七年级数学三角形专题导学案

七年级数学三角形专题导学案引言：走进三角形的世界在我们生活的空间里，三角形是一种极为常见的几何图形。从埃及的金字塔到我们日常使用的自行车架，从屋顶的桁架到桥梁的结构，三角形以其独特的稳定性和简洁的美感，无处不在。本章我们将系统地学习三角形的基本概念、性质以及它们在解决实际问题中的应用，探索这个简单多边形背后蕴藏的数学奥秘。一、学习导航（一）学习目标1.理解三角形的基本概念，包括定义、边、角、顶点以及三角形的表示方法。2.掌握三角形按边和按角进行分类的方法，并能识别不同类型的三角形。3.探索并掌握三角形三边之间的数量关系，并能运用该关系解决简单的实际问题。4.理解并掌握三角形内角和定理，能运用定理进行角度计算和简单推理。5.初步认识三角形的外角，了解外角与内角之间的关系。6.了解三角形的中线、角平分线和高的概念，并能在简单三角形中作出这些线段。7.感受三角形在现实生活中的广泛应用，体会数学的实用性。（二）重点与难点*重点：三角形的概念与分类；三角形三边关系；三角形内角和定理及其应用。*难点：三角形三边关系的灵活应用；三角形内角和定理的探究过程与推理；钝角三角形高的画法。二、知识回顾：我们已有的基础在学习三角形之前，我们已经认识了直线、射线、线段和角。请思考以下问题，为新知识的学习做好准备：1.线段有几个端点？它的长度可以测量吗？2.什么是角？角的大小与什么有关，与什么无关？我们学过哪些类型的角（按大小分）？3.两点之间，什么最短？三、新知探究：三角形的基本概念与性质（一）三角形的“模样”——定义与构成元素观察我们周围的三角形物体，比如屋顶的框架、交通警示牌或者你手中的三角尺。它们都有什么共同的特征呢？我们把由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的三条线段叫做三角形的边。相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点。相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。如图，线段AB、BC、CA是三角形的边；点A、B、C是三角形的顶点；∠A、∠B、∠C是三角形的内角。（*此处应有一个简单的三角形图示，标注顶点A、B、C，边AB、BC、CA，角∠A、∠B、∠C*）为了方便表示，我们通常用符号“△”表示三角形，顶点是A、B、C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。△ABC的三边，有时也用小写字母表示，一般地，顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示。思考与讨论：1.三条线段首尾顺次相接就一定能组成三角形吗？如果这三条线段在同一条直线上呢？2.一个三角形有几个顶点？几条边？几个内角？（二）给三角形“分分类”——按边或按角世界上没有完全相同的两片叶子，三角形也有不同的“模样”。我们可以根据它们边的关系或角的大小给它们分分类。1.按边的关系分类：*三条边都不相等的三角形叫做不等边三角形（或叫普通三角形）。*有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。在等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边。两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。*三条边都相等的三角形叫做等边三角形（或叫正三角形）。想一想：等边三角形特殊在哪里？它是不是等腰三角形的一种特殊情况？（提示：从“有两条边相等”这个定义出发思考）2.按角的大小分类：*三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形。*有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。在直角三角形中，夹直角的两边叫做直角边，直角所对的边叫做斜边。直角三角形可以用符号“Rt△”表示，例如直角三角形ABC可以记作“Rt△ABC”。*有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。想一想：一个三角形中最多能有几个直角？最多能有几个钝角？为什么？（三）三角形的“骨架”——三边关系我们知道，三角形是由三条线段组成的。是不是任意长度的三条线段都能首尾顺次相接组成一个三角形呢？动手做一做：准备一些不同长度的小木棒（或吸管、纸条），尝试用以下几组长度（单位可以是厘米）的三根小木棒首尾相连，看能否组成三角形：1.3，4，52.2，3，53.1，3，5通过实验，你发现了什么？哪些组能组成三角形，哪些组不能？事实上，三角形的三条边之间存在着一个非常重要的关系：三角形两边的和大于第三边。为什么会有这样的关系呢？我们可以从“两点之间，线段最短”这个基本事实来理解。在△ABC中，从点A到点C，线段AC是最短路径。如果我们走折线A-B-C，那么AB+BC的长度就一定会大于AC的长度。同理，AB+AC>BC，AC+BC>AB。这个关系反过来也成立：如果三条线段中，任意两条线段的和都大于第三条线段，那么这三条线段能组成三角形。在判断三条线段能否组成三角形时，我们其实不需要一一验证三个不等式，只要看较短的两条线段的和是否大于最长的那条线段就可以了。例题1：下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？（1）4，5，6（2）3，4，8解析：（1）因为4+5>6，4+6>5，5+6>4，所以能组成三角形。（或者，较短两边4+5=9>6，所以能组成。）（2）因为3+4=7<8，所以这三条线段不能组成三角形。例题2：一个三角形的两边长分别是3和5，第三边长是整数，求第三边的可能取值范围。解析：设第三边长为x。根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边（想一想，为什么两边之差会小于第三边？），我们有：5-3<x<5+3即2<x<8因为x是整数，所以x可以取3，4，5，6，7。（四）三角形的“内角和”——探寻隐藏的规律我们已经知道，三角形有三个内角。这三个内角的度数之和是多少呢？动手做一做：1.任意画一个三角形，用量角器量出它的三个内角的度数，并计算它们的和。2.把你画的三角形的三个内角剪下来，拼一拼，看看它们能拼成一个什么角？通过度量和拼接，你有什么发现？实际上，三角形三个内角的和等于180°。这就是著名的三角形内角和定理。这个定理是怎么证明的呢？我们可以通过添加辅助线的方法来推导。