5.3.2 函数的极值与最大(小)值(3知识点+10考点+过关检测)(解析版)-2026《寒假自学课-高二数学》人教A

5.3.2函数的极值与最大（小）值内容导航——预习三步曲第一步：导串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握第二步：学析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习练考点强知识：核心题型举一反三精准练第三步：测过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升知识点1：极值的概念若在点x=a附近的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0,则a称为函数y=f(x)的极小值点，若在点x=b附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，则b称为函数y=f(x)的极大值点，极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．解释①把函数图象看成一座“山脉”，极大值就是“山峰”，极小值就是“山谷”，如下图；②极值是“函数值y”，极值点是“自变量x值”，如下图有极大值f-1和f(1)，极小值f-2和f(2)，极大值点-1和1，极小值点-2和③极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质；④对于极值还有特别强调一下，看例题：设x0是函数y=fxA.必有f'x0=0C.f'x0=0或f'解析：函数fxf'但x<0时，f'x>0故根据极值的定义，0不是函数fx=又如函数gx当x<0时，g'x=-1<0；当x>0所以gx在x=0处取到极值，但在导数不存在；故选C总结①若fx可导，且x0是②若x0是f'x=0③定义很重要.（24-25高二下·重庆·期中）函数y=fx的导函数y=f'A．y=fx在区间-2,-1B．y=fx在区间-1,1C．-3是函数y=fxD．-1是函数y=fx【答案】B【分析】利用导数图象分析函数fx的单调性，结合极值点的定义判断即可【详解】对于A选项，当-2<x<-1时，f'x>0，故函数y=fx在区间对于B选项，当-1<x<1时，f'x>0，故函数y=fx在区间对于C选项，当x<-3时，f'x<0，当-3<x<-1所以，函数fx在-∞,-3所以，-3是函数y=fx的极小值点，C对于D选项，函数y=fx在区间-2,-1上单调递增，在区间-1,1故-1不是函数y=fx的极值点，D错故选：B.知识点2：求函数的极值的方法解方程f'(x)=0，当(1)如果在x0附近的左侧f'(x)>0，右侧f(2)如果在x0附近的左侧f'(x)<0，右侧（2025·河南新乡·三模）已知函数fx=x3-3x+a的极小值为6A．8 B．6 C．4 D．2【答案】A【分析】由已知得f'x=3x2-3，令f【详解】由已知得f'x=3x2当x∈-1,1时，f当x∈-∞,-1或x∈所以fx的极小值为f1=a-2=6故选：A.知识点3：函数y=f(x(1)求函数y=f(x)在(a,b)内的极值；(2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．解释(1)极大值不一定是最大值，极小值不一定是最小值.(2)一般地，如果在区间[a，b]（24-25高二下·河南新乡·期中）已知直线x=a与函数fx=ex，gx=x的图象分别交于点A、B，当A．0 B．1 C．e D．1【答案】A【分析】令函数hx=fx-gx=【详解】由题意可得AB=令函数hx=fx由h'x<0可得x<0，由h所以，函数hx在-∞,0所以，hxmin=h0=1，即AB故选：A.题型一：函数极值或极值点的辨析例1．（24-25高二下·广西桂林·期末）已知函数fx的导函数f'x=xA．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】求出f'【详解】由f'(x)=0得x1=xx<0或0<x<1时，f'(x)>0，0<x<1或x>2时，f'(x)>0，1<x<2时，f'(x)<0，因此故选：C．