桥梁受力分析习题集及详细解答

桥梁受力分析习题集及详细解答前言桥梁，作为交通基础设施的关键组成部分，其安全与耐久性直接关系到社会经济的顺畅运行。桥梁受力分析是桥梁设计、施工与养护的核心环节，它要求工程师具备扎实的力学基础、清晰的分析思路和熟练的计算能力。本习题集旨在通过一系列典型例题及其详尽解答，帮助学习者巩固桥梁结构力学的基本概念，掌握各类桥梁结构的受力特点与分析方法，提升解决实际工程问题的能力。习题的选取涵盖了从基本构件到整体结构，从静定体系到超静定体系的不同层次，力求体现桥梁工程的多样性与复杂性。解答过程注重原理阐述与步骤推演，希望能引导读者不仅知其然，更知其所以然。第一章预备知识与基本概念1.1荷载分类与组合习题1：简述桥梁设计中常见的永久荷载、可变荷载和偶然荷载，并说明在进行承载力极限状态设计时，基本组合的原则。解答：桥梁设计中的荷载通常分为以下三类：1.永久荷载（恒载）：指在结构使用期间，其值不随时间变化，或其变化与平均值相比可忽略不计的荷载。主要包括：结构自重（包括桥面铺装、栏杆、人行道等附属设施的重量）、预加力、土的自重及土侧压力、混凝土的收缩与徐变作用、基础变位作用等。2.可变荷载：指在结构使用期间，其值随时间变化，且其变化与平均值相比不可忽略的荷载。主要包括：汽车荷载（含冲击力、离心力、制动力等）、人群荷载、汽车引起的土侧压力、风荷载、流水压力、冰压力、温度作用等。其中，汽车荷载是最主要的可变荷载。3.偶然荷载：指在结构使用期间出现的概率很小，一旦出现，其值很大且持续时间很短的荷载。主要包括：地震作用、船舶或漂流物的撞击力、汽车撞击作用等。在进行承载力极限状态设计时，基本组合是指永久荷载与可变荷载的组合。其原则是：对于基本组合，应采用相应于永久荷载和可变荷载的基本组合效应组合。具体表达式为：`S_ud=γ_GS_Gk+γ_Q1S_Q1k+Σ(γ_Qiψ_cjS_Qik)`式中：`S_ud`——承载能力极限状态下作用组合的效应设计值；`γ_G`——永久荷载的分项系数；`S_Gk`——永久荷载效应的标准值；`γ_Q1`——主导可变荷载的分项系数；`S_Q1k`——主导可变荷载效应的标准值；`γ_Qi`——第i个其他可变荷载的分项系数；`ψ_cj`——第i个其他可变荷载的组合值系数。上述各系数的取值需根据《公路桥涵设计通用规范》等相关规范确定，以保证结构具有足够的安全储备。1.2内力计算基本方法习题2：试说明截面法求解静定结构内力的基本步骤。解答：截面法是求解结构指定截面内力（轴力N、剪力V、弯矩M）的最基本方法，其基本步骤如下：1.确定研究对象并画出其受力图：根据已知条件和待求内力，选取合适的隔离体（可以是整个结构、某个构件或构件的某一部分）。解除隔离体与周围的联系，代之以相应的约束反力和待求内力。2.计算约束反力：对选取的隔离体（通常是整个结构或某个基本部分），应用静力平衡方程（∑X=0,∑Y=0,∑M=0）求解支座反力或其他外部约束反力。3.选取欲求内力的截面，再次截取隔离体：在需要计算内力的截面处，假想地将结构切开，取其中一部分作为新的隔离体。此时，截面上会暴露出力N、V、M，其方向一般按规定的正方向假设（轴力以拉为正，剪力以使隔离体顺时针转动为正，弯矩以使构件下侧纤维受拉为正，具体正负号规定需结合教材或规范）。4.建立平衡方程求解内力：对新的隔离体应用静力平衡方程。通常，为简化计算，可取矩方程的矩心为截面上未知力（如轴力和剪力）的交点，从而直接求解弯矩；利用力的投影方程求解轴力和剪力。5.判断内力正负：根据计算结果的正负号，结合步骤3中假设的正方向，确定实际内力的方向和性质。