（*此处可引导学生思考，或给出一种常见证法，如过一顶点作平行线*）例如，过△ABC的顶点A作直线EF平行于BC。因为EF∥BC，所以∠EAB=∠B（两直线平行，内错角相等），∠FAC=∠C（两直线平行，内错角相等）。因为点E、A、F在同一条直线上，所以∠EAB+∠BAC+∠FAC=180°。因此，∠B+∠BAC+∠C=180°，即三角形内角和为180°。（*此处应有辅助线证明的图示*）例题3：在△ABC中，∠A=70°，∠B=50°，求∠C的度数。解析：根据三角形内角和定理，∠A+∠B+∠C=180°。所以，∠C=180°-∠A-∠B=180°-70°-50°=60°。例题4：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，求∠B的度数。解析：在直角三角形中，两个锐角的和是多少呢？因为∠A+∠B+∠C=180°，而∠C=90°，所以∠A+∠B=90°。因此，∠B=90°-∠A=90°-30°=60°。由本例我们可以得到一个结论：直角三角形的两个锐角互余。（五）三角形的“三线”——中线、角平分线与高三角形中还有几条特殊的线段，它们分别是三角形的中线、角平分线和高。1.三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。如图，点D是BC的中点（即BD=DC），那么线段AD就是△ABC的一条中线。一个三角形有三条中线，它们相交于三角形内部的一点，这个点叫做三角形的重心。2.三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。如图，∠BAD=∠CAD（AD平分∠BAC），且点D在BC上，那么线段AD就是△ABC的一条角平分线。一个三角形有三条角平分线，它们也相交于三角形内部的一点，这个点叫做三角形的内心。3.三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。如图，AD⊥BC，垂足为D，那么线段AD就是△ABC的一条高。一个三角形有三条高。锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形的两条直角边互为对方的高，第三条高在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部。它们所在的直线也相交于一点，这个点叫做三角形的垂心。（*此处应有三组图示，分别展示锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的中线、角平分线、高，并标注*）动手画一画：在你准备好的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形纸片上，分别画出它们的三条中线、三条角平分线和三条高，观察它们的位置关系。（六）三角形的“特性”——稳定性我们在生活中经常看到三角形结构，比如自行车的车架、照相机的三脚架、起重机的吊臂等。为什么它们要设计成三角形呢？动手做一做：用三根木条钉成一个三角形框架，用力拉一拉，它的形状会改变吗？再用四根木条钉成一个四边形框架，同样拉一拉，它的形状会改变吗？通过实验我们发现，三角形具有稳定性，而四边形没有稳定性。只要三角形三边的长度确定了，三角形的形状和大小就固定不变了。这种特性在生产和生活中有广泛的应用。四、例题精析：运用知识解决问题例题5：已知一个等腰三角形的两边长分别是4和9，求它的周长。分析：等腰三角形的两腰长度相等，但题目中没有明确指出哪条边是腰，哪条边是底边，所以需要分情况讨论。同时，还要注意三角形三边关系的限制。解答：情况一：假设腰长为4，底边长为9。则三边长分别为4，4，9。因为4+4=8<9，不满足三角形两边之和大于第三边，所以这种情况不成立。情况二：假设腰长为9，底边长为4。则三边长分别为9，9，4。因为9+4>9，9+9>4，4+9>9，满足三角形三边关系。所以，周长为9+9+4=22。答：这个等腰三角形的周长是22。例题6：如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠B=40°，∠C=60°，求∠DAE的度数。（*此处应有一个△ABC的图示，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC*）分析：要求∠DAE的度数，我们可以看它与哪些已知角有关。∠DAE是∠BAE与∠BAD的差（或∠CAD与∠CAE的差，取决于图形）。因此，我们需要先求出∠BAC的度数，进而求出∠BAE（或∠CAE）的度数，再求出∠BAD（或∠CAD）的度数。解答：在△ABC中，∠B=40°，∠C=60°，所以∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-40°-60°=80°。因为AE是∠BAC的平分线，所以∠BAE=∠BAC/2=80°/2=40°。因为AD是BC边上的高，所以∠ADB=90°。在Rt△ABD中，∠BAD=90°-∠B=90°-40°=50°。所以，∠DAE=∠BAD-∠BAE=50°-40°=10°。答：∠DAE的度数是10°。五、巩固练习：检验你的学习成果1.填空题：（1）在△ABC中，∠A=45°，∠B=60°，则∠C=______度。（2）一个三角形的两边长分别是2和7，第三边长为偶数，则第三边长可以是______。（3）等腰三角形的一个底角是50°，则它的顶角是______度。（4）三角形具有______性，这一特性在生活中有许多应用。2.选择题：（1）下列图形中，具有稳定性的是（）A.长方形B.正方形C.三角形D.平行四边形（2）一个三角形的三个内角中，至少有（）A.一个锐角B.两个锐角C.一个钝角D.一个直角（3）如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定3.解答题：（1）已知三角形的三边长分别为3，x，8，且x为整数，求x的可能取值。（2）在Rt△ABC中，一个锐角比另一个锐角大20°，求这两个锐角的度数。（3）如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数。（*此处应有一个简单的△ABC图示，BD是AC边上的高*）六、知识梳理与反思：你掌握了多少？通过本节课的学习，我们一起探索了三角形的世界。请你回顾一下：*三角形是如何定义的？它有哪些基本元素？*我们可以从哪两个不同的角度给三角形分类？具体分为哪几类？*三角形三边之间有什么重要的不等关系？如何判断三条线段能否组成三角形？*三角形内角和定理的内容是什么？直角三角形的两个锐角有什么关系？*三角形的中线、角平分线、高各是怎样定义的？它