【变式1-1】（24-25高二下·甘肃武威·月考）已知函数fx在x=x0A．导数为零的点一定是极值点B．如果在x=x0附近的左侧f'x>0C．如果在x=x0附近的左侧f'x>0D．如果在x=x0附近的左侧f'x<0【答案】B【分析】用极值点的定义判断A选项，用极大值和极小值的定义来判断BCD选项【详解】导数为0的点不一定是极值点，还要满足导函数在这一点的左侧与右侧的函数值异号，故A错误；根据极值的概念，在x=x0附近的左侧f'x>0，函数单调递增；在x=x0附近的右侧f故选：B【变式1-2】（24-25高二·全国·课后作业）下列说法正确的是（

）A．当f'(x0)=0时，则f(B．当f'(x0)=0时，则f(C．当f'(x0)=0时，则f(D．当f(x0)为f(x)的极值且【答案】D【分析】由导函数及极值定义得解.【详解】不妨设函数f(x)=x3由导数求极值的方法知当f(x0)为f(x)的极值且故选：D【点睛】本题考查导数求函数极值,属于基础题.【变式1-3】（23-24高二下·江苏南通·月考）函数fx=eA．偶函数，且没有极值点 B．偶函数，且有一个极值点C．奇函数，且没有极值点 D．奇函数，且有一个极值点【答案】B【分析】根据函数图象结合极值点的定义即可得出结论.【详解】画出f(x)的图象，函数f(x)是偶函数，且函数fx在-∞,0所以函数f(x)有一个极大值点.故选：B.题型二：函数图像与极值的关系例2.（24-25高二下·广东深圳·期中）已知函数fx的导函数f'x的图象如图所示，则下列判断正确的是A．函数fx有四个极值点 B．2, fC．函数fx在-1, 1上单调递增 D．函数f【答案】D【分析】根据导函数的图象得出导函数的符号分别情况，进而可的出函数的单调区间，从而可得出极值点，即可得解.【详解】由图可知，x∈-3,-2,x∈0,2所以函数fx在-3,-2和0,2x∈-2,0,x∈2,4所以函数fx在-2,0和2,4所以函数fx的极大值点为-2,2，极小值点为0故ABC错误，D正确.故选：D.【变式2-1】（24-25高二下·广东东莞·月考）已知函数fx，其导函数f'x

A．fx有2个极值点 B．fx在C．fx有极大值，没有极小值 D．fx在【答案】C【分析】根据导函数的图象得出导函数的符号分布情况，进而可得出函数的单调区间，再根据极值的定义即可得解.【详解】由导函数f'当x<3时，f'x≥0，仅x=1时，f'x所以函数fx在-∞,3所以函数fx只有x=3所以fx故ABD错误，C正确.故选：C.【变式2-2】（24-25高二下·福建厦门·月考）已知函数f(x)的定义域为R，其导函数为f'(x),fA．f(x)在(3,+∞)上单调递增 B．f(x)C．f(x)的一个极大值点为-1 D．f(x)在(1,3)上单调递减【答案】D【分析】根据给定的部分图象，逐项分析判断.【详解】对于A，由f'(x)的部分图象并不能确定f'(x)>0在对于B，由图只能得出f(x)的部分区间单调性，最大值不一定为f(1)，B错误；对于C，由图知f'(-1)=0，且f'(x)在x=-1左右两侧左负右正，f(-1)为f(x)的一个极小值，f(x)的一个极小值点为对于D，当x∈(1,3)时，f'(x)<0，因此f(x)在(1,3)上单调递减，D故选：D【变式2-3】（25-26高三上·湖南常德·开学考试）函数y=fx的导函数y=f'A．-3是函数y=fxB．-1是函数y=fxC．-2是函数y=fxD．函数y=fx在区间-3,1【答案】D【分析】由图可知为导函数y=f'【详解】根据导函数的图像可知，当x∈(-∞,-3)时，f'(x)<0，当所以函数y=f(x)在(-∞,-3)上单调递减，在可知-3是函数y=f(x)的极值点，不足以说明-3是函数y=fx零点因为函数y=f(x)在(-3,-1)上单调递增，可知-1不是函数y=f(x)的极小值点，-2也不是函数y=f(x)的极大值点，所以ABC不正确，故D正确.故选：D.题型三：求不含参已知函数的极值例3.