浙江绍兴市上虞区2025-2026学年高二第一学期期末教学质量调测数学试题（试卷+解析）

2025学年第一学期高二期末教学质量调测数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.1和4的等比中项是（）A.4 B. C. D.2.点关于平面的对称点为（）A. B. C. D.3.“”是直线与直线平行（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则5.直线截圆所得劣弧所对圆心角为（）A. B. C. D.6.已知三棱柱侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形．若P为底面的中心，则与平面所成角的大小为（）A. B. C. D.7.已知抛物线与倾斜角为150°的直线交于A，B两点，且的中点横坐标为，则p为（）A.1 B. C. D.38.已知为双曲线上一点，过作直线，分别交双曲线的渐近线于M，N两点，O为坐标原点，则下列说法不正确的是（）A. B.C.的最小值为 D.的最小值为二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分.9.已知曲线：，则下列说法正确的是（）A.曲线不可能为圆 B.曲线不可能为抛物线C.当时，曲线为双曲线 D.时，曲线为椭圆10.已知数列的前项的和是，则下列说法正确的是（）A.是等差数列B.是递减数列C.当且仅当时，有最大值D.当时，的前项和11.点是棱长为2的正方体的表面上的一个动点，则（）A.当点在面上运动时，三棱锥的体积为定值B.当点在线段上运动时，与所成角的取值范围是C.若直线与平面所成的角为45°，则点的运动轨迹长度是D.设点是的中点，当在底面上运动，且满足时，的最小值为三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知双曲线：的左顶点为，则该双曲线的离心率为_____.13.等比数列首项，前项和为，若，则公比____________．14.设r，满足，则r的取值范围是______．四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知数列是公差不为等差数列，且，成等比数列.（1）数列的通项公式；（2）若等比数列的前两项为，求数列的通项公式，并求出数列的前项和.16.已知正三棱柱的所有棱长均为2，D为AB中点，E为棱上的动点．（1）求证：面面；（2）若直线CE与面所成角的余弦值为，试求AE的长．17.已知等腰直角的三个顶点为，，，且.（1）求点C的坐标；（2）若点D是中点，求的外接圆方程.18.如图，圆柱的轴截面是边长为4的正方形，点E，F为下底面圆周上的点，且是正三角形，点P是上底面圆周上一动点，G为直线与的交点.（1）证明：（i）面；（ii）不论点P在何位置，三棱锥的外接球半径大小不变.（2）求二面角的余弦值的取值范围.19.如图，已知三棱锥中，D为上一点且，、、的周长均为，为中点.（1）当时，求三棱锥体积的最大值；（2）若点M，N满足，且的周长也为.（i）求的面积；（ii）求证：B，C，M，N四点共圆.

2025学年第一学期高二期末教学质量调测数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.1和4的等比中项是（）A.4 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据等比中项定义可得答案.【详解】设1和4的等比中项是，则，所以.故选：C.2.点关于平面的对称点为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据空间直角坐标系中点的对称关系可得结果.【详解】在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点，其坐标和坐标保持不变，坐标变为原来的相反数，则点关于平面的对称点为，故选：B.3.“”是直线与直线平行的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先由两直线平行求出参数a，再由充分不必要条件的定义即可得解.【详解】若直线与直线平行，当时，两直线为和直线，平行，符合；当时，两直线为和直线，则，综上，直线与直线平行的充要条件是.所以“”是直线与直线平行的充分不必要条件.故选：A4.已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】D【解析】【详解】不正确，因为垂直于同一条直线的两个平面平行；不正确，垂直于同一个平面的两个平面平行或相交；平行于同一条直线的两个平面平行或相交；正确.5.