5.3.1 导数与函数的单调性(2知识点+9考点+过关检测)(解析版)-2026《寒假自学课-高二数学》人教A

5.3.1导数与函数的单调性内容导航——预习三步曲第一步：导串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握第二步：学析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习练考点强知识：核心题型举一反三精准练第三步：测过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升知识点1：函数单调性与导数在某个区间(a,b)内，若f'(x)>0，则函数y=f(x)在这个区间内单调递增；若f'(x)<0，则函数y=f(x)在这个区间内单调递减．解释(1)如下图，导数f'(x0)在x=x0处，f'x0>0，切线是“左下右上”在x=x1处，f'x1<0，切线是“左上右下”的下降式，函数(2)若函数y=f(x)在某个区间(a,b)内单调递增，则∀x∈a,b,f'x≥0(含等号假如存在一区间(c,d)⊆(a,b)内使得f'x=0，那原函数y=f(x)在区间(c,d)内恒等于一个常数，即fx=m(m是个常数函数y=f(x)在某个区间(a,b)内单调递减有类似结论！(3)导函数“穿线图”与原函数“趋势图”①导函数“穿线图”关注导函数在各区间的正负，故特别注意函数与x轴的交点情况，如f'(x)=x与f'x=ex-1②原函数“趋势图”仅关注函数在各区间上的单调性，没顾及其最值或曲线形状等，如由导函数f'x=x-1的“穿线图”易得原函数y=f(x)在③后面涉及到函数单调性均可通过分析导函数“穿线图”得出原函数的单调性.（24-25高二·全国·课后作业）函数f(x)=13x【答案】(a，a+1)【分析】求出函数f(x)的导数f'(x)，再求出不等式f【详解】依题意，函数f(x)的定义域为R，f'由f'(x)<0解得a<x<a+1，即f(x)在(a，a所以f(x)的单调减区间是(a，a＋1).故答案为：(a，a＋1)知识点2：函数增长快慢一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”.【例】对数函数y=lnx幂函数y=指数函数y=导数yyy导数绝对值变化在0，在1，在原点附近较小，离原点越远越大在-∞，在0，图象变化在0，在1，在原点附近平缓，离原点越远越陡峭在-∞，在0，图象（2025高三·全国·专题练习）（24-25高二下·广东佛山·期末）已知函数y=fx的图象如图所示，则其导函数的图象大致形状为（A． B．C． D．【答案】A【分析】利用fx先单调递增的速度由快到慢，再由慢到快，结合导数的几何意义判断即可【详解】由fx的图象可知，函数f由导数的几何意义可知，f'x先减后增，且恒大于0故选：A.题型一：导函数的“穿线图”与原函数的“趋势图”例1．（25-26高三上·辽宁·开学考试）已知连续函数fx的导函数为f'x，如图是函数y=xf'

A．fx在-1,0上单调递减 B．fx在C．fx在-1,2上单调递增 D．fx在【答案】A【分析】结合图象确定导函数f'x在区间-2,-1，-1,0，0,1，1,2【详解】由图象可得当-2≤x<-1时，此时f'x>0，函数f当-1<x<0时，xf此时f'x<0，函数f当0<x<1时，xf此时f'x>0，函数f当1<x≤2时，xf此时f'x>0，函数f又f'-1=0，f故BCD都错误，A正确.故选：A.【变式1-1】（24-25高二上·甘肃平凉·期末）设函数y=f(x)可导，y=f(x)的图象如图所示，则导函数f'(x)图象可能为（A． B．C． D．【答案】A【分析】根据y=f(x)图象的单调性与导函数f'(x)【详解】由图象知，x∈-∞,0，y=f(x)故排除B，D.当x∈0,+∞时，所以y=f'(x)的图象先正，后负，再正，所以A正确，故选：A【变式1-2】（24-25高二下·江西景德镇·期末）已知函数y=f(x)的图象如图所示，则不等式x⋅f'(x)<0A．(-1,0)∪(2,5) B．(-1,2)∪(5,+C．