河南南阳市淅川县2025年秋期九年级期终质量评估 数学试卷（试卷+解析）

2025年秋期九年级期终质量评估数学试卷注意事项：1．本题卷共8页，三大题，满分120分，考试时间100分钟．2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案写在答题卡上．答在试题卷上的答案无效．一、选择题（每小题3分，共30分）1.下列说法正确的是（）A.“将油滴入水中，油会浮在水面上”是不可能事件B.为检测某市正在销售的酸奶质量，应该采用普查C.“打开电视，正在播放广告”是必然事件D.抛掷一个正方体骰子，朝上的面的点数为偶数的概率是2.将抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为（）A. B.C. D.3.若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（）A. B. C.4 D.164.如图，树AB在路灯O照射下形成投影AC，已知路灯高，树影，树AB与路灯O的水平距离，则树的高度AB长是（）A. B. C. D.5.2025年国产大模型的爆火，引发了全球科技界的广泛关注．若小庆同学从“豆包”、“腾讯元宝”、“即梦”、“文心一言”四种应用软件中随机选取两种进行学习，则小庆同学选取的两种软件为“豆包”和“腾讯元宝”的概率为（）A B. C. D.6.在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房的高度（如图），他们在A处仰望楼顶，测得仰角为，再往楼的方向前进50米至B处，测得仰角为，那么这栋楼的高度为（人的身高忽略不计）（）A.米 B.25米 C.米 D.50米7.函数的图象上有三个点，分别为，，，则，，的大小关系为（）．A. B. C. D.8.如图，抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线，结合图象给出以下结论：①；②关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根；③；④当时，y随x的增大而增大；其中正确的结论有（）A.1个 B.2个 C.3 D.4个9.如图，点、是直线与坐标轴的交点，将线段平移得到线段，若，，则点的坐标是（）A B. C. D.10.如图，将等边沿方向平移，使点B移动到的中点处，得到．与相交于点O，以O为圆心，长为半径作，若，则阴影部分的面积为（）A. B. C. D.二、填空题（每小题3分，共15分）11.若代数式有意义，则实数x的取值范围是______．12.如图，为的直径，，，则的度数为______．13.如图，在中，平分，，连接，G是的中点，连接，若，则_______．14.汽车刹车后行驶的距离y（单位：m）关于行驶的时间t（单位：s）的函数解析式是，汽车刹车后到停下来前进的距离是________m．15.将两块全等的直角三角板和按照如图所示的方式重合，其中，，P是斜边的中点，固定直角三角板，将三角板绕着P点逆时针方向旋转，设旋转角为（其中），在旋转过程中，当三角板的一边与边平行时，设直角边与边交于点Q，则的长为___________．三、解答题（本大题共8个小题，共75分）16.计算或解方程：（1）计算：．（2）计算：．（3）解方程：．17.为庆祝中国共产党建党100周年，某校举行了“红色华诞，党旗飘扬”党史知识竞赛.为了解竞赛成绩，抽样调查了七、八年级部分学生的分数，过程如下：①收集数据从该校七、八年级学生中各随机抽取20名学生的分数，其中八年级的分数如下：818384858687878889909292939595959999100100②整理、描述数据．按下表分段整理描述样本数据：分数x七年级4628八年级3a47③分析数据．两组样本数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示：年级平均数中位数众数方差七年级91899740.9八年级91bc33.2根据以上提供的信息，解答下列问题：（1）填空：______，______，______；（2）样本数据中，七年级甲同学和八年级乙同学的分数都为90分，______同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前（填“甲”或“乙”）；（3）从样本数据分析来看，分数较整齐的是______年级（填“七”或“八”）；（4）如果七年级共有500人参赛，请你估计七年级参赛学生的分数不低于95分的人数．18.已知二次函数的图象经过点，．（1）求的值；（2）直接在所给平面直角坐标系中画出二次函数的图象；（3）认真观察图象，结合所学函数知识解答下列问题：①函数时，的取值范围是_______；②方程的根是_______；③根据图象直接写出：当时，取值范围是_______．19.建于清咸丰四年的龙角塔，位于诸葛亮躬耕地南阳卧龙岗内，是武侯祠的一个重要人文景观．小豫和小宛利用所学知识测量龙角塔高度，如图，小豫站在龙角塔旁的水平地面上处，小宛在之间的水平地面上放置一个平面镜并来回移动，当平面镜移动到点时，小豫刚好在平面境内看到龙角塔顶端，此时测得米，小豫眼睛距地面高度米；然后小宛沿前进至点处用测角仪测得龙角塔顶端处的仰角，已知测角仪高度为米，小宛行走的距离米，点在同一水平线上，都垂直．请你根据以上信息．