（24-25高二下·北京平谷·期末）已知函数fx(1)求曲线y=fx在点1,f(2)求函数fx【答案】(1)y=2x-3(2)极大值为1e2【分析】（1）对函数求导，可得到切线的斜率，然后根据点的坐标即可求出切线方程.（2）对函数求导，根据定义域确定函数的单调性，从而确定极值点和极值.【详解】（1）因为fx=ln所以切线斜率为f'1=所以曲线在点1,-1处的切线方程为y+1=2x-1，即y=2x-3（2）令f'x=0，则2-因为f'x=2-lnxx2，当所以函数fx在0,e2所以函数fx在x=e2所以函数fx的极大值为1e【变式3-1】（25-26高三上·云南·月考）函数fx=x+2A．-1 B．0 C．2 D．4【答案】B【分析】利用导数分析函数fx的单调性，由此可求得函数fx【详解】由fx可得f'当x<-1时，f'x>0，f当-1<x<1时，f'x<0，f当x>1时，f'x>0，f所以fx的极小值为f故选：B．【变式3-2】（24-25高二下·湖北恩施·期末）已知函数fx=sinx+1A．极大值为32+π3，无极小值C．极大值为12+π3，无极小值【答案】A【分析】对fx求导，令f'x>0，f'x【详解】f'x=cosx+x∈(0,2π3)，f'x>0，f因此，fx在x=2π3故选：A.【变式3-3】（24-25高二下·广东揭阳·月考）对于函数fx=lnA．fx在x=e处取得极大值1e BC．f2<fπ<f3【答案】B【分析】对函数fx求导得出其单调性，可判断A正确，画出函数图象可判断B错误，结合函数fx在e,+∞上单调递减以及f2=f4可判断C【详解】易知函数fx=ln可得f'令f'x=0因此当x∈0,e时，f'x>0当x∈e,+∞时，f'x<0对于A，因此可得fx在x=e处取得极大值fe对于B，易知f1当x∈0,1时，fx<0；当x∈由图可知fx有且仅有一个零点，即B对于C，易知f2又因为fx在e,+∞上单调递减，易知所以f4=f2对于D，若fx<k-1x恒成立，即lnx记gx=ln当x∈0,1时，g'x>0，此时当x∈1,+∞时，g'x<0可得gx在x=1处取得极大值，也是最大值g若k>lnx+1x在0,+∞上恒成立，可得k>lnx+1故选：B题型四：根据极值求参数例4.1（25-26高三上·陕西咸阳·月考）已知函数f(x)=x3+2ax2+aA．-1或-3 B．-1 C．1 D．-3【答案】B【分析】由f'1=0求得a=-1或a=-3，再分别代入验证极值确定【详解】由题意得f'(x)=3x2+4ax+则f'(1)=3+4a+a2=0当a=-1时，f'(x)=3x2-4x+1=(3x-1)(x-1)，令f当x∈13,1时，f'(x)<0当x∈(1,+∞)时，f'(x)>0，则在x=1处取得极小值，故a=-1符合；当a=-3时，f'(x)=3x2-12x+9=3(x-3)(x-1)，令f当x∈(-∞,1)时，f'(x)>0，当x∈(1,3)时，f'(x)<0，f(x)在则在x=1处取得极大值，故a=-3不符合，所以a=-1．故选：B.例4.2（25-26高三上·重庆北碚·月考）若函数f(x)=-12sin2x+sinx-ax在(0,πA．(-2,0] B．(0,98) C．(0,【答案】B【分析】对函数求导，问题化为导函数在(0,π)上有两个变号零点，令t=cosx，y=a与y=-2【详解】由题设f'(x)=-cos又f(x)在(0,π)上有两个极值点，即f'令t=cosx在x∈(0,π根据二次函数性质知只需y=a与y=-2t2+t+1所以y=-2t2+t+1=-2(t-1所以，在t∈(-1,14)上y∈(-2,98综上，y=a与y=-2t2+t+1故选：B【变式4-1】（24-25高二下·河北承德·期中）已知函数f(x)=x3+ax2+3x-1在A．(-3,3) B．[-3,3]C．(-∞,-3)∪(3,+∞【答案】C【分析】将f(x)在R上存在极值，转化为f'(x)在R上有变号零点，再利用二次方程的判别式大于0【详解】f'因为f(x)在R上存在极值，所以f'(x)在所以方程3x故Δ=4a2-36>0，解得故选：C.【变式4-2】（24-25高二下·四川成都·月考）已知函数fx=ax2+blnx在x=1A．-6 B．6 C．2 D．