云南曲靖市陆良县2025-2026学年高二年级上学期期末考试数学试题（试卷+解析）

陆良县2025年秋季学期高二年级期末考试数学试题卷（全卷四个大题，共19个小题，共6页；满分150分，考试用时120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡交回．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题“”的否定是（）A. B.C. D.2.已知集合，则（）A. B. C. D.3.若复数满足，则的虚部为（）A B. C. D.4.如图，在空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则（）A.B.C.D.5.若直线为双曲线的一条渐近线，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.26.已知定义在R上的函数，其中是奇函数且在R上单调递减，则的解集为（）A. B.C. D.7.已知圆锥的轴截面是一个正三角形，其中是圆锥顶点，AB是底面直径．若C是底面圆O上一点，P是母线SC上一点，，，则三棱锥外接球的表面积是（）A. B. C. D.8.Deepseek（深度求索）是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.8，衰减速度为30，且当训练迭代轮数为10时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.3以下（不含0.3）所需的训练迭代轮数至少为（）（参考数据：，）A.14 B.15 C.16 D.17二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法中正确是（）A.若事件两两独立，则B.样本数据32、20、42、28、34、48、36、39、45、52、49、55下四分位数为33C.从装有3个红球，4个白球袋中任意摸出3个球，事件“至少有2个红球”，事件“都是白球”，则事件与事件是对立事件D.若的平均数为2，方差为1，的平均数为6，方差为2，则的方差为5.510.已知抛物线，直线过的焦点，且与交于两点，则下列说法中正确的是（）A.若直线的斜率为，则B.以为直径的圆与轴相切C.的最小值为D.若点，则周长的最小值为11.函数的定义域为，且对任意的实数，都有，且，则下列说法正确的是（）A.为偶函数 B.为周期函数且周期为12C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在等比数列中，，公比，则___________．13已知直线，若，则___________14.在中，内角的对边分别是，且，则的最大值是___________．四、解答题：本题共5题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数，再从条件①､条件②､条件③中选择一个作为已知，（1）求的解析式；（2）当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.条件①：函数的图象经过点；条件②：函数的图象可由函数的图象平移得到；条件③：函数的图象相邻的两个对称中心之间的距离为.注：如果选择条件①､条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分.16.已知圆及直线．（1）求过点的圆的切线方程；（2）找出不论取什么实数时直线恒经过的点，并证明：直线与圆恒相交；（3）求直线被圆截得的最短弦的长．17.如图，在四棱锥中，，．（1）证明：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正切值．18.已知椭圆的离心率，左、右焦点分别为，且焦距为2．（1）求椭圆的标准方程；（2）设不与坐标轴垂直的直线与交于两点，线段的中点为，为坐标原点．（i）设直线与的斜率分别为，求证：为定值；（ii）若直线的方向向量为，求点的坐标.19.已知数列满足（1）求证：为等差数列；（2）设，记数列的前项和为，①求；②若，求的取值范围．

陆良县2025年秋季学期高二年级期末考试数学试题卷（全卷四个大题，共19个小题，共6页；满分150分，考试用时120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡交回．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题“”否定是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用特称命题的性质写出命题的否定即可.【详解】命题“”的否定为.故选：A2.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解二次函数不等式可得集合，结合交集的概念即可求得.【详解】解不等式得，即集合，则，故选：C.3.