求龙角塔的高（的长）（结果精确到1米，参考数据：）．20.如图，是外接圆，是的直径，点B是的中点，过点B的切线与的延长线交于点D．（1）求证：；（2）若，，求的半径．21.某地2023年种植黄桃100亩，由于效益不错，每年都在扩大种植面积，到2025年种植了121亩．（1）假定每年种植面积的年增长率相同，求种植黄桃亩数的年平均增长率；（2）一水果店以每件20元的价格购进该种黄桃销售，市场调查发现，黄桃每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间满足一次函数关系，部分数据如表：销售单价x（元）222427销售量y（件）200180150①求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；②若要使每天的销售利润最大，销售单价应定为多少元，每天能获得的最大销售利润是多少元？22.悬索桥起源于古代藤索桥，以主缆受拉、锚碇固定，跨越能力极强．如图，一悬索桥的桥面水平，桥拱近似为抛物线．实际测量发现当距离桥头35米时，桥面和桥拱的悬吊钢缆最长，为20米，以桥面为轴，桥头为原点建立如图的平面直角坐标系，设桥拱所在抛物线的函数解析式为．（1）求该函数的解析式；（2）若两根悬吊钢缆的长度均为16.8米，求之间的水平距离；（3）若该桥平均分布19根悬吊钢缆支撑，直接写出离桥头最近的悬吊钢缆的长度．23.中，，过点作，点为边上一个动点，将射线绕点逆时针旋转，交射线于点，连接.问题初现：（1）如图1，若，则线段与的数量关系为______；类比探究：（2）如图2，若，求出线段与的数量关系，并说明理由；拓展应用：（3）在（2）的条件下，若，，点在上运动，当四边形为轴对称图形时，请直接写出线段的长.2025年秋期九年级期终质量评估数学试卷注意事项：1．本题卷共8页，三大题，满分120分，考试时间100分钟．2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案写在答题卡上．答在试题卷上的答案无效．一、选择题（每小题3分，共30分）1.下列说法正确的是（）A.“将油滴入水中，油会浮在水面上”是不可能事件B.为检测某市正在销售的酸奶质量，应该采用普查C.“打开电视，正在播放广告”是必然事件D.抛掷一个正方体骰子，朝上的面的点数为偶数的概率是【答案】D【解析】【分析】本题考查事件的分类、调查方式的选择以及概率的计算，需逐一分析各选项的正确性．【详解】解：A、∵油的密度小于水的密度，将油滴入水中油一定会浮在水面上，这是必然事件，∴A选项错误．B、∵检测某市正在销售的酸奶质量时，普查会造成大量酸奶被破坏且工作量过大，应采用抽样调查，∴B选项错误．C、∵打开电视可能播放广告也可能播放其他节目，这是随机事件，不是必然事件，∴C选项错误．D、∵正方体骰子的点数为1、2、3、4、5、6，其中偶数有2、4、6共3个，总共有6种等可能结果，∴朝上的面的点数为偶数的概率为，∴D选项正确．故选：D．2.将抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了二次函数的平移．根据二次函数平移规律“左加右减，上加下减”进行变换即可．【详解】解：将抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为．故选：A．3.若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（）A. B. C.4 D.16【答案】C【解析】【分析】根据方程的根的判别式即可．本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．【详解】∵方程有两个相等的实数根，，∴，∴，解得．故选C．4.如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知路灯高，树影，树AB与路灯O的水平距离，则树的高度AB长是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用相似三角形的性质得到对应边成比例，列出等式后求解即可．【详解】解：由题可知，，∴,∴，∴，故选A．本题考查了相似三角形的判定与应用，解决本题的关键是能读懂题意，建立相似关系，得到对应边成比例，完成求解即可，本题较基础，考查了学生对相似的理解与应用等．5.2025年国产大模型的爆火，引发了全球科技界的广泛关注．若小庆同学从“豆包”、“腾讯元宝”、“即梦”、“文心一言”四种应用软件中随机选取两种进行学习，则小庆同学选取的两种软件为“豆包”和“腾讯元宝”的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查用列表法或树状图法求概率，先确定从四种软件中选取两种的所有等可能结果数，再找出符合条件的结果数，最后根据概率公式计算即可．【详解】解：记“豆包”、“腾讯元宝”、“即梦”、“文心一言”分别用字母A，B，C，D表示，根据题意可画树状图如下：由图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选中“豆包”和“腾讯元宝”的有2种结果，小庆同学恰好选中“豆包”和“腾讯元宝”的概率为，故选：Ｂ．6.