直线截圆所得劣弧所对的圆心角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出圆的圆心到直线距离即可求得劣弧所对圆心角.【详解】圆的圆心O(0，0)，半径，则点O到直线的距离，设劣弧所对的圆心角为，则，解得，即，所以劣弧所对的圆心角为.故选：C6.已知三棱柱的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形．若P为底面的中心，则与平面所成角的大小为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据三棱柱的体积公式，求得，结合线面角的定义，即可求解.【详解】如图所示，底面是边长为的正三角形，可得，三棱柱的侧棱与底面垂直，底面是边长为的正三角形，所以该三棱柱为正三棱柱.设点是的中心，所以面所以为与平面所成角.所以，解得，又由，在直角中，可得，又，所以.故选：B7.已知抛物线与倾斜角为150°的直线交于A，B两点，且的中点横坐标为，则p为（）A1 B. C. D.3【答案】D【解析】【分析】根据直线倾斜角设出直线方程并与抛物线联立，由韦达定理以及中点横坐标可得.【详解】由题意知直线的斜率，设直线的方程为,，联立直线和抛物线方程可得，整理得，由韦达定理，又的中点横坐标为,即，所以，解得.故选：D.8.已知为双曲线上一点，过作直线，分别交双曲线的渐近线于M，N两点，O为坐标原点，则下列说法不正确的是（）A. B.C.的最小值为 D.的最小值为【答案】D【解析】【分析】由题得，联立直线与渐近线方程求出M、N两点坐标，直接由两点间距离公式计算即可求解判断A；由两点间斜率公式即可直接计算即可求解判断B；直接计算结合基本不等式即可求解判断C；直接计算即可求解判断D.【详解】由题可得即，双曲线的渐近线方程为，则联立，联立，所以，，所以，故A正确；，故B正确；，当且仅当即时等号成立，所以最小值为，故C正确；，故D错误.故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分.9.已知曲线：，则下列说法正确的是（）A.曲线不可能为圆 B.曲线不可能为抛物线C.当时，曲线为双曲线 D.时，曲线为椭圆【答案】BC【解析】【分析】根据曲线方程对圆、抛物线、双曲线、椭圆等曲线类型逐一验证即可得出结论.【详解】对于A，若曲线是圆，则,解得，此时，故曲线可以是圆，A错误，对于B，因抛物线的标准方程中的系数是次和次组合，与曲线中的系数不符，故曲线不可能为抛物线，B正确，对于C，当时，,此时方程可以变形为，符合双曲线的标准形式，C正确，对于D，当时，若，曲线为圆，不是椭圆，D错误.故选：BC10.已知数列的前项的和是，则下列说法正确的是（）A.是等差数列B.是递减数列C.当且仅当时，有最大值D.当时，的前项和【答案】BCD【解析】【分析】利用的关系式求出数列的通项公式可得A错误，根据通项公式可判断B正确，利用二次函数性质可得C正确，采用分组求和分类讨论中各项的正负，再由等差数列前项和公式计算即可知D正确.【详解】对于A，当时，，当时，，则，解得,所以，A错误，对于B，当时，数列的公差为，数列单调递减，又，所以数列是递减数列，B正确，对于C，由，可知当时，有最大值，C正确，对于D，当时，,当时，,可知,又数列的前项的和是，当时，的前项和,又，可得，D正确，故选：BCD.11.点是棱长为2的正方体的表面上的一个动点，则（）A.当点在面上运动时，三棱锥的体积为定值B.当点在线段上运动时，与所成角的取值范围是C.若直线与平面所成的角为45°，则点的运动轨迹长度是D.设点是的中点，当在底面上运动，且满足时，的最小值为【答案】ABD【解析】【分析】根据点到平面的距离为定值可知A正确，由异面直线夹角的求法找出夹角的平面角，可得B正确，利用线面角定义可知点的运动轨迹是两段线段和一段圆弧，可知C错误，建立空间直角坐标系利用长度的坐标运算可知D正确.【详解】对于A，当点在面上运动时，点到平面的距离为正方体的棱长，所以，所以三棱锥的体积为定值，A正确，对于B，因为,故与所成角等于与所成角，连接，易知为等边三角形，如下图：与夹角为，当为中点时，,夹角为，故夹角的取值范围为,B正确，对于C，易知与平面所成的角均为，如下图所示：只需保证点线段上运动即可，当点在平面内运动时，需满足到点的距离为2即可，此时点的运动轨迹是以点为圆心的圆弧，因此可知点的运动轨迹长度为，即C错误；对于D，以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如下图：易知,设,则由，得，故,的长度，代入，得，当时，最小，最小值为，D正确.故选：ABD三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知双曲线：的左顶点为，则该双曲线的离心率为_____.【答案】##【解析】【分析】根据顶点坐标以及可直接计算出离心率.