江苏常州市天宁区2025-2026学年度第一学期期末调研考试高一数学试题（试卷+解析）

常州市天宁区2025—2026学年度第一学期期末调研考试高一数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效．3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题“，”否定为（）A.， B.，C.， D.，2.下列五个写法：①；②；③；④；⑤，其中错误写法的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.43.若，，，则a、b、c的大小关系为（）A. B. C. D.4.函数图象是（）A. B.C. D.5.下列区间中，函数单调递增的区间是（）A B. C. D.6.已知函数，且对于定义域内的，都满足，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.7.下列说法中，错误是（）A.若，，则 B.若，则C若，，则 D.若，，则8.设，函数，若函数在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A. B. C.是函数的一条对称轴 D.是函数的对称中心10.若，，且，则下列说法正确的是（）A.有最大值 B.有最大值2C.有最小值5 D.有最小值11.已知函数，，则下列说法正确的有（）A.关于点对称B.关于点对称C.若函数在上的最大值、最小值分别为M、N，则D.在上单调递增三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知集合，若集合有8个子集，则实数的取值范围为________________．13.已知函数，若存在满足，且（，），则的最小值为__________．14.已知函数，，且方程有两个不同的解，则实数m的取值范围为__________，方程解的个数为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.如图，在平面直角坐标系中，角、的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边、分别与单位圆交于、两点，，，.（1）若的横坐标为，求的值；（2）若，求的值.16.2021年12月9日15时40分，神舟十三号“天宫课堂”第一课开讲！受“天宫课堂”的激励与鼓舞，某同学对航天知识产生了浓厚的兴趣．通过查阅资料，他发现在不考虑气动阻力和地球引力等造成的影响时，火箭是目前唯一能使物体达到宇宙速度，克服或摆脱地球引力，进入宇宙空间的运载工具．早在1903年齐奥尔科夫斯基就推导出单级火箭的最大理想速度公式：，被称为齐奥尔科夫斯基公式，其中为发动机的喷射速度，和分别是火箭的初始质量和发动机熄火（推进剂用完）时的质量．被称为火箭的质量比．（1）某单级火箭的初始质量为160吨，发动机的喷射速度为2千米/秒，发动机熄火时的质量为40吨，求该单级火箭的最大理想速度（保留2位有效数字）；（2）根据现在的科学水平，通常单级火箭的质量比不超过10．如果某单级火箭的发动机的喷射速度为2千米/秒，请判断该单级火箭的最大理想速度能否超过第一宇宙速度千米/秒，并说明理由．（参考数据：，无理数）17.已知函数和的定义域分别为D1和D2，若对任意，恰好存在n个不同的实数，使得（其中，，），则称为的“n重覆盖函数”.（1）试判断是否为的“2重覆盖函数”？请说明理由；（2）若为的“2重覆盖函数”，求实数a；（3）函数表示不超过x的最大整数，如，，.，，若为，的“2024重覆盖函数”，求正实数a的取值范围.18.已知偶函数和奇函数满足：．（1）求解析式；（2）解不等式；（3）存在实数满足存在最值大值，求的取值范围．19.已知函数．（1）判断的奇偶性，并证明；（2）判断的单调性，并利用单调性的定义证明你的结论；（3）任意，求实数的所有整数解.