在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房的高度（如图），他们在A处仰望楼顶，测得仰角为，再往楼的方向前进50米至B处，测得仰角为，那么这栋楼的高度为（人的身高忽略不计）（）A.米 B.25米 C.米 D.50米【答案】A【解析】【分析】此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．设米，在中，利用锐角三角函数定义表示出，在中，利用锐角三角函数定义表示出，再由列出关于的方程，求出方程的解得到的值即可．【详解】解：设米，在中，，，即，整理得：米，在中，，，即，整理得：米，∵米，∴，即，解得：，侧这栋楼的高度为米．故选：A．7.函数的图象上有三个点，分别为，，，则，，的大小关系为（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查二次函数的增减性，熟练掌握当开口向下时，离对称轴越近的点纵坐标越大是解题的关键．先确定二次函数的对称轴与开口方向，再根据各点到对称轴的距离远近判断纵坐标大小，开口向下时，离对称轴越近的点纵坐标越大．【详解】解：∵函数，∴抛物线开口向下，对称轴为直线．∵点到对称轴的距离为，点在对称轴上，到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为．∵抛物线开口向下，离对称轴越近的点纵坐标越大，∵，∴．故选：D．8.如图，抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线，结合图象给出以下结论：①；②关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根；③；④当时，y随x的增大而增大；其中正确的结论有（）A.1个 B.2个 C.3 D.4个【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的图象系数的关系、根的判别式、抛物线与x轴的交点，依据题意，由抛物线的开口方向，对称轴是直线以及与坐标轴交点即可逐个判断得解．【详解】解：由题意，∵抛物线开口向上，图象交y轴于负半轴，∴，．∴，故①正确；∵图象与x轴交于，对称轴是直线，∴抛物线与x轴的另一交点为．∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，故②正确．∵抛物线与x轴有一交点为，∴当时，，故③错误．∵抛物线对称轴是直线，开口向上，∴当时，y随x的增大而增大；故当时，y随x的增大而增大；故④正确；综上所述，正确的结论有3个，故选：C．9.如图，点、是直线与坐标轴的交点，将线段平移得到线段，若，，则点的坐标是（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先过点C做出轴垂线段，根据相似三角形找出点C的坐标，再根据平移的性质计算出对应D点的坐标．【详解】解：∵点、是直线与坐标轴的交点，∴点，如图，过点C作轴垂线，垂足为点E，∵，∴，∵，∴，∵∴，∴，则，，∵点C是由点B向右平移6个单位，向上平移2个单位得到，∴点D同样是由点A向右平移6个单位，向上平移2个单位得到，∵点A坐标为，∴点D坐标为，选项C符合题意，故选：D本题考查了图象的平移、相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的判定与性质找出图象左右、上下平移的距离是解题的关键．10.如图，将等边沿方向平移，使点B移动到的中点处，得到．与相交于点O，以O为圆心，长为半径作，若，则阴影部分的面积为（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了菱形的判定，等边三角形的性质和判定，勾股定理，平移的性质，求扇形的面积，令与交于点D，连接，作，先根据等边三角形和平移的性质说明是等边三角形，再证明是等边三角形，即可得出四边形是菱形，然后根据勾股定理求出，最后根据得出答案．【详解】解：如图所示，令与交于点D，连接，过点O作，交于点E，∵是等边三角形，∴．∵点是的中点，∴．根据平移的性质得，∴是等边三角形，∴，∴．以O为圆心，为半径画弧，∴．∵，∴是等边三角形，∴，∴，∴四边形是菱形，∴．在等边中，，∴，根据勾股定理，得．∴．故选：B．二、填空题（每小题3分，共15分）11.若代数式有意义，则实数x的取值范围是______．【答案】x＞3，【解析】【分析】根据分式和二次根式的定义，列式运算求解即可．【详解】解：由题意得，2x﹣6＞0，解得，x＞3，故答案为：x＞3．本题主要考查了分式和二次根式有意义的取值，熟悉掌握分式和二次根式的定义是解题的关键．12.如图，为的直径，，，则的度数为______．【答案】【解析】【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据为的直径，，则，再根据，即，代入进行计算，即可作答．【详解】解：∵为的直径，，∴，即，∵，∴，则，故答案为：．13.如图，在中，平分，，连接，G是的中点，连接，若，则_______．【答案】3【解析】【分析】本题主要考查平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形中位线的性质，根据平行四边形的性质结合角平分线的定义可求解，即可得，利用等腰三角形的性质可得，进而可得是的中位线，根据三角形的中位线的性质可求解．【详解】解：在平行四边形中，，