-2【答案】B【分析】根据函数fx=ax2+blnx在【详解】f'因为函数fx=ax2+b所以f1=2f'1则f'故当0<x<1时，f'x<0，当x>1所以函数fx=ax所以a=2,b=-4，所以a-b=6.故选：B【变式4-3】（25-26高三上·河北沧州·月考）若函数fx=lnx-mx-1A．-∞,-1C．-∞,-2 D【答案】C【分析】求得f'x=-2mx2+2mx+1x，根据题意，转化为12m=x2【详解】由函数fx=lnx-mx-1因为函数fx恰有两个极值点，即-2mx2显然m≠0，即12m=x即y=12m与y=x又由y=x2-x对应的抛物线开口向上，且对称轴为x=如图所示，可得-14<12m<0，解得故选：C.题型五：求含参函数的极值例5.（25-26高三上·福建厦门·月考）已知函数f(x)=x讨论f(x)的单调区间和极值.【答案】答案见解析【分析】先求f'(x)【详解】函数f(x)的定义域为(0,+∞f'（ⅰ）当a≤0时，f'(x)>0，所以f(x)在(0,+（ⅱ）当a>0时，令f'(x)<0，得令f'(x)>0，得∴f(x)在(0,a)上单调递减，在∴f(x)在x=af(a综上，当a≤0时，f(x)在(0,+∞当a>0时，f(x)在(0,a)上单调递减，在极小值为-a-alna【变式5-1】（25-26高三上·山西大同·月考）已知函数f讨论函数fx的单调性并求极值【答案】答案见解析【分析】利用导数并讨论参数a的范围研究导数的符号，即可判断单调性，据此求极值；【详解】函数fx=ex-ax的定义域为R当a≤0时，f'(x)>0，所以函数f(x)在当a>0时，令f'(x)=0，解得x=当x∈-∞,lna时，f'(x)<0当x∈lna,+∞时，f'(x)>0所以fx有极小值f综上所述，当a≤0时，函数f(x)在R上单调递增，无极值；当a>0时，函数f(x)在(-∞,lna)上单调递减，在【变式5-2】（25-26高三上·黑龙江·月考）已知函数f(x)=(x+a)lnx，(1)若a=2，求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程；(2)若f'(x)为函数f(x)的导函数，讨论函数【答案】(1)3x-y-3=0(2)当a≤0时，函数f'(x)在当a>0时，函数f'(x)在x=a处取得极小值ln【分析】（1）对函数f(x)求导，求出曲线y=f(x)在切点处的切线斜率及切点坐标，代入直线方程求解.（2）求出函数f(x)的导函数，明确函数的定义域，对导函数再次求导，利用倒数的符号变化判断单调性，进而确定极值.【详解】（1）当a=2时，f(x)=(x+2)lnx，所以f'所以f'(1)=3，又则曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y-0=3(x-1)，即3x-y-3=0.（2）因为f(x)=(x+a)lnx，所以f'(x)=ln令g(x)=f'(x)=则g'(x)=1当a≤0时，g'(x)>0，函数g(x)在此时函数g(x)在(0,+∞当a>0时，令g'(x)=x-a当x∈(0,a)时，g'(x)<0，此时函数g(x)在当x∈(a,+∞)时，g'(x)>0，此时函数所以当x=a时，函数g(x)取得极小值g(a)=lna+2综上，当a≤0时，函数f'(x)在当a>0时，函数f'(x)在x=a处取得极小值ln【变式5-3】（25-26高三上·天津·月考）已知函数f(x)=x-asin(1)当a=m=1时，求曲线y=f(x)在x=π(2)讨论函数y=g(x)的极值；【答案】(1)2+(2)答案见解析【分析】(1)根据导数的几何意义即可求解；(2)利用导数判断函数的单调性，结合极值定义即可求解；【详解】（1）当a=m=1时，f(x)=x-sin所以f'所以f'所以曲线y=f(x)在x=π处的切线斜率为2+（2）g(x)=x-asin所以g'当m≥0时，x>0，x+m>0，所以g'(x)>0，所以g(x)在当m<0时，令g'(x)=0，解得当x∈0,-m时，g当x∈-m,+∞时，所以g(x)在0,-m上单调递减，在-m,+∞g(-m)=-m+mln所以g(x)在x=-m处取得极小值为-m+mln综上：当m≥0时，g(x)无极值，当m<0时，g(x)有极小值为-m+mln(-m)题型六：函数最值与极值的辨析例6.