(-∞,0)∪(2,5) D【答案】A【分析】由函数图象得出f'x>0【详解】由函数fx的图象可得f'x>0的解集为-1,2∪x⋅f'x<0等价于所以-1<x<0或2<x<5，所以不等式x⋅f'x故选：A.【变式1-3】（24-25高二下·广东江门·期中）已知下列四个图象之一是函数f(x)在某区间的图象，且f(x)的导函数f'(x)在该区间的图象如图所示，则f(x)在该区间的图象是（A． B．C． D．【答案】B【分析】由f'x的图象得到fx的单调性，即可判断C、D，再由导数的几何意义及【详解】不妨设f(x)在区间a,b（a<0,b>2，a可为-∞，b也可为+由f'x的图象可知，当a<x<0或2<x<b时f'x>0所以fx在a,0，2,b上单调递增，在0,2上单调递减，故排除C、D又f'x在a,0上单调递减，则fx且由f'x的图象可知当x→a时所以fx的切线斜率不趋近于+∞故选：B题型二：求不含参函数的单调性例2.1（24-25高二下·福建莆田·期末）函数f(x)=x3-6A．(-∞,1) B．(1,3) C．(1,+∞【答案】B【分析】求导，f'(x)<0【详解】由f(x)=x3-6令f'(x)<0，解得所以函数f(x)=x3-6故选：B.例2.2（25-26高三上·湖南永州·开学考试）函数y=xcosx-sinA．π2,3C．3π2,【答案】B【分析】先求出y'，再分析各项中的y【详解】由y=xcosx-sin对于选项A，当x∈π2,π时，当x∈π,3π2所以该函数在区间π2,π所以该函数在区间π2,3对于选项B，当x∈π,2π时，sin所以该函数在区间π,2π上单调递增，故对于选项C，当x∈3π2,2π时，当x∈2π,5π2所以该函数在区间3π2,2π所以该函数在区间3π2,对于选项D，当x∈2π,3π时，sin所以该函数在区间2π,3π上单调递减，故故选：B．【变式2-1】（24-25高二下·福建泉州·月考）函数y=lnx+1xA．-∞,1 B．0,1 C．1,e【答案】D【分析】求导，令导数小于零求解．【详解】函数y=lnx+1xy'由y'<0得x>1，所以y=ln故选：D.【变式2-2】（25-26高三上·吉林长春·月考）设函数fx=ax-ax-2lnx的导函数为fA．12,2 B．0,12 C．【答案】A【分析】由f'2=0求a，解不等式【详解】fx定义域为0,+∞，f所以f'2=a+所以fx=4由f'x<0所以fx的单调递减区间为1故选：A.【变式2-3】（25-26高三上·湖南·期中）已知函数fx(1)判断fx(2)求曲线y=fx(3)求fx的单调区间【答案】(1)奇函数，理由见解析(2)y=0(3)fx在-π,π,2kπ,【分析】（1）根据奇函数的定义判断即可；（2）利用导数求出切线斜率即可得解；（3）根据导数及正弦函数的性质解不等式即可求出单调区间.【详解】（1）fx是奇函数理由如下：fx的定义域为Rf=xcosx-sinx-x（2）f0f'故曲线y=fx在原点处的切线方程为y=0（3）当x>0时，令f'x≥0令f'x≤0当x<0时，令f'x≥0，解得-2令f'x≤0，解得-故fx在-π,π,2kπ,题型三：由函数单调区间求参数例3.（24-25高二下·广东深圳·期末）已知函数f(x)=(x+a-1)ex+b2x2A．-1e B．1e C．-1【答案】A【分析】利用f'(x)≥0恒成立，讨论分析得到a、b的关系式，化简带入ab，把得到的函数构造为y=g(a)【详解】由题意，函数fx=x+a-1ex因为函数fx在R上单调递增，所以f'(x)=(x+a)(若b≥0，则x<-a时f'所以b<0，(x+a)与(e所以-a=ln-b，即b=-e令g(a)=-aea令g'(a)>0，则a>1；令g'所以g(a)在-∞,1上单调递减，在所以ab的最小值为g(a)故选：A【变式3-1】（2025·四川泸州·一模）若函数fx=x3-3ax2A．1,+∞ B．C．-∞,-2∪【答案】C【分析】先对函数求导，根据导数的函数性质结合零点取值得出已知条件恒成立时需满足的条件，再讨论a的符号得出a的取值范围．【详解】函数fx=x当a=0时，f'x=3x2令f'x=0，解得x=3a若函数fx=x3-3ax2当a<0时，3a<-a，∴-1≥3a当a>0时，3a>-a，∴-a≤-1∴a的取值范围为-∞故选：C．