能只停留在感觉上，今天这节课，咱们就来当一回“精明小买家”和“数学分析师”，把“折扣”里的数学密码弄得清清楚楚、明明白白！2.建立联系与明确路径：教师引导：“其实，‘折扣’问题和我们上学期学的一个数学知识关系最密切，猜猜是什么？”（学生：百分数！）非常好！折扣就是百分数在商业中的一种特殊应用。这节课，我们将首先统一“折扣语言”，然后找到解决所有折扣问题的“万能钥匙”（数量关系模型），最后用这把钥匙去破解更复杂的促销谜题。第二、新授环节任务一：生活概念数学化——理解“折扣”本质1.教师活动：首先，组织学生进行小组头脑风暴：“生活中你还在哪里见过‘折扣’？‘打八折’‘打七五折’‘第二件半价’分别是什么意思？”巡视倾听，捕捉学生可能出现的“打八折就是便宜八元”等错误前概念。随后，请小组代表分享。教师板书典型说法，并追问：“‘打八折’是不是付8元钱？‘半价’又相当于打几折呢？”引导学生用百分数来解释。最后，教师进行精讲：“在数学上，我们统一规定：几折就是十分之几，也就是百分之几十。例如，八折=8/10=80%。特别地，‘几几折’如七五折，就是百分之七十五。”2.学生活动：积极参与小组讨论，结合生活经验举例说明对折扣的理解。倾听同伴分享，对不同说法进行比较和辨析。在教师引导下，尝试用自己的话将“打几折”转化为“原价的百分之几十”，并记录关键结论。3.即时评价标准：1.能举出至少一个正确的折扣生活实例。2.在讨论中能主动使用“原价”“现价”“百分之几”等术语。3.能清晰表达“折扣表示现价占原价的百分比”这一核心理解。4.形成知识、思维、方法清单：★折扣的数学定义：“折扣”指现价占原价的百分比。几折就是百分之几十，几几折就是百分之几十几。教学提示：必须强化“占原价的”这一关键，这是建立数量关系的基础。▲易混点辨析：“折扣”表示的是比例关系，而非具体减少的钱数。“打八折”意为现价是原价的80%，而非便宜了20元或8元。（可设问：一件100元的衣服打八折，便宜多少钱？一件200元的呢？）★关键互化：能将折扣、成数（如“三成”）、分数、百分数进行熟练转换，这是统一问题中数量“语言”的前提。任务二：关系初探——建立核心数量模型1.教师活动：承接任务一，出示具体例子：“一件原价100元的T恤，打八折出售，现价是多少元？”引导学生用不同方法求解：100×0.8=80（元），或100×80%=80（元）。接着追问：“这里的100元、80%、80元，在折扣问题中分别被称为什么？”（原价、折扣率、现价）。板书关系式：原价×折扣率=现价。然后变化问题：“如果这件T恤打完折后卖60元，你知道它是打几折吗？”引导学生得出：折扣率=现价÷原价。再问：“如果知道现价是75元，折扣是七五折，能求出原价吗？”引出：原价=现价÷折扣率。2.学生活动：跟随教师引导，通过具体计算理解三个量的关系。尝试用自己的语言复述三个公式的来源与联系。在教师引导下，发现这三个公式本质上是乘法数量关系“因数×因数=积”及其两个变形的具体应用。3.即时评价标准：1.能独立利用“原价×折扣率=现价”解决基础问题。2.在教师引导下，能理解并口头表述求折扣率或原价的逆向思考过程。3.能意识到三个公式是相通的，都源于同一个基本关系。4.形成知识、思维、方法清单：★核心数学模型：原价×折扣率=现价。这是所有折扣问题的基础与源头。（板书时可用方框突出，并视为“母公式”）★模型的两个推论：折扣率=现价÷原价；原价=现价÷折扣率。强调这并非三个孤立公式，而是同一关系在不同求解目标下的变形。▲学科方法渗透：初步体会数学建模过程：从具体例子（特殊）中抽象出普遍关系（一般），再用一般关系解决更多具体问题。（可解说：“看，我们从一件T恤的问题中，找到了能解决千千万万件商品折扣问题的金钥匙！”）任务三：模型初用——解决基础型问题1.教师活动：出示一组基础练习题，如：1.一套书原价200元，打九折出售，现价？2.一个书包现价72元，是原价的九折，求原价。3.一双运动鞋原价250元，现价200元，打几折？先让学生独立完成，然后请不同学生板书并讲解思路。教师聚焦于引导学生说明每一步计算依据的是哪一个数量关系，并点评：“这位同学不仅算对了，更重要的是，他能清楚地告诉大家，他是根据‘原价=现价÷折扣率’来列式的，这就是心中有模型。”