∴．

∵平分，

∴，

∴，

∴．

∵，

∴．

∵G是的中点，

∴是的中位线，

∴，

∵，

∴．

故答案为：3．14.汽车刹车后行驶的距离y（单位：m）关于行驶的时间t（单位：s）的函数解析式是，汽车刹车后到停下来前进的距离是________m．【答案】【解析】【分析】本题主要考查二次函数的应用，根据题意理解其最大值的实际意义是解题的关键．利用配方法求二次函数的最值即可．【详解】解：，当时，取得最大值，即汽车刹车后到停下来前进的距离是．故答案为：．15.将两块全等的直角三角板和按照如图所示的方式重合，其中，，P是斜边的中点，固定直角三角板，将三角板绕着P点逆时针方向旋转，设旋转角为（其中），在旋转过程中，当三角板的一边与边平行时，设直角边与边交于点Q，则的长为___________．【答案】或【解析】【分析】当时，由P是斜边中点得到，则，在中，求出，得到的长；当时，求出，在中，得，由P是斜边的中点得到，在中，由得到的长，由可知不可能平行，综上三种情况，即可得到答案．【详解】解：当时，如图1，∵P是斜边的中点，∴，∴，在中，，，∴，∴，∴，当时，如图2，∴，∵，∴，∴，在中，，，∴，∵P是斜边的中点，∵，在中，，，∴，∴，∵，∴不可能平行，综上可知，的长为或，故答案为：或此题考查了图形旋转、解直角三角形、含的直角三角形的性质、平行线分线段成比例定理等知识，根据题意正确画出图形，分情况讨论是解题的关键．三、解答题（本大题共8个小题，共75分）16.计算或解方程：（1）计算：．（2）计算：．（3）解方程：．【答案】（1）（2）（3），【解析】【分析】本题考查二次根式的混合运算和解一元二次方程，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．（1）原式先计算二次根式乘除法，再进行二次根式的加减法运算即可；（2）原式根据平方差公式，二次根式的性质以及分母有理化化简各项后再合并即可得到答案；（3）方程运用公式法求解即可．【小问1详解】解：；【小问2详解】解：；【小问3详解】解：，在这里，，∴，∴，．17.为庆祝中国共产党建党100周年，某校举行了“红色华诞，党旗飘扬”党史知识竞赛.为了解竞赛成绩，抽样调查了七、八年级部分学生的分数，过程如下：①收集数据从该校七、八年级学生中各随机抽取20名学生的分数，其中八年级的分数如下：818384858687878889909292939595959999100100②整理、描述数据．按下表分段整理描述样本数据：分数x七年级4628八年级3a47③分析数据．两组样本数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示：年级平均数中位数众数方差七年级91899740.9八年级91bc33.2根据以上提供的信息，解答下列问题：（1）填空：______，______，______；（2）样本数据中，七年级甲同学和八年级乙同学的分数都为90分，______同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前（填“甲”或“乙”）；（3）从样本数据分析来看，分数较整齐的是______年级（填“七”或“八”）；（4）如果七年级共有500人参赛，请你估计七年级参赛学生的分数不低于95分的人数．【答案】（1），，（2）甲（3）八（4）估计七年级参赛学生的分数不低于95分的人数为200人【解析】【分析】（1）根据七、八年级学生中各随机抽取20名学生的分数可得a＝6，第10，11名学生的成绩为90分，92分，即可求出b的值，95分出现了3次，次数最多，可得c的值；（2）根据八年级的中位数是91分，七年级的中位数是89分，可得90分大于七年级成绩的中位数，而小于八年级成绩的中位数，进而可得结论；（3）根据方差进行评价即可作出判断；（4）用七年级不低于95分的比例乘以总人数即可．【小问1详解】解：∵七、八年级学生中各随机抽取20名学生的分数，∴a＝20﹣3﹣4﹣7＝6，八年级学生的成绩从低到高排列，第10，11名学生的成绩为90分，92分，∴b＝（分），八年级成绩的95分出现了3次，次数最多，∴c＝95，故答案为：6，91，95；【小问2详解】解：甲同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前，理由如下：∵八年级的中位数是91分，七年级的中位数是89分，∴90分大于七年级成绩的中位数，而小于八年级成绩的中位数，∴七年级甲同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前；故答案为：甲；【小问3详解】解：∵八年级成绩的方差小于七年级成绩的方差，∴分数较整齐的是八年级，故答案为：八；【小问4详解】解：∵样本中七年级不低于95分的有8人，∴500×＝200（人），答：估计七年级参赛学生的分数不低于95分的有200人．