【变式3-2】（24-25高二下·湖南岳阳·期末）已知函数f(x)=x2-alnx+1在(1,3)A．(2,18) B．[2,18]C．(-∞,2)∪[18,+∞【答案】A【分析】先讨论得出fx的单调区间，然后根据已知列出不等式，求解即可得出答案【详解】由已知可得，fx定义域为0,+∞，若a≤0，则f'(x)≥0恒成立，则fx当a>0时，由f'(x)=0可知，x=a2当0<x<a2时，有f'(x)<0，所以当x>a2时，有f'(x)>0，所以f由已知函数f(x)=x2-a所以应有1<a2<3故选：A.【变式3-3】（25-26高三上·四川·开学考试）已知函数fx=-x2+2ax+a,x<03A．0 B．3 C．6 D．8【答案】C【分析】根据条件，利用分函数的单调性及导数与函数单调性间的关系，即可求解.【详解】因为函数fx=-当x<0时，fx=-x2+2ax+a当x≥0时，fx=3e要使函数fx=3ex-bx在区间0,+∞上单调递增，则又因为-02+2a×0+a≤3综上所述，0≤a≤3，b≤3，所以a+b≤6则a+b的最大值为6，故选：C.题型四：求含参函数的单调性之一次函数型例4.（24-25高二下·天津红桥·月考）已知f(1)若a=2，求fx在e(2)讨论fx的单调性【答案】(1)2+(2)答案见详解【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线的斜率即可.（2）求导，分a≥0和a<0讨论，求出单调性即可.【详解】（1）当a=2时，fx=ln所以所求切线的斜率为f'（2）由fx=lnx+ax，当a≥0时，f'x=1x当a<0时，f'由f'x>0，得0<x<-1a所以fx在0,-1a综上，当a≥0时，fx在0,+当a<0时，fx在0,-1a上单调递增，在【变式4-1】（2025高三·全国·专题练习）若对于x≥1，不等式ax-1-lnx≥0【答案】1,+【分析】令fx=ax-1-lnx,x≥1，求得f'x=【详解】令fx=ax-1若a≤0时，f'x<0又由f1=0，所以当x≥1若0<a<1时，令f'x=0当x∈[1,1a)时，f当x∈(1a,+∞)又由f1=0，所以存在x0若a≥1时，令f'x=0当x∈[1,+∞)时，f'x>0所以当x≥1时，f所以实数a的取值范围为1,+∞故答案为：1,+∞【变式4-2】（24-25高二下·全国·随堂练习）已知函数fx=lnx-ax-2【答案】答案见解析【分析】对a进行分类讨论，结合导函数的正负与函数单调性的关系即可得解.【详解】因为fx=ln所以f'若a≤0，则f'x>0恒成立，此时f若a>0，令f'x=1x-a=0，得x=1a，易得此时fx在0,1a综上所述：当a≤0时，fx在0,+当a>0时，f(x)在0,1a上单调递增，在1题型五：求含参函数的单调性之二次函数型例5.（23-24高二下·福建厦门·月考）已知函数fx(1)讨论fx的单调性(2)求证：若a>0，fx有且仅有一个零点【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】（1）先确定定义域，对f(x)求导，利用导数与函数单调性间的关系，对a进行讨论，即可求出结果；（2）利用（1）中结果，再利用零点存在性原理，即可得出结果.【详解】（1）函数f(x)的定义域为(0,+∞f'令f'x=0，解得x=若a≤0，则当0<x<12时f'x>0所以f(x)在(0,12)若0<a<12，则当0<x<a或x>12时，f'所以f(x)在(0,a)和(12,+若a=12，则f'x=-若a>12，则当12<x<a时，f'x>0所以f(x)在(0,12)和(a,+综上所述：当a≤0时，f(x)在(0,12)当0<a<12时，f(x)在(0,a)和(1当a=12时，f(x)在当a>12时，f(x)在(0,12)（2）由（1）可知当a=12时，f(x)在又f(1)=1>0，f(e因此存在唯一x0∈(1,e)使当0<a<12时，函数f(x)在x=a处取得极小值令g(x)=-lnx+x+1，求导得当x∈(0,1)时，g'(x)<0，当x∈(1,+∞函数g(x)在(0,1)上单调递减，g(x)在(1,+∞g(x)≥g(1)=2>0，即f(a)>0，f(1当x→+∞时，-alnx→-∞，因此存在唯一x1∈(12,+当a>12时，函数f(x)在x=1f(a)>f(1同理存在唯一x2∈(a,+∞)使所以f(x)有且仅有一个零点.