若复数满足，则的虚部为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据复数的模以及除法法则化复数为代数形式，即得结果.【详解】，则，即，故的虚部为.故选：D4.如图，在空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由向量的线性运算结合条件即得.【详解】.故选：B5.若直线为双曲线的一条渐近线，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】根据渐近线的概念，写出参数之间的等量关系，根据离心率的概念直接求出结果即可.【详解】因为直线为双曲线的一条渐近线，所以，则，由，则，离心率.故选：C6.已知定义在R上的函数，其中是奇函数且在R上单调递减，则的解集为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由是奇函数并结合奇函数的定义可得是奇函数，设，求导后可得单调递增，结合单调性可得单调递减，由奇函数可将转化为，由单调递减可得，进而可求得解集.【详解】由是奇函数可得，即，则有，所以为奇函数，设，则，故在R上单调递增，因为单调递减，所以单调递减，转化为，由于为奇函数，则有，由于在R上单调递减，则有，解得，故选：C.7.已知圆锥的轴截面是一个正三角形，其中是圆锥顶点，AB是底面直径．若C是底面圆O上一点，P是母线SC上一点，，，则三棱锥外接球的表面积是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】取点D在母线SA上且，可证明三棱锥与三棱锥外接球相同，再由正弦定理求出三角形的外接圆半径即为外接球半径得解.【详解】如图，设点D在母线SA上且，因为是直角三角形，所以三棱锥外接球的球心E在SO上，由≌，可得，即三棱锥外接球的球心E也是三棱锥外接球的球心，且两个外接球的表面积相等．由，得的外心即为三棱锥外接球的球心E．在中，，所以的外接圆的直径，所以三棱锥外接球的表面积是，故选：C．8.Deepseek（深度求索）是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.8，衰减速度为30，且当训练迭代轮数为10时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.3以下（不含0.3）所需的训练迭代轮数至少为（）（参考数据：，）A.14 B.15 C.16 D.17【答案】B【解析】【分析】根据已知条件列方程，可得，再由，结合指对数关系和对数函数的性质求解即可．【详解】由于，所以，依题意，则，则,由，两边同时取对数可得，，，，即，所以所需的训练迭代轮数至少为15次．故选：B二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法中正确的是（）A.若事件两两独立，则B.样本数据32、20、42、28、34、48、36、39、45、52、49、55的下四分位数为33C.从装有3个红球，4个白球的袋中任意摸出3个球，事件“至少有2个红球”，事件“都是白球”，则事件与事件是对立事件D.若的平均数为2，方差为1，的平均数为6，方差为2，则的方差为5.5【答案】BD【解析】【分析】对于A，由独立事件的定义可得若事件两两独立，不一定满足；对于B，先样本数据从小到大排序，由百分位数的计算方法，可得下四分位数即第25百分位数应为该组数据的第3位与第4位的平均数，对于C，事件A与事件B互斥但事件A与事件B的并集未覆盖所有情况，故事件A与事件B不对立；对于D，先求出总体平均数，再结合总体方差公式即可求解.【详解】对于A，若事件两两独立，则仅有，不一定满足，故A错误；对于B，将样本数据从小到大排序：20、28、32、34、36、39、42、45、48、49、52、55，共12个数据，，下四分位数即第25百分位数应为该组数据的第3位与第4位的平均数即，故B正确；对于C，事件A包含“2红1白”和“3红”两种情况，事件B包含“3白”一种情况，两者交集为空集，即事件A与事件B互斥，但事件A与事件B的并集未覆盖所有情况，缺少“1红2白”的情况，故事件A与事件B不对立事件，故C错误；对于D，设的平均数为，方差为，则，，故D正确，故选：BD.10.已知抛物线，直线过的焦点，且与交于两点，则下列说法中正确的是（）A.若直线的斜率为，则B.以为直径的圆与轴相切C.的最小值为D.若点，则周长的最小值为【答案】BCD【解析】【分析】对于A，由题意可得，联立后使用韦达定理有，由抛物线焦点弦长公式即可求得；对于B，由题意可得圆心到轴的距离等于半径，故B正确；对于C，设直线，与抛物线联立后结合韦达定理得，则，结合基本不等式即可求得的最小值；对于D，的周长为，其中为定值，由抛物线的定义，易得共线时取最小值，即此时周长取最小值.【详解】对于A，由题意得，若直线的斜率为，则有直线，联立，得，则有，则焦点弦长，故A错误；对于B，以为直径的圆，圆心为中点，半径为，圆心到轴的距离为，等于半径，因此圆与轴相切，故B正确；对于C，设直线，联立，得，则有，则，焦半径，，则，将代入可得，当且仅当时，即时等号成立，故的最小值为，C正确；对于D，的周长为，其中，由抛物线的定义可得为点到准线的距离，易得当共线时取最小值如图：则，则，故D正确.