【详解】由题意知，因为，则，则双曲线离心率为,故答案为：13.等比数列的首项，前项和为，若，则公比____________．【答案】【解析】【分析】利用数列前项和的定义及等比数列通项公式得出，解出即可．【详解】是等比数列，由数列前项和的定义及等比数列通项公式得，，，故答案为：．本题考查等比数列前项和的计算、通项公式．利用数列前项和的定义，避免了在转化时对公比是否为1的讨论．14.设r，满足，则r的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】原方程可变形为，再设，，进而可得，然后根据三角函数的有界性求出r的范围即可.【详解】将配方得，设，，得：，又因为，，所以.故答案为：.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知数列是公差不为的等差数列，且，成等比数列.（1）数列的通项公式；（2）若等比数列的前两项为，求数列的通项公式，并求出数列的前项和.【答案】（1）（2），.【解析】【分析】（1）根据等比数列的性质，结合等差数列的通项公式进行求解即可；（2）由等比数列的前两项为，可求出等比数列的首项和公比，从而求出等比数列的通项公式，进一步得出数列的通项公式，最后利用分组求和与等比数列前项和公式求解即可.【小问1详解】设等差数列的公差为，由得：，即，又成等比数列，所以，即，也即，解得：（舍去）或，所以，所以数列的通项公式为.【小问2详解】由，，则，所以等比数列的首项为，所以等比数列的公比为，所以等比数列的通项公式为：，由，则，所以.16.已知正三棱柱的所有棱长均为2，D为AB中点，E为棱上的动点．（1）求证：面面；（2）若直线CE与面所成角的余弦值为，试求AE的长．【答案】（1）见解析（2）AE的长为.【解析】【分析】（1）先证得，，由线面垂直的判定定理可得面，再由面面垂直的判定定理可得平面面.（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设设，分别求出直线CE的方向向量与面的法向量，再由线面角的向量公式即可得出答案.【小问1详解】因为三棱柱为正三棱柱，所以，因为D为AB中点，所以，又因为平面，平面，所以，，平面面，所以面，面，所以平面面.【小问2详解】过点作，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，，，设面的法向量为，，则，所以，令，则，所以，因为直线CE与面所成角的余弦值为，所以直线CE与面所成角的正弦值为，设为，即，即，解得：或（舍去），所以，AE的长为.17.已知等腰直角的三个顶点为，，，且.（1）求点C的坐标；（2）若点D是中点，求的外接圆方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据三角形形状以及垂直关系的向量表示，联立方程组可得，再由可得点的坐标为；（2）求出，设出圆的一般方程，利用待定系数法计算可得其外接圆方程.【小问1详解】由题意知易知因为，所以，即①，又所以，即②,将①式代入②式得，又，所以,得,点的坐标为.【小问2详解】由题意知,设的外接圆方程为，代入点得,解得,即，即的外接圆方程为.18.如图，圆柱的轴截面是边长为4的正方形，点E，F为下底面圆周上的点，且是正三角形，点P是上底面圆周上一动点，G为直线与的交点.（1）证明：（i）面；（ii）不论点P在何位置，三棱锥的外接球半径大小不变.（2）求二面角的余弦值的取值范围.【答案】（1）证明见解析，证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）（i）由是等边三角形，且的外接圆为圆得到为的中心，由为圆的直径得到，由圆柱的性质得到圆所在的平面，从而得到，利用线面垂直的判定定理得到平面.（ii）由题意得到平面，从而得到三棱锥的外接球的球心在上，设球心为，球的半径为，可以得到，即为的中点，从而可以求出的值，得证.（2）利用空间向量法求解，求出平面和平面的一个法向量，设二面角的平面角为，利用向量的数量积求出，通过换元法求出的范围，即为二面角的余弦值的取值范围.【小问1详解】（i）是等边三角形，且的外接圆为圆，为的中心，为圆的直径，，四边形为正方形，，平面与圆所在的平面交于，平面与圆所在的平面垂直，圆所在的平面，圆所在的平面，，，平面，平面.（ii）的外接圆为圆，平面，三棱锥的外接球的球心在上，设球心为，球的半径为，则，，，，，，，，为的中点，，，，不论点P在何位置，三棱锥的外接球半径大小不变.【小问2详解】以为原点，过作的平行线作为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，，，，设，，，设平面的法向量为，则，即，解得，，，平面的一个法向量为，，二面角的平面角为，则，设，，，，转化为，当时，，当时，，，，，，，，，；当