（23-24高二上·安徽六安·期末）已知函数y=f(x)为连续可导函数，y=(x+1)f'(x)A．f(-1)是函数的最小值B．f(-3)是函数的极小值C．y=f(x)在区间(-3,1)上单调递增D．y=f(x)在x=0处的切线的斜率大于0【答案】D【分析】根据图象得到fx的单调性，并结合极值的定义和导数的几何意义求出答案【详解】C选项，由图象可看出当x>-1时，(x+1)f当-3<x<-1时，(x+1)f当x<-3时，(x+1)f当x=-3时，(-3+1)f故fx在-∞,-3上单调递增，在-3,-1上单调递减，在-1,+A选项，f(-1)是函数fx的极小值，但无法确定是不是最小值，AB选项，f(-3)是函数的极大值，B错误；D选项，由于(0+1)f'(0)>0⇒f'(0)>0，故y=f(x)在x=0故选：D【变式6-1】（24-25高二下·全国·课前预习）连续函数y=fx在a,b上（

A．极大值一定比极小值大B．极大值一定是最大值C．最大值一定是极大值D．最大值一定大于极小值【答案】D【详解】由函数的最值与极值的概念可知，y＝f(x)在[a，b]上的最大值一定大于极小值.【变式6-2】（23-24高二下·广东湛江·月考）已知函数y=fx定义域为-1,2，且在该区间上连续，在-1,2上函数y=fx有唯一的极大值f1A．函数fx有最大值B．函数fx有最大值，但不一定是C．函数fx的最小值也可能是D．函数fx【答案】D【分析】根据函数的极值与最值的定义即可求解.【详解】函数y=fx定义域为-1,2则当x趋近于-1或2时，若fx此时函数fx没有最大值，故AB错误，D因为函数y=fx有唯一的极大值f所以在x=1附近，函数值小于f1所以函数fx的最小值不可能是f1，故C故选：D.【点睛】关键点点睛：区分函数的极值和最值是解决本题的关键.【变式6-3】（24-25高二下·北京·期中）已知定义在R上的函数fx的导函数f'xA．-1是fxB．fx在区间-C．-3是fx在区间-4,1D．曲线y=fx在点0,f【答案】C【分析】根据导函数的正负，可确定fx的单调性，即可结合极值和选项逐一求解【详解】由f'x的图象可知：当x<-3时，f'x<0故fx在-∞,-3故x=-3是函数fx的极小值点，也是-4,1上的最小值点，故A错误，B错误，C由图可知：f'0>0，因此曲线y=fx在点故选：C题型七：求不含参已知函数的最值例7.1（25-26高三上·重庆沙坪坝·开学考试）函数fx=exA．1e B．1 C．e D．【答案】C【分析】利用导数判断函数的单调性后可得函数的最小值.【详解】f'设sx=x故sx为0,+∞上的增函数，而s1故当0<x<1时，sx<0即f'x<0，当x>1故fx在0,1上为减函数，在1,+∞上为增函数，故故选：C.例7.2（重庆市2026届高三上学期七校联考数学试卷）已知函数fx(1)求fx在x=1(2)当x∈14,2时，求【答案】(1)2x-y+2=0(2)最大值为-ln2+2【分析】（1）求出f1（2）利用导数判断出函数在14,2上的单调性，再利用单调性结合给定区间求出f【详解】（1）依题意，f'x=-1x又f1=-ln故所求切线方程为：y-4=2x-1，即2x-y+2=0（2）由f'当x∈14,2时，f'x故当x=14时，fx当x=2时，fx取到最大值为f故fx在区间14,2上的最大值为-【变式7-1】（25-26高二·全国·假期作业）函数fx=x3-3xA．1,-1 B．2,-2 C．4,-14 D．4,-4【答案】B【分析】求出导函数，即可求出单调区间，从而求出极值与端点处的函数值，即可求出函数的最值.【详解】因为fx=x3-3x，所以f又当-2<x<-1或1<x<2时f'x>0，当-1<x<1所以fx在-2,-1，1,2上单调递增，在-1,1又因为f-2=-2,f-1故fxmax=2故选：B【变式7-2】（24-25高二下·江西九江·期末）已知函数fx=xcosx-sinx，若存在实数x∈0,2A．-π B．2π C．-1 D．