【变式5-1】（24-25高二下·河北张家口·月考）若函数fx=x3+aA．-∞,-3 BC．-∞,-3∪【答案】C【分析】通过求导，再依据Δ≤0和Δ>0【详解】fx=xΔ=4当Δ≤0，即-3≤a≤3时，f'x≥0，则当Δ>0，即a<-3或a>3时，f'x=0的两根为则f'x>0得x<x1或x>则fx在-∞,-a-a则fx恰好有三个单调区间，满足题意，故实数a的取值范围是-故选：C.【变式5-2】（24-25高二下·全国·课后作业）设函数f(x)=x2+ax-3a2【答案】答案见解析【分析】求导得导数的两个零点为x=a或x=-32a，对【详解】f(x)的定义域是(0,+∞若a=0，fx=x2，函数当a≠0时，f'令f'(x)=0，解得x=a或若a<0，则当0<x<-32a时，f'(x)<0所以f(x)在0,-32a若a>0，则当0<x<a时，f'(x)<0，当x>a时，所以f(x)在(0,a)上单调递减，在(a,+∞综上所述，当a=0时，f(x)在(0,+∞当a<0时，f(x)在0,-32a当a>0时，f(x)在(0,a)上单调递减，在(a,+∞【变式5-3】（2025高二·全国·专题练习）已知函数fx=lnx+12a【答案】答案见解析【分析】对fx求导，然后分a≥0和a<0【详解】函数fx=ln所以f'当a≥0时，f'x>0，所以f当a<0时，令f'x<0得x>-1a所以fx在-1a,+综上，当a≥0时，函数fx在0,+∞上单调递增；当a<0时，fx在-1题型六：求含参函数的单调性之指数函数型例6.（24-25高二下·天津河东·月考）设函数fx=ae(1)若f0=1，求曲线y=fx(2)求函数fx【答案】(1)3x-y+1=0(2)答案见解析【分析】（1）由f0=1可求出（2）求得f'x=ex2a【详解】（1）因为fx=ae2x-ex所以f'x=4此时，曲线y=fx在x=0处的切线方程为y-1=3x，即3x-y+1=0（2）因为fx=ae当a≤0时，则f'即函数fx的单调递减区间为-当a>0时，由f'x<0可得x<-ln2a此时，函数fx的单调递减区间为-∞,-综上所述，当a≤0时，函数fx的单调递减区间为-当a>0时，函数fx的单调递减区间为-∞,-【变式6-1】讨论函数fx【答案】答案见解析【分析】对函数进行求导，参数a进行分类讨论，再利用函数的单调性与导数的关系即得；【详解】由题意得，f'①当a≥1时，f'x=a-1+ex②当a<1时，令f'x=a-1+f'x=a-1+所以函数fx在ln1-a,+综上，当a≥1时，函数fx在R当a<1时，函数fx在-在ln1-a,+【变式6-2】（24-25高二·全国·课后作业）已知函数fx=ae【答案】答案见解析【分析】就a≤0,a>0分类讨论导数的符号后可得函数的单调区间.【详解】fx的定义域为R，f若a≤0，则f'x<0恒成立，故f若a>0，则当x<-lna时，f'x<0故fx在-lna,+∞上为增函数，在综上，当a≤0时，fx在-∞,+∞当a>0时，fx在-lna,+∞【变式6-3】（2024高二下·全国·专题练习）已知函数f(x)=(x-2)e(1)若曲线y=fx在点(2,f(2))处的切线的斜率为e2，求(2)若a>0，讨论函数fx【答案】(1)a=0(2)答案见解析.【分析】（1）求导f'(x)=(x-1)(e（2）f'(x)=(x-1)ex-ax+a=(x-1)(ex【详解】（1）ff'（2）由题f'由于a>0，f'x=0①当lna=1，即a=e时，f'x≥0②当lna<1，即0<a<在区间-∞,lna，1,+∞上，f所以fx在-∞,lna③当lna>1，即a>e时，在区间-∞,1，在区间1,lna上，所以fx在-∞,1，ln故当a=e时，fx在当0<a<e时，fx在-∞,ln当a>e时，fx在-∞,1，题型七：求含参函数的单调性之对数函数型例7.（24-25高二·江苏·课后作业）已知函数fx=xlnx-1【答案】f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞【分析】根据函数求出函数的定义域，然后对函数求导，利用导数的正负来讨论函数的单调性即可求解.