第二章简支梁桥受力分析2.1跨中集中荷载作用习题3：一简支梁桥，计算跨径L，在跨中作用一集中力P（已包含冲击系数等）。试求：（1）支座反力；（2）跨中截面的弯矩和剪力；（3）绘制梁的剪力图和弯矩图。解答：（1）求支座反力：取全梁为研究对象，由于结构对称，荷载对称，故两支座反力相等。由∑Y=0：R_A+R_B=P由对称性或∑M_A=0：R_B*L=P*(L/2)→R_B=P/2则R_A=P/2故支座反力R_A=R_B=P/2，方向竖直向上。（2）求跨中截面内力：在跨中截面C处切开，取左半部分AC为隔离体。剪力V_C左：由∑Y=0，R_A-V_C左=0→V_C左=R_A=P/2（若取右半部分BC，则V_C右=R_B=P/2，方向与左半部分相反，即跨中截面剪力为零，这是集中力作用点剪力突变的特点，此处计算的是左截面或右截面的剪力值）弯矩M_C：由∑M_C=0，M_C-R_A*(L/2)=0→M_C=R_A*L/2=(P/2)(L/2)=PL/4故跨中截面弯矩为PL/4，剪力在集中力作用点处有突变，跨中截面左侧剪力为P/2，右侧为-P/2，截面形心处剪力理论上为零。（3）绘制剪力图和弯矩图：*剪力图（V图）：从A支座开始，有向上的反力R_A=P/2，故A支座右侧截面剪力为+P/2。在AC段（从A到跨中C），梁上无其他荷载，剪力保持不变，故剪力图为一条平行于梁轴的水平线，大小为+P/2。在跨中C点，作用有向下的集中力P。剪力图在C点发生突变，突变值等于该集中力的大小。故C点右侧截面剪力为+P/2-P=-P/2。在CB段（从跨中C到B），剪力保持为-P/2，直至B支座左侧。在B支座处，有向上的反力R_B=P/2，剪力图向上突变P/2，回到零。*弯矩图（M图）：A支座处，弯矩M_A=0（铰支端）。AC段，剪力为正且为常数，故弯矩图为一斜直线，斜率等于剪力值。从A到C，弯矩逐渐增大。跨中C点弯矩达到最大值PL/4。CB段，剪力为负且为常数，弯矩图为一斜直线，斜率为负。从C到B，弯矩逐渐减小至零（M_B=0）。弯矩图的顶点在跨中截面，呈三角形分布。2.2均布荷载作用习题4：一简支梁，计算跨径L，全跨承受均布荷载q（单位长度上的力，已包含冲击系数等）。试求：（1）支座反力；（2）跨中截面的弯矩和剪力；（3）距左支座x处截面的内力方程，并据此分析剪力为零点的位置。解答：（1）求支座反力：全梁总荷载为Q=qL。由对称性及∑Y=0：R_A=R_B=Q/2=qL/2。（2）求跨中截面内力：跨中截面位置x=L/2。剪力V_中：取左半部分为隔离体，V_中=R_A-q*(L/2)=qL/2-qL/2=0。弯矩M_中：M_中=R_A*(L/2)-q*(L/2)*(L/4)=(qL/2)(L/2)-qL²/8=qL²/4-qL²/8=qL²/8。（或直接利用均布荷载下简支梁跨中弯矩公式M_中=qL²/8）（3）距左支座x处截面的内力方程：取距左支座x处的任意截面K，取左半部分AK为隔离体。剪力方程V(x)=R_A-qx=qL/2-qx。弯矩方程M(x)=R_A*x-qx*(x/2)=(qL/2)x-qx²/2=(qx/2)(L-x)。分析剪力为零点的位置：令V(x)=0→qL/2-qx=0→x=L/2。即剪力零点位于跨中截面处，此位置弯矩达到最大值，与（2）中结果一致。这也符合“剪力为零处弯矩有极值”的规律。2.3悬臂端荷载作用习题5：一简支梁桥，计算跨径L，两端悬臂长度均为a，在左端悬臂端点作用一集中力P。试求：（1）支座反力；（2）左端悬臂根部截面的弯矩和剪力。解答：（1）求支座反力：取全梁为研究对象。设A为左支座，B为右支座，A支座左侧悬臂长a。