常州市天宁区2025—2026学年度第一学期期末调研考试高一数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效．3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题“，”的否定为（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】全称命题的否定是特称命题，任意改为存在，再把结论否定.【详解】由题意，，否定是，故选：B．2.下列五个写法：①；②；③；④；⑤，其中错误写法的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】根据“”用于元素与集合，“”用于集合与集合间判断出①⑤错，根据是不含任何元素的集合且是任意集合的子集判断出②④的对错；根据集合元素的三要素判断出③对.【详解】对于①，“”是用于元素与集合的关系，故①错；对于②，是任意集合的子集，故②对；对于③，根据集合中元素的无序性可知两个集合是同一集合，任何一个集合都是它本身的子集，故③对；对于④，因为是不含任何元素的集合，故④错；对于⑤，因为“”用于集合与集合，故⑤错.故错误的有①④⑤，共3个，故选：C.3.若，，，则a、b、c的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由诱导公式得到，并得到，，比较出大小.【详解】，，，则.故选：A4.函数的图象是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数图象的变换得到答案.【详解】将的图象向右平移1个单位长度，再向上平移一个单位，即可得到函数的图象.故选：B.5.下列区间中，函数单调递增的区间是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解不等式，利用赋值法可得出结论.【详解】因为函数的单调递增区间为，对于函数，由，解得，取，可得函数的一个单调递增区间为，则，，A选项满足条件，B不满足条件；取，可得函数的一个单调递增区间为，且，，CD选项均不满足条件.故选：A.方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成形式，再求的单调区间，只需把看作一个整体代入的相应单调区间内即可，注意要先把化为正数．6.已知函数，且对于定义域内的，都满足，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数，是减函数，由求解.【详解】因为函数，对于定义域内的，都满足，所以函数在定义域内是减函数，所以，解得，所以实数a的取值范围是，故选：C7.下列说法中，错误的是（）A.若，，则 B.若，则C.若，，则 D.若，，则【答案】A【解析】【分析】逐一检验，对A，取，判断可知；对B，，可知；对C，利用作差即可判断；对D根据不等式同向可加性可知结果.【详解】对A，取，所以，故错误；对B，由，，所以，故正确；对C,，由，，所以，所以，故正确；对D，由，所以，又，所以故选：A8.设，函数，若函数在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由二次函数最多两个零点，讨论在区间分别取4、5、6个零点时的的取值范围，再讨论在区间分别取0、1、2个零点时的的取值范围，最后进行组合即可.【详解】⸪函数区间内恰有6个零点，且二次函数最多两个零点，⸫当时，至少有四个根，令，则解得：，⸪，⸫，即，当时，，①若有4个零点，此时，即；②若有5个零点，此时，即；③若有6个零点，此时，即；当时，，令，解得：，①若，没有零点；②若，，有1个零点；③若，，且对称轴，当时，即，有2个零点；当时，即，有1个零点综上所述，函数在区间内恰有6个零点需要满足，或或解得故选：A.二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A. B. C.是函数的一条对称轴 D.是函数的对称中心【答案】ACD【解析】【分析】根据函数图象知：、、为对称轴、是函数的一个对称中心，结合余弦函数的性质即可判断各选项的正误.【详解】由图知：，即，而，可得，A正确；且，可得，B错误；为对称轴，C正确；由是函数的一个对称中心，则是函数的对称中心，D正确；故选：ACD10.若，，且，则下列说法正确的是（）A.有最大值 B.有最大值2C.有最小值5 D.有最小值【答案】AC【解析】【分析】根据题意利用基本不等式逐项分析判断.【详解】对于选项A：因为，当且仅当时，等号成立，所以有最大值，故A正确；对于选项B：因为，当且仅当时，等号成立，可得，所以有最大值，故B错误；对于选项C：，当且仅当，即时，等号成立，所以有最小值5，故C正确；对于选项D：因为，则，所以，当且仅当时，等号成立，所以有最小值，故D错误.故选：AC.11.已知函数，，则下列说法正确的有（）A.关于点对称B.关于点对称C.若函数在上的最大值、最小值分别为M、N，则D.上单调递增【答案】ABC【解析】【分析】通过函数图象的平移结合奇函数的性质可判断AB；通过函数的单调性和对称性可判断CD.