【详解】函数fx的定义域为x∈(0,+∞)当a≤0时，由于f'(x)在0,+∞又f'(1)=0，则当0<x<1时，f'(x)<0；当所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞【变式7-1】（2025高二·全国·专题练习）函数f(x)=a+lnxA．-∞,e1-a B．0,e1-a【答案】B【分析】根据函数的导数大于0可得增区间.【详解】因为f(x)=a+lnx则f'由f'x>0，解得x∈0,故选：B【变式7-2】（2025高三·全国·专题练习）已知函数fx=xln【答案】f(x)在(0，  e【分析】求出函数fx=x【详解】函数fx的定义域为x∈(0，  令f'(x)=0，解得则有当0<x<ea-1时，f'(x)<0；当所以f(x)在(0，  e题型八：函数单调性的应用例8.1（25-26高三上·全国·期中）已知a=43,b=A．b>a>c B．b>c>aC．c>a>b D．a>b>c【答案】A【分析】设fx=ex-x-1,x>0，求导得单调性从而得b,a的大小，【详解】由a=43,b=则f'x=ex所以f13>f0，即e1由c=ln4e则g'x=11+x所以g13<g0，即ln1+13综上，b>a>c.故选：A.例8.2（25-26高三上·云南昆明·月考）若0<xA．ex2-C．x2ex【答案】D【分析】设fx=exlnx，求得f'x=ex-1x，存在x0∈0,1，使f'x0=0，得到fx【详解】设fx=ex-lnx所以f'x=ex所以存在x0∈0,1所以fx在0,x0所以fx在(0,1)上不是单调函数，无法判断fx1与fx2设gx=e当x∈0,1时，g'x=e又因为0<x1<x2<1，所以所以C不正确，D正确.故选：D.【变式8-1】（25-26高三上·湖北荆州·开学考试）已知a=ln25，b=-32A．a>b>c B．b>a>cC．b>c>a D．a>c>b【答案】A【分析】同时平方判断b,c的大小关系，利用函数fx=lnx-x+1在1,+【详解】因为-322=94=2.25所以-32>-a=ln设函数fx=lnx-x+1，则f'所以fx在1,+∞上单调递减，所以，当x>1时，fx当x=52时，得ln52<综上，a>b>c，故选：A.【变式8-2】（25-26高三上·黑龙江·月考）已知函数y=f(x+1)是R上的偶函数，当x≥1时，f(x)=x2+x+1exA．(-∞,-1)∪(13,+∞) B．【答案】B【分析】由y=fx+1为偶函数，得fx的图像关于x=1对称，利用导数求f【详解】因为函数y=f(x+1)是R上的偶函数，所以y=f(x)图象关于直线x=1对称．当x≥1时，f'(x)=-x(x-1)ex≤0所以不等式f(2x+1)>f(x)等价于|(2x+1)-1|<|x-1|，解得-1<x<1故选：B．【变式8-3】（25-26高三上·北京·月考）设a,b∈R，ab≠0，且a<b，则下列不等式一定正确的是（

）A．ba>aC．2a<3【答案】D【分析】分别取特殊值即可验证A、B、C三个选项，令t=b-a，由a<b则t>0，构造函数ft=t-sint，利用导数证明函数ft在t>0【详解】当a=-3,b=-2时，ba=23,a当a=-1,b=1时，ba+ab=-2<2当a=-3,b=-2时，2a=2-3=1令t=b-a，由a<b则t>0，构造函数ft=t-sint，则所以函数ft在t>0时单调递增，因为f0=0，因此当t>0时，ft即sint<t，故sinb-a<b-a，选项故选D题型九：综合题型例9.1（24-25高二下·贵州·月考）已知函数f(x)=lnx2-x+13(x-1)3A．1,3 B．2,3C．[1,4) D．[2,4)【答案】D【分析】先求出函数的定义域，然后求出函数的对称中心，进而可求出结果.【详解】要使函数有意义，则x2-x>0，即所以函数f(x)的定义域为(0,2)，因为fx1+fx2因为gx所以g2-x=ln所以gx的图象关于(1,0)对称对gx求导得g因为0<x<2，所以0<x2-x所以2-x22-x2=2-x2-x要使得fx1+fx2所以x1≥2-x2且故选：D.