由∑M_A=0：R_B*L-P*a=0→R_B=(Pa)/L(方向向上)由∑Y=0：R_A+R_B=P→R_A=P-R_B=P-(Pa)/L=P(1-a/L)(方向向上)若a<L，则R_A为正，方向向上；若a较大，R_A也可能为负，此时方向向下，需注意。（2）求左端悬臂根部截面（即A支座右侧紧邻截面）的内力：取左端悬臂部分（从悬臂端到A支座右侧截面）为隔离体。剪力V：在此隔离体上，仅有向下的力P和截面上向上的剪力V（假设）。由∑Y=0：V-P=0→V=P(方向向上，对悬臂部分而言，该剪力使截面有顺时针转动趋势，按通常符号规定为正剪力)弯矩M：对悬臂根部截面形心取矩。由∑M=0：M+P*a=0→M=-Pa(负号表示弯矩使悬臂上侧纤维受拉，即上弯，为负弯矩)故左端悬臂根部截面的剪力为P，弯矩为-Pa。第三章连续梁桥受力分析（简例）3.1两跨连续梁在均布荷载作用下的内力特征习题6：简述两跨等跨连续梁在全跨均布荷载作用下的受力特点，并与两跨简支梁（总长度与连续梁相同）相比，其弯矩分布有何优势？解答：两跨等跨连续梁（每跨计算跨径L）在全跨均布荷载q作用下的受力特点如下：1.支座反力：中间支座反力大于边支座反力。边支座反力R_A=R_C=3qL/8，中间支座反力R_B=10qL/8=5qL/4。2.内力分布：*弯矩：跨中截面产生正弯矩，但其最大值小于同等条件下简支梁的跨中弯矩（简支梁跨中M=qL²/8，连续梁跨中M=qL²/16）。中间支座截面产生较大的负弯矩。*剪力：边支座内侧剪力绝对值较大，中间支座两侧剪力方向相反，绝对值之和等于中间支座反力。3.变形：梁体在中间支座处产生下挠，在跨中产生上拱，整体变形较为平缓。与两跨简支梁（每跨L，总长度2L）相比，连续梁的弯矩分布优势主要体现在：1.跨中最大正弯矩显著减小：连续梁由于中间支座的负弯矩卸载作用，使得跨中正弯矩远小于同等跨径和荷载的简支梁。例如，在均布荷载下，连续梁跨中弯矩仅为简支梁的一半（qL²/16vsqL²/8）。2.材料利用更合理：简支梁跨中弯矩大，支座弯矩为零，导致跨中截面需要较大的配筋或截面尺寸，而支座附近截面材料未能充分利用。连续梁的弯矩分布相对均匀，中间支座负弯矩使得梁体在支座附近的截面也得到有效利用，可以更经济地设计截面尺寸和配筋，从而节省材料，减轻结构自重。3.刚度有所提高：连续梁的整体性更好，其竖向挠度通常小于同等条件下的简支梁，有利于改善行车舒适性。第四章桥梁支座受力分析习题7：一公路桥梁采用盆式橡胶支座，已知某支座承受的竖向反力为N，水平力为H（由汽车制动力或温度力等引起）。试分析该支座所受的力，并简述橡胶支座的工作机理。解答：该盆式橡胶支座主要承受以下力：1.竖向压力N：这是支座承受的主要荷载，由上部结构自重和可变荷载等产生，通过支座传递给下部结构（墩台）。盆式支座的金属盆底和承压橡胶块共同承受此压力。2.水平力H：包括汽车制动力、牵引力、温度变化引起的结构伸缩力、混凝土收缩徐变影响力等。水平力使支座产生水平方向的剪切变形或相对位移。盆式橡胶支座的工作机理：盆式橡胶支座由上支座板、下支座板、承压橡胶块、中间钢板（有时有）、密封圈及防尘罩等组成。其核心工作部分是置于金属盆（下支座板）内的承压橡胶块。在竖向荷载作用下，橡胶块在封闭的金属盆内受到三向约束（侧向变形受到金属盆壁的限制），从而显著提高了橡胶的抗压强度和刚度，能承受较大的竖向荷载。在水平力作用下或由于上部结构的温度伸缩、混凝土徐变等原因产生水平位移时，橡胶块产生剪切变形，或者通过支座内部的滑动面（如聚四氟乙烯板与不锈钢板之间）发生相对滑动，从而适应上部结构的水平位移需求，同时将水平力传递给下部结构。盆式支座通常还会设置