2.学生活动：独立审题，识别题目中的原价、现价、折扣率信息，判断是求哪一个量，并选择正确的数量关系进行计算。认真倾听同伴讲解，对照自己的思路，检查是否准确应用了模型。3.即时评价标准：1.能正确识别题目中的已知量和未知量。2.能选择正确的数量关系式并准确列式计算。3.讲解时，能使用规范的数学语言说明解题依据。4.形成知识、思维、方法清单：★解题步骤规范化：解决折扣应用题的一般步骤：一找（找出原价、现价、折扣率中的已知与未知）；二判（判断题目类型，选择对应关系式）；三算（列式计算）；四查（检查结果是否合理，如折扣率是否小于1）。（这是程序性知识的内化关键）▲易错点警示：在计算折扣率时，结果通常用百分数或小数表示，如“0.8”或“80%”，勿忘转化为“八折”的表述。求原价的题目，学生易误用乘法，需强化“已知现价和比例求原价用除法”的思维。任务四：模型深化——破解“折上折”问题1.教师活动：创设新情境：“某商场庆，先全场打九折，会员在此基础上再享九五折。爸爸是会员，他看中一件原价500元的外套，最终需要付多少钱？”先让学生凭直觉猜一猜是打了几折。然后引导学生分步分析：第一次打折后价格是500×90%=450（元），这450元成为第二次打折的“原价”，所以现价=450×95%=427.5（元）。追问：“这相当于一次性打了几折呢？怎么算？”引导学生计算：427.5÷500=0.855=85.5%，即约八五五折。并总结规律：“连续打折，折扣率是连续相乘的关系。”2.学生活动：尝试独立或小组合作分步计算。在教师引导下，理解“折上折”中，第一次的现价成为第二次的原价。计算整体折扣率，并与猜测对比，发现并非简单折扣相加（9折+95折≠185折）。归纳连续打折的计算方法。3.即时评价标准：1.能理解“折上折”问题需要分步处理。2.能正确进行连续乘法计算。3.能通过计算整体折扣率，理解连续打折的实质。4.形成知识、思维、方法清单：★“折上折”模型：最终现价=原价×第一次折扣率×第二次折扣率×…。（强调“连续相乘”，可与单一折扣模型对比）▲思维提升点：破除“折扣可以相加”的错误直觉。通过计算整体折扣率，深化对折扣作为“比例因子”本质的理解。（可设问：“为什么打折越打越‘少’，而不是简单相加？”）★策略提炼：解决复杂折扣问题，常用“分步分析法”，将复杂问题拆解为几个简单的标准模型步骤。任务五：思维拓展——逆向问题与策略优化1.教师活动：提出挑战性问题：“小华用省下的钱买了一套玩具，商店做活动‘一律七折’，他付了210元。这套玩具原价多少元？如果不列方程，你能直接算吗？”鼓励学生用不同方法（方程210÷0.7；算术210÷7×10）解决，并比较优劣。接着，出示综合情境：“同一款笔记本，A店‘打八折’，B店‘满100元减20元’。如果笔记本原价恰好是100元，在哪家买划算？如果原价是150元呢？”组织小组辩论，引导学生建立计算模型：A店现价=原价×80%；B店现价=原价满减金额（需判断是否达到满减条件）。让学生通过具体计算感受“原价不同，最优方案可能不同”。2.学生活动：尝试用方程或算术方法解决逆向问题，体会方程在理顺逆向思维时的优越性。在小组辩论中，为不同原价情况计算在两个商店的实际花费，通过数据比较得出结论，并尝试总结“满减”与“打折”优惠方式的区别与适用条件。3.即时评价标准：1.能运用方程或算术方法正确解决已知现价求原价的逆向问题。2.在方案比较中，能建立正确的计算模型并准确执行计算。3.能在小组讨论中提出有依据的观点，并进行数据支撑的辩论。4.形成知识、思维、方法清单：★逆向问题策略：当所求是原价（单位“1”）时，方程是强有力的工具（设原价为x，列方程：折扣率×x=现价）。算术方法则需要深刻理解“已知部分和其对应分率求整体用除法”。▲“折扣”与“满减”的数学模型对比：折扣是比例模型（原价×比率），满减是分段函数模型（原价定额，有条件）。比较时需具体计算，无统一结论。（这是培养批判性思维和优化思想的良好载体）★核心素养落地：此任务综合体现了数学建模、数据分析、数学运算等核心素养，引导学生像决策者一样思考，基于数学计算做出理性判断。第三、当堂巩固训练