例9.2（25-26高三上·上海·期中）若函数fx和gx的图象均连续不断，fx和gx均在任意的区间上不恒为0，fx的定义域为I1,gx的定义域为I2，存在非空区间A⊆I1∩I2，满足：对任意的x∈A(1)写出fx=sinx和gx=cosx(2)若fx=x3,-1,1是fx和gx(3)若fx=πlnxex-1e+x+sin2x,x∈(0,1]，(0,1]是f【答案】(1)在区间0,π上的一个“Ω区间”可以是π(2)证明见解析；(3)证明见解析.【分析】（1）根据正余弦函数的性质及Ω区间的定义确定fx=sinx和gx=cosx（2）根据定义有x∈[-1,0)时gx≥0，x∈(0,1]时gx≤0，进而得到（3）应用导数研究函数的单调性，再由Ω区间的定义及零点存在性定理，即可证.【详解】（1）由题意fx=sinx和当x∈π2,π时，fx≥0≥gx故在区间0,π上的一个“Ω区间”可以是π（2）由题意，当x∈[-1,0)时，fx=x当x∈(0,1]时，fx=xgx在任意区间上不恒为0，故∃x1又g-x1≤0，显然（3）当x∈(0,1]时，f'因为π1x-所以fx在(0,1]当x∈(0,1]时f1故∃t∈1e,1且当x∈(0,t)时，fx<0，当x∈(t,1)时，当x∈(0,t)时，fx<0，故gx≥0且存在当x∈(t,1)时，fx>0，故gx≤0且存在由零点存在性定理知，∃λ∈α,β，使g故gx在区间(0,1]上存在零点【变式9-1】（25-26高三上·福建宁德·期中）已知定义在R上的函数fx=lnx,x>1,x2-xA．-∞,-1∪C．-∞,-1∪【答案】D【分析】根据方程fx-ax-1=0恰有两个解，得出【详解】因为方程fx-ax-1则x=1为方程fx当x≠1时，由fx则a=f所以y=a与gx当x>1时，gx设tx=1-1则t'x=1x所以tx所以g'x=1-1当x→1,g(x)→1，且x>1时，gx做出函数gx结合图象可得，要使y=a与gx则a≤-1或0≤a<1．故选：D．【变式9-2】（多选）（2025·广西·模拟预测）已知函数fx=xlnA．fxB．fxC．y=fx在点1, D．fx在0,【答案】ACD【分析】根据奇函数的定义、零点的求解、导函数和函数的单调性进行逐一判断即可.【详解】对于A：函数fx=xln而f-x=-xln对于B：令fx=0，则xln1+x所以x=0，所以函数只有一个零点，B错误；对于C：当x>0时，fxf'x=所以函数在点1,f1处切线的斜率为ln2+1对于D：当x>0时，f'x=ln1+x+故选：ACD.【变式9-3】（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·月考）已知函数f(x)=xln(1)当x≥1时，f(x)≥0，求λ的取值范围；(2)求证：1n+1【答案】(1)(-(2)证明见解析【分析】（1）恒成立求参数λ的取值范围，分类讨论利用导数分析单调性求解即可；（2）由（1）可知当x>1时，f(x)=xlnx-(x-1)>0，故ln【详解】（1）函数f(x)=xlnx-λ(x-1),f①当λ≤1时，因为x≥1，故f'(x)≥0恒成立，此时f(x)单调递增，所以②当λ>1时，令f'(x)=ln当x∈1,eλ-1时f'(x)≤0综上可知：λ≤1．即λ的取值范围为(-∞（2）由（1）可知当x>1时，f(x)=xlnx-(x-1)>0，故令x=1+1n，所以ln1+1=所以1n+1【变式9-4】（24-25高三下·贵州遵义·月考）已知函数fx=ax3+bx2+cx(1)当a=1，b=0，c=-1时，求y=fx(2)当a=c=0，b=1时，正方形ABCD有三个顶点在函数y=fx的图象上，求正方形ABCD面积的最小值【答案】(1)增区间为-∞,-33(2)2【分析】（1）求函数fx的导函数f'x，解方程f'x=0，分区间判断导数值的正负，判断函数的单调性，设函数fx（2）不妨设三个顶点中有两个在y轴右侧（包括y轴），且设A,B,C三点的坐标分别为x1,y1,x2,y2,x【详解】（1）因为fx所以f'x=3x2当x<-33时，f'x>0当-33<x<33时，f当x>33时，f'x>0所以fx在区间-在区间-3设函数fx的对称中心为m,n，则f所以函数y=x-m所以-x-m3所以6mx2+2解得m=0,n=0，所以fx的对称中心为0,0（2）如图，不妨设三个顶点中有两个在y轴右侧（包括y轴），且设A,B,C三点的坐标分别为x1,y1,则有y3又A,B,C三点在函数fx所以y1代入上面两式得：x3由于AB=即x1所以1+1k2所以1k所以k3≥1,k≥1，且有所以正方形边长为1+=k当且仅当k=1时，即点B为原点时等号成立.所以正方形面积的最小值为2.1（2025·江西新余·模拟预测）函数y=fx的图象如图所示，则y=f'