【详解】对于A，将的图象向左平移一个单位得为奇函数，图象关于原点对称，则的图象关于对称，故A正确；对于B，将的图象向下平移两个单位得再向左平移一个单位得，的图象关于对称，∴的图象关于对称，故B正确；对于C，因为在上递减，且为奇函数，，在上为减函数，在上为减函数，又上为减函数，故是上的减函数，∴在处取得最大值，则在处取得最小值，利用函数的对称性，可得故C正确，D错误.故选：ABC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知集合，若集合有8个子集，则实数的取值范围为________________．【答案】【解析】【分析】根据题意，可知集合中包含3个元素，结合，即可得出实数的取值范围.【详解】解：因为集合有8个子集，所以集合中包含3个元素，所以，所以，则实数的取值范围为.故答案为：.13.已知函数，若存在满足，且（，），则的最小值为__________．【答案】【解析】【详解】因为，所以，因此要使得满足条件的最小，须取即考点：三角函数性质14.已知函数，，且方程有两个不同的解，则实数m的取值范围为__________，方程解的个数为__________.【答案】①.②.4【解析】【分析】作出函数与函数的图象，数形结合可得出实数的取值范围；对于方程，设，作出函数的图象，数形结合可得出函数与直线的交点横坐标、、的取值范围，再结合图形得出方程、、的根的个数即可.【详解】如图，作出函数的图象，由题意，直线与函数的图象有两个不同的交点.由图可知，当时，直线与函数的图象有两个不同的交点，故实数m的取值范围为；对于方程，设，则有，依题意，即是求解函数与直线的交点个数问题.作出函数的图象如下图所示：因为，函数与有个交点，即有三个根、、，其中、、，再结合的图象可知，方程有个不同的根，方程有个根，方程有个根，综上所述，方程有个不同的解.故答案为：；.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.如图，在平面直角坐标系中，角、的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边、分别与单位圆交于、两点，，，.（1）若的横坐标为，求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由三角函数的定义结合同角三角函数的基本关系可求得，由题意得出，可求出的值，再利用诱导公式化简可求得所求代数式的值；（2）由诱导公式结合已知条件可得出，利用同角三角函数的平方关系可求出的值，联立方程组求出、的值，再利用同角三角函数的商数关系可求得的值.【小问1详解】因为点在单位圆上且横坐标为，所以，因为，所以.因为，所以，所以.所以.【小问2详解】因为，所以①，由，得，所以.因为，所以，所以②，联立①②得，，，所以.16.2021年12月9日15时40分，神舟十三号“天宫课堂”第一课开讲！受“天宫课堂”的激励与鼓舞，某同学对航天知识产生了浓厚的兴趣．通过查阅资料，他发现在不考虑气动阻力和地球引力等造成的影响时，火箭是目前唯一能使物体达到宇宙速度，克服或摆脱地球引力，进入宇宙空间的运载工具．早在1903年齐奥尔科夫斯基就推导出单级火箭的最大理想速度公式：，被称为齐奥尔科夫斯基公式，其中为发动机的喷射速度，和分别是火箭的初始质量和发动机熄火（推进剂用完）时的质量．被称为火箭的质量比．（1）某单级火箭的初始质量为160吨，发动机的喷射速度为2千米/秒，发动机熄火时的质量为40吨，求该单级火箭的最大理想速度（保留2位有效数字）；（2）根据现在的科学水平，通常单级火箭的质量比不超过10．如果某单级火箭的发动机的喷射速度为2千米/秒，请判断该单级火箭的最大理想速度能否超过第一宇宙速度千米/秒，并说明理由．（参考数据：，无理数）【答案】（1）千米/秒（2）该单级火箭最大理想速度不可以超过第一宇宙速度千米/秒，理由见解析【解析】【分析】（1）明确各个量的值，代入即可;（2）求出最大理想速度，利用放缩法比较与的大小即可.【小问1详解】，，，，该单级火箭的最大理想速度为千米/秒.【小问2详解】，，，，，.该单级火箭最大理想速度不可以超过第一宇宙速度千米/秒17.已知函数和的定义域分别为D1和D2，若对任意，恰好存在n个不同的实数，使得（其中，，），则称为的“n重覆盖函数”.（1）试判断是否为的“2重覆盖函数”？请说明理由；（2）若为的“2重覆盖函数”，求实数a；（3）函数表示不超过x的最大整数，如，，.，，若为，的“2024重覆盖函数”，求正实数a的取值范围.【答案】（1）不是，理由见解析（2）或（3）【解析】【分析】（1）根据“重覆盖函数”的定义判断即可；（2）由题意可得即对任意，存在2个不同的实数），使得（其中），即，对进行分类讨论来进行求解.（3）先求出，再做出函数的图象，数形结合解决问题.【小问1详解】对于，有，而，所以不是的“2重覆盖函数”.【小问2详解】由题意可得的定义域为，即对任意，存在2个不同的实数），使得（其中），，则，，即，即对任意有2个实根，当时，已有一个根，故只需时，仅有1个根①：当时，，则，此不等式组无解.当时，令，解得，当时，，所以，解得.当时，不满足①，当时，，所以，解得.综上所述，或【小问3详解】因为，当时，，当时，且，当且仅当时取等号，所以．综上可得，即，则对于任意要有2024个根，作出函数的图象（部分），如图：要使有2024个根，则，又，则，故正实数的取值范围．难点点睛：本题难点在于对新概念的理解，只需根据定义将问题转化为对于定义域内任意实数m，直线与函数的图象有n个交点的问题，然后利用单调性或图象即可求解.18.已知偶函