§2 2.2 圆的一般方程 课件-2026版高中数学北师大版选必修1

复习任务群一现代文阅读Ⅰ把握共性之“新”打通应考之“脉”第一章直线与圆§2圆与圆的方程2.2圆的一般方程学习任务核心素养1．理解圆的一般方程的形式及特点，会由一般式求圆心和半径．(重点)2．会在不同条件下求圆的一般方程．(重点)1．通过对圆的一般方程的推导，提升逻辑推理、数学运算素养．2．通过对圆的一般方程的应用，培养直观想象与数学运算素养．1．在什么条件下，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆？2．二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时，圆心与半径分别是什么？必备知识·情境导学探新知圆的一般方程(1)圆的一般方程的概念当______________时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫作圆的一般方程．(2)圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圆心和半径圆C的圆心为_____________，半径长为________________．D2＋E2－4F>0

(3)圆的方程在代数结构上的特征对于二元二次方程Ax2＋Cxy＋By2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时，①x2，y2的系数____，且________，即________；②不含xy这样的项，即_____．相同不等于0

A＝B≠0

C＝0

×√

√

√

3．点P(1，－2)和圆C：x2＋y2＋m2x＋y＋m2＝0的位置关系是_________________．点P在圆C外[将点P(1，－2)代入圆的方程，得1＋4＋m2－2＋m2＝2m2＋3>0，∴点P在圆C外．]点P在圆C外关键能力·合作探究释疑难√类型1圆的一般方程的概念【例1】

(1)若x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则实数k的取值范围是(

)A．R

B．(－∞，1)C．(－∞，1]

D．[1，＋∞)(2)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是____________，半径是________．(－2，－4)

5

(1)B

(2)(－2，－4)

5

[(1)由方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0可得，(x－2)2＋(y＋1)2＝5－5k，此方程表示圆，则5－5k>0，解得k<1．故实数k的取值范围是(－∞，1)．故选B．(2)由题可得a2＝a＋2，解得a＝－1或a＝2．当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0表示圆，故圆心为(－2，－4)，半径为5．当a＝2时，方程不表示圆．]

[跟进训练]1．下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径．(1)2x2＋y2－7y＋5＝0；(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0；(4)2x2＋2y2－5x＝0．

类型2求圆的一般方程【例2】

【链接教材P32例4】已知△ABC的三个顶点为A(1，4)，B(－2，3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径．

【教材原题·P32例4】例4求经过A(1，3)，B(4，2)，C(5，－5)三点的圆的方程．

图1－29反思领悟

待定系数法求圆的方程的解题策略(1)如果已知条件与圆心坐标、半径有关，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r．(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F．[跟进训练]2．求经过点A(－2，－4)且与直线x＋3y－26＝0相切于点B(8，6)的圆的方程．

∴2D＋4E－F－20＝0，②8D＋6E＋F＋100＝0．③联立①②③，解得D＝－11，E＝3，F＝－30，故所求圆的方程为x2＋y2－11x＋3y－30＝0．类型3与圆有关的轨迹方程问题【例3】点A(2，0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1，1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP的中点M的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程．[解]

(1)设线段AP的中点为M(x，y)，由中点公式得点P坐标为P(2x－2，2y)．∵点P在圆x2＋y2＝4上，∴(2x－2)2＋(2y)2＝4，故线段AP的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1．(2)设线段PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|．设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ，∴|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4，故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0．反思领悟

求轨迹方程的一般步骤(1)建立适当坐标系，设出动点M

的坐标(x，y)；(2)列出点M

满足条件的集合；(3)用坐标表示上述条件，列出方程；(4)将上述方程化简；(5)证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点．[跟进训练]3．已知△ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程．

∵点C不能在x轴上，∴y≠0．综上，点C的轨迹是以(－6，0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12，0)和(0，0)两点．轨迹方程为(x＋6)2＋y2＝36(y≠0)．学习效果·课堂评估夯基础√

2．如果圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0关于直线y＝2x对称，那么(

)A．D＝2E

B．E＝2DC．E＋2D＝0

D．D＝E√

3．当a取不同的实数时，由方程x2＋y2＋2ax＋2ay－1＝0可以得到不同的圆，则(

)A．这些圆的圆心都在直线y＝x上B．这些圆的圆心都在直线y＝－x上C．这些圆的圆心都在直线y＝x或在直线y＝－x上D．这些圆的圆心不在同一条直线上√A

[圆的方程变为(x＋a)2＋(y＋a)2＝2a2＋1，∴圆心坐标为(－a，－a)，故圆心都在直线y＝x上．]

1．圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，来源于圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2．在应用时，注意它们之间的相互转化及表示圆的条件．2．圆的一般方程在特殊条件下的形式3．能够求出简单的曲线的轨迹方程，并掌握求轨迹方程的一般步骤．特殊条件方程形式圆心为原点(0，0)x2＋y2＋F＝0圆心在x轴上x2＋y2＋Dx＋F＝0圆心在y轴上x2＋y2＋Ey＋F＝0过坐标原点时x2＋y2＋Dx＋Ey＝0章末综合测评(一)动量守恒定律题号13524687910111213√1415课时分层作业(八)圆的一般方程一、选择题1．方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示的图形是(

)A．一个点 B．一个圆C．一条直线

D．不存在A

[方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0，可化为x2＋y2－2x＋4y＋5＝0，即(x－1)2＋(y＋2)2＝0，∴方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示点(1，－2)．]题号135246879101112131415题号2134568791011121314152．已知圆C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m的值为(

)A．8

B．－4C．6

D．无法确定√

题号213456879101112131415

√

题号2134568791011121314154．若圆C：x2＋y2－2(m－1)x＋2(m－1)y＋2m2－6m＋4＝0过坐标原点，则实数m的值为(

)A．2或1

B．－2或－1C．2

D．1√

题号213456879101112131415

√

题号213456879101112131415二、填空题6．若l是经过点P(－1，0)和圆x2＋y2＋4x－2y＋3＝0的圆心的直线，则l在y轴上的截距是________．

－1题号2134568791011121314157．过圆x2＋y2－6x＋4y－3＝0的圆心，且平行于直线x＋2y＋11＝0的直线的方程是________________．x＋2y＋1＝0

[由题意知圆心为(3，－2)，设所求直线的方程为x＋2y＋m＝0(m≠11)，将圆心(3，－2)代入，得3－4＋m＝0，∴m＝1，故所求直线的方程为x＋2y＋1＝0．]x＋2y＋1＝0

题号2134568791011121314158．过四点(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三点的一个圆的方程为__________________________________________________________________________________________________________．

题号213456879101112131415

题号213456879101112131415

题号213456879101112131415

题号213456879101112131415

题号213456879101112131415

题号213456879101112131415三、解答题9．(源自人教A版教材)求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2(4，2)的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径．[解]

设圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．①因为O，M1，M2三点都在圆上，所以它们的坐标都是方程①的解．把它们的坐标依次代入方程①，得到关于D，E，F的一个三元一次方程组题号213456879101112131415

题号21345687910111213141510．若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求：(1)实数m的取值范围；(2)圆心坐标和半径．

√题号21345687910111213141511．已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1，0)，则圆C的圆心的轨迹是(

)A．点

B．直线C．线段

D．圆D

[∵圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1，0)，∴