A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根据导数于原函数单调性的关系进行判断.【详解】当x<0时，曲线的切线斜率大于0且越来越大，当x>0时，曲线的切线斜率小于0且越来越大.故选：D2（2026高三·全国·专题练习）函数fx=x⋅eA．-∞,eC．e,+∞ D【答案】D【分析】对函数求导，令导函数大于0构建不等式，其解集为单调增区间.【详解】由fx=x⋅e其中，ex>0，令f'x>0所以函数fx的递增区间是e故选：D3（25-26高三上·贵州黔东南·期中）已知函数fx=alnx+12x2-2xA．0,1 B．1,+∞ C．0,1 D．【答案】D【分析】根据fx在0,+∞上单调递增，将问题转化为f'【详解】fx若fx在0,+∞上单调递增，则f'即x2令gx=-x2+2x,x∈0,+∞故只需a≥1．即a∈1,+故选：D．4（2025高二上·辽宁营口·学业考试）已知函数fx=2x-A．-3,-2 B．-2,-1C．12,1 D【答案】D【分析】求定义域，求导，得到函数单调性和极值，结合零点存在性定理可得答案.【详解】fx=2f'x=-2xfx=2当x<0时，令f'x<0得-1<x<0，令f故fx=2x-又f-1=-2-1<0，所以fx∵f1=2-1=1>0，f2∴f1∴根据零点存在性定理知，在区间1,2上一定存在零点.故选：D5（25-26高三上·海南·月考）已知a=e0.05，b=ln1.05+1，A．b>a>c B．b>c>a C．a>c>b D．a>b>c【答案】D【分析】构造函数fx=【详解】令fx=e故fx在0,+∞上单调递增，故则f0.05=efln1.05=1.05-故有e0.05>ln故选：D.6（2025高三·全国·专题练习）若对于0<x1<x2<a，都有A．12 B．1 C．e D．【答案】B【分析】首先对已知不等式x2lnx1-【详解】因为0<x1<所以lnx1x令φ(x)=lnx+1x当x∈(0,1)时，φ'(x)>0，则φ(x)在当x∈(1,+∞)时，φ'(x)<0，则故a≤1时满足题意，所以a的最大值为1．故选：B．7（多选）（25-26高三上·福建龙岩·期中）已知函数fx的定义域为R，满足fx+fx+4=2f-2，函数y=fx+2A．fx是偶函数 B．C．f3>f2【答案】ABD【分析】由函数奇偶性的定义和判定方法，可判定，可判定A正确；推得fx=fx+8，得到fx的周期为8，可判定B正确；根据函数单调性，结合对数的运算法则，可判定C错误；令gx=tanx-x,x∈0,1，求得g'x>0，得到函数的单调性，得到tan1【详解】对于A，因为y=fx+2为奇函数，所以y=fx关于点则f4+x+f-x又因为fx+fx+4=2f-2则fx+fx+4=0，所以f-x对于B，由fx+4+fx+8=0，则fx的周期为8，所以f2026=f对于C，由y=fx在2,4上单调递增，可得f2log对于D，令gx=tan所以gx在0,1上单调递增，所以g12>g0令hx=x-lnx+1，所以hx在0,+∞上递增，所以h12>h所以0<ln32<tan12<2故选：ABD.8（2025高三·全国·专题练习）已知函数fx=lnx+a-1【答案】当a<0时，函数单调递增区间为0,a-1a；当0≤a≤1时，函数单调递增区间为R；当a>1【分析】求导，按a<0，0≤a≤1，a>1讨论即可.【详解】函数fx的导函数f①a<0，若x∈0,a-1a，f'x所以函数在0,a-1a上单调递增，在②0≤a≤1，f'x>0，此时函数f③a>1，若x∈0,a-1a，f'x此时函数fx在0,a-1a综上所述：当a<0时，函数单调递增区间为0,a-1a；当0≤a≤1时，函数单