设计分层、变式练习题组，限时10分钟完成。1.基础层（全体必做）：①一件商品原价80元，打六五折，现价？②一台电风扇现价240元，是原价的八折，原价？③一双球鞋原价320元，现价256元，所打折扣？2.综合层（大多数学生挑战）：④书店图书“每满100元减15元”，小明想买一套原价280元的丛书，实际应付多少？这与“打八五折”相比，哪种更优惠？（请计算说明）3.挑战层（学有余力选做）：⑤某品牌手机推出两种促销：方案A：先打九折，再减50元；方案B：先减100元，再打八八折。若手机原价均为3000元，请计算两种方案的实际价格，并为商场经理分析两种方案的设计思路及可能的营销目标。

反馈机制：完成后，通过投影展示不同学生的解题过程。基础题采用集体核对与简要提问方式；综合题与挑战题请学生上台讲解，并引导其他学生从“模型运用是否准确”、“计算过程是否规范”、“结论表述是否完整”等角度进行同伴互评。教师最后进行聚焦点评，特别是针对第④⑤题中出现的不同思路和典型错误进行剖析。第四、课堂小结

引导学生进行结构化总结与元认知反思。“同学们，经过这一节课的探究，现在如果让你向爸爸妈妈介绍‘折扣’里的数学，你会重点讲哪几点？”鼓励学生用思维导图或关键词的形式在黑板上或笔记本上梳理。预期生成：1.折扣的意义（百分数）；2.核心模型（原价×折扣率=现价）；3.常见类型与策略（基础型、折上折、逆向求原价、方案比较）。教师补充：“更重要的是，我们经历了从生活中发现数学问题，建立模型，再应用模型去解决更复杂问题的过程，这就是数学的力量。”

作业布置：1.必做（基础）：完成练习册中关于折扣的基础应用题。2.选做（拓展）：寻找生活中至少两种不同的促销广告（如“买三赠一”、“第二件半价”），尝试用今天所学的数学知识进行分析，计算其相当于打了几折，并思考商家的意图。我们下节课将分享大家的发现。六、作业设计1.基础性作业（必做）

旨在巩固核心模型与基本技能。包含：5道直接应用“原价、现价、折扣率”三量公式的计算题；2道结合其他百分数知识（如求节省了百分之几）的简单应用题。要求书写规范，列式明确。2.拓展性作业（建议完成）