本题考查频数分布表、用样本估计总体、方差、中位数、众数的意义及求法，理解各个统计量的意义，明确各个统计量的特点是解决问题的前提和关键．18.已知二次函数的图象经过点，．（1）求的值；（2）直接在所给平面直角坐标系中画出二次函数的图象；（3）认真观察图象，结合所学函数知识解答下列问题：①函数时，的取值范围是_______；②方程的根是_______；③根据图象直接写出：当时，的取值范围是_______．【答案】（1），（2）图见解析（3）①；②，；③【解析】【分析】本题主要考查了画二次函数图象，二次函数图象的性质，二次函数与一元二次方程．()将两点坐标代入二次函数解析式，构建二元一次方程组，通过消元法计算得出；()根据列表，描点，连线可得图象；()①令解方程得到两个边界点，结合抛物线开口向上的性质，确定的取值范围；②将方程转化为一元二次方程，因式分解求解后检验，得到根为，，③根据顶点确定最小值，再计算区间端点的函数值得到最大值，得出的取值范围是．【小问1详解】解：∵二次函数的图象经过点，．∴，解得，的值为，的值为；【小问2详解】解：由（）得，，∴二次函数，列表描点，连线，如图所示.【小问3】解：①令，则：，解得或，∵抛物线开口向上，∴时，，故答案为：；②，整理，得，解得，，检验：将和代入原方程，分母均不为，且等式成立，故答案为：，；③当时，，当时，，∵抛物线顶点为(最小值点)，∴的取值范围是，故答案为：是．19.建于清咸丰四年的龙角塔，位于诸葛亮躬耕地南阳卧龙岗内，是武侯祠的一个重要人文景观．小豫和小宛利用所学知识测量龙角塔高度，如图，小豫站在龙角塔旁的水平地面上处，小宛在之间的水平地面上放置一个平面镜并来回移动，当平面镜移动到点时，小豫刚好在平面境内看到龙角塔顶端，此时测得米，小豫眼睛距地面高度米；然后小宛沿前进至点处用测角仪测得龙角塔顶端处的仰角，已知测角仪高度为米，小宛行走的距离米，点在同一水平线上，都垂直．请你根据以上信息．求龙角塔的高（的长）（结果精确到1米，参考数据：）．【答案】龙角塔的高约为米【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用—俯角仰角问题，相似三角形的应用，过点作于，则四边形是矩形，设米，证明，由相似三角形的性质即可得出答案，熟练掌握相似三角形的判定与性质、添加适当的辅助线是解此题的关键．【详解】解：如图，过点作于，，，，，四边形是矩形，米，，设米，由题意得：，，，，即，，米，，米，，解得：，龙角塔的高约为米．20.如图，是的外接圆，是的直径，点B是的中点，过点B的切线与的延长线交于点D．（1）求证：；（2）若，，求的半径．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】【分析】（1）连接，由为的切线，得到，证明推出即可；（2）连接，根据圆周角定理得到，根据三角函数得到，求出，根据勾股定理求出即可．【小问1详解】证明：连接，∵为的切线，∴，∵点B为的中点，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即；【小问2详解】连接，∵是的直径，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，在中，，∴，∴的半径为．此题考查了证明直线是圆的切线，圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数，正确掌握圆周角定理是解题的关键．21.某地2023年种植黄桃100亩，由于效益不错，每年都在扩大种植面积，到2025年种植了121亩．（1）假定每年种植面积的年增长率相同，求种植黄桃亩数的年平均增长率；（2）一水果店以每件20元的价格购进该种黄桃销售，市场调查发现，黄桃每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间满足一次函数关系，部分数据如表：销售单价x（元）222427销售量y（件）200180150①求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；②若要使每天的销售利润最大，销售单价应定为多少元，每天能获得的最大销售利润是多少元？【答案】（1）种植黄桃亩数的年平均增长率为（2）①与之间的函数关系式为：；②销售单价应定为31元，每天能获得最大销售利润，最大销售利润是1210元．【解析】【分析】本题考查了一元二次方程、一次函数和二次函数的应用，掌握待定系数法和找到相等关系是解题的关键．（1）根据“2023年植黄桃100亩，到2025年种植了121亩”列方程求解；（2）①根据待定系数法求解；②根据题意列出函数解析式，再根据二次函数性质求解即可．【小问1详解】解：设种植黄桃亩数的年平均增长率为，根据题意得：，∴或，解得：（不符合题意，舍去）．答：种植黄桃亩数的年平均增长率为；【小问2详解】解：①设与