故选：BCD.11.函数的定义域为，且对任意的实数，都有，且，则下列说法正确的是（）A.为偶函数 B.为周期函数且周期为12C. D.【答案】ABC【解析】【分析】利用赋值法和偶函数的定义、周期函数的定义判断ABC，利用周期性求和判断D.【详解】因为，用代替可得，令，得，即，令，得，所以，C正确；用替换，可得，所以，所以函数为偶函数，A正确；用替换，可得，所以，所以，所以，即．所以，故是以12为周期的周期函数，B正确；，所以；，所以，D错误．故选：ABC．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在等比数列中，，公比，则___________．【答案】【解析】【分析】利用等比数列的通项公式计算即可.【详解】由题可知为等比数列，，，所以.故答案为：13.已知直线，若，则___________【答案】【解析】【分析】由一般式得到两直线斜率，再由两直线平行，斜率相等求解即可；【详解】当时，，，两直线不平行，当时，两直线平行斜率相等，，则，则，又，则两直线斜率相等，即，化简计算得：，解得：或，又时，，，两直线重合，故.故答案为：14.在中，内角的对边分别是，且，则的最大值是___________．【答案】##【解析】【分析】利用正弦定理结合三角恒等变换可得，再利用余弦定理结合基本不等式可得，进而可得的最大值.【详解】原式，由正弦定理得，即，则有，因为，则，即，由正弦定理可得，由余弦定理可得，因为，当且仅当时等号成立，可得，所以，且，则，故的最大值是.故答案为：.四、解答题：本题共5题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数，再从条件①､条件②､条件③中选择一个作为已知，（1）求的解析式；（2）当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.条件①：函数的图象经过点；条件②：函数的图象可由函数的图象平移得到；条件③：函数的图象相邻的两个对称中心之间的距离为.注：如果选择条件①､条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）;（2）.【解析】【分析】（1）化简，若选①，将点代入求得，可得答案；选②，根据三角函数图象的平移变化规律可得，可得答案；选②，由函数的最小正周期可确定，可得答案；（2）由确定，从而求得的范围，根据不等式恒成立即可确定实数的取值范围.【小问1详解】;选①：函数的图象经过点，则，所以，则，由，可得，则；选②：函数的图象可由函数的图象平移得到，即的图象可由函数的图象平移得到，则，则.选③：函数的图象相邻的两个对称中心之间的距离为，则函数的最小正周期为，故，故.【小问2详解】当时，,则，故，又当时，关于的不等式恒成立，故,即实数的取值范围为.16.已知圆及直线．（1）求过点的圆的切线方程；（2）找出不论取什么实数时直线恒经过的点，并证明：直线与圆恒相交；（3）求直线被圆截得的最短弦的长．【答案】（1）和（2），证明见解析（3）【解析】【分析】（1）考虑切线斜率是否存在，结合圆心到直线的距离等于半径求解；（2）将直线方程重新整理为然后求得定点，由点和圆位置关系判断点在圆内得出直线和圆相交；（3）由几何关系，当直线垂直于定点和圆心的连线时弦长最短.【小问1详解】由题意圆的方程为：，所以圆心，则，点在圆外，当切线斜率不存在时，其方程为，满足题意，当切线有斜率时，设切线斜率为，则切线方程为，则圆心到直线的距离为，所以直线方程为，即．综上可得：切线方程为和【小问2详解】可变形为，令，解得，所以直线恒经过点，因为，所以点在圆内部，所以直线l与圆C恒相交.【小问3详解】当直线l被圆C截得的弦长最短时，此弦与过圆心和点所在的直线垂直，设弦的斜率为，则，弦方程，即，所以圆心到直线的距离为，所以弦长为.17.如图，在四棱锥中，，．（1）证明：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正切值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）取中点，连接，易得平面，由线面垂直的性质则有，由勾股定理有，即，由线面垂直的判定则有平面，最终由面面垂直的判定有平面平面；（2）以为原点，直线分别为轴的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，使用向量夹角公式即可求得与平面所成角的正弦值，进而求出直线与平面所成角的正切值.【小问1详解】取中点，连接，则，因为，则，由且平面，则平面，由平面，则，在Rt中，，则，故，由且平面，所以平面，平面，则平面平面．【小问2详解】由（1），可构建以为原点，直线分别为轴的空间直角坐标系，所以，则设是平面一个法向量，则，取，则，所以与平面所成角的正弦值为，故，所以．所以与平面所成角的正切值.18.已知椭圆的离心率