设计为情境化的微型项目：“家庭购物小参谋”。提供一份虚拟的家庭周末购物清单（包含衣物、书籍、食品等不同品类及原价），并给出商场A（全场八折）、商场B（满200减40）、商场C（会员折上折：先九折再九五折）三种促销方案。要求学生为家庭设计最省钱的购买方案（可拆分在不同商场购买），并撰写简要的决策报告，说明计算过程与理由。3.探究性/创造性作业（选做）

题为“我是营销策划师”：假设你是某文具品牌的策划人员，针对一款原价30元的笔记本，请你设计两种不同的促销方案（需超越简单的打折或满减），并用数学计算说明这两种方案对消费者的实际折扣力度，并分析它们各自可能吸引哪类顾客。鼓励使用图表、算式相结合的方式进行呈现。七、本节知识清单及拓展★1.折扣的本质定义：折扣表示现价占原价的百分比。“几折”就是十分之几，即百分之几十；“几几折”就是百分之几十几。例如：八折=80%，七五折=75%。★2.核心数量关系模型（三元）：原价×折扣率=现价。这是所有折扣问题的基石。由此可推导出：折扣率=现价÷原价；原价=现价÷折扣率。务必理解这三个式子同根同源。★3.基础问题解题步骤：一找（识别三量）、二判（判断求谁、选公式）、三算（准确计算）、四查（验证合理性）。求原价时，警惕惯性思维，明确“已知现价和对应分率，求单位‘1’用除法”。▲4.“折上折”的计算模型：最终现价=原价×折扣率1×折扣率2×…。连续相乘的规律破除“折扣可相加”的误区。整体折扣率=连续折扣率的乘积。★5.已知现价反求原价的策略：首选方程法（设原价为x），思路最顺；算术法需牢固掌握“对应量÷对应分率=单位‘1’”。▲6.“打折”与“满减”的数学模型对比：打折是线性比例模型（y=kx,k<1）；满减是分段常数模型（y=xn，当x≥阈值）。二者没有绝对的优劣，需根据具体原价计算比较。★7.易错点集锦：①误将折扣数当作减去的钱数；②将“打几折”结果误写为整数（如0.8忘写为80%）；③求原价时误用乘法；④比较“折上折”时误将折扣率相加。▲8.学科思想方法提炼：本节核心体现了数学模型思想（从具体情境抽象出普遍关系）、转化思想（折扣、百分数、小数互化）、优化思想（在多种方案中寻求最优解）。▲9.拓展概念：成数：“几成”就是十分之几，等同于百分之几十，如三成=30%。常用于表示农业收成、经济增长率等，其数学本质与折扣相通。▲10.现实中的复杂促销：“买M赠N”相当于花了M件钱买了(M+N)件货，折扣率为M/(M+N)；“第二件半价”若买两件，相当于整体打七五折（(1+0.5)/2=0.75）。鼓励在生活中用此眼光进行分析。八、教学反思

本次教学以“折扣”问题为载体，旨在深度实践素养导向与差异化教学的理念。从假设的课堂实施来看，教学目标基本达成。在目标达成度上，绝大多数学生能熟练进行折扣换算并解决基础问题，证据在于巩固练习基础层的高正确率；能力与思维目标在综合层与挑战层任务的完成过程中得到体现，部分学生能清晰阐述“折上折”模型与方案比较策略，表明模型思想初步建立。各教学环节有效性评估显示，导入环节的生活情境迅速激发了学生共鸣，驱动性问题有效；新授环节的五个任务构成了逻辑清晰的认知阶梯，特别是任务四与任务五引发的认知冲突与小组辩论，成为了课堂思维生长的高潮。然而，在任务三的模型初用环节，给予学生独立练习与反馈的时间稍显仓促，可能导致少数基础薄弱学生未能充分内化步骤。

对不同层次学生的剖析是本次设计的重点关切。通过分层任务单与小组异质合作，观察发现：基础层学生能在“脚手架”（如关系式清单、线段图）支持下顺利完成基础建模；中间层学生