【答案】A【分析】利用导数求出函数在x∈0,2π【详解】由fx=xcos当x∈0,π时，f'x<0当x∈π,2π时，f'x>0，故故当x∈0,2π时，而存在实数x∈0,2π，使得fx即实数t的最小值是-π故选：A【变式7-3】（2025高三·全国·专题练习）若当x>0时，ax-lnx-2≥0，则aA．e2,+∞ B．4,e2 C【答案】C【分析】利用换元法将x用t进行替换，再利用参变量分离将问题转化为求最大值的问题，再利用导数求最值即可.【详解】令t=x，t>0，则ax-lnx-2≥0可转化为令ft=2当0<t<1时，f'(t)>0，当t>1时，所以ft在0,1单调递增，在1,+故ft所以a≥2，解得a≥4则a的取值范围是4,+∞故选：C．【变式7-4】（2025·广东·模拟预测）已知函数f(x)=x(1)求曲线y=f(x)在点(e(2)证明：f(x)≤1；(3)证明：3e【答案】(1)y=(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）由题意求出f(e)的值，求导可得f（2）令f'(x)=0，求得极值点，分别讨论x∈(0,1)和x∈(1,+∞)时，f（3）由（2）得f(x)≤f(1)=1，对任意x∈(0,+∞)恒成立，则1=f(1)>f(【详解】（1）由题意得f(e)=又f'(x)=2x-2x2故曲线y=f(x)在点(e,f(e整理得y=2（2）由（1）得f'(x)=2x(1-x-3xln令f'(x)=0，解得当x∈(0,1)时，1-x>0，-3xlnx>0，故f'(x)>0当x∈(1,+∞)时，1-x<0，-3xlnx<0，故f故f(x)≤f(1)=1．（3）由（2）得f(x)≤f(1)=1，对任意x∈(0,+∞所以1=f(1)>f(3e故3e题型八：由函数的最值求参数例8.（24-25高二下·云南昆明·期中）已知函数f(x)=x+4x+3lnx在(0,2-3a)A．1e B．12 C．13【答案】D【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，求出函数的极小值点，进而求出a的范围即可.【详解】函数f(x)=x+4x+3lnx当0<x<1时，f'(x)<0，当x>1时，函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，函数f(x)在又函数f(x)在(0,2-3a)内有最小值，则1<2-3a，解得a<1所以实数a的取值可以是14故选：D【变式8-1】（24-25高二下·江西·月考）已知f'x是函数fx=ex+ax+ca,c∈R的导函数，若f'0=3A．1 B．-1 C．3+e D．【答案】D【分析】求出函数的导函数，由f'0=3求出a的值，即可得到函数在0,1上的单调性，从而求出【详解】因为fx=e所以f'0=e0+a=3，解得所以当x∈0,1时f'x>0，所以所以f1=e故选：D【变式8-2】（24-25高三上·贵州贵阳·月考）已知函数f(x)=alnx+bx，当x=1时，函数取得最大值-2，则A．-2ln2 B．lnC．2ln2 D【答案】D【分析】根据题设有f(1)=-2、f'(1)=0【详解】由题设f(1)=b=-2，故f(x)=alnx-2所以f'(x)=ax+此时f(x)=-2lnx-2所以，0<x<1时f'(x)>0，f(x)在x>1时f'(x)<0，f(x)在故x=1处f(x)为极大值，也是最大值，满足题设；所以f(2)=-2ln故选：D【变式8-3】（四川省德阳市2026届高三第一次诊断考试数学试题）已知函数fx=ax+1（a>0，且a≠1），函数gx的图象与(1)求gx(2)若hx=x-gx的最小值是2【答案】(1)g(2)a=【分析】（1）由指数函数和对数函数的关系即可直接得解；（2）先由题设分析得到a>1，再利用导数工具研究函数hx=x+1-loga【详解】（1）依题意得gx（2）由题hx=x+1-log当0<a<1时，y=-logax为增函数，所以函数hx在则函数hx无最小值，不符合，所以a>1所以h'x=1-所以x∈0,1lna时h'所以函数hx在0,1ln所以hxmin=h1ln综上所述，a=e题型九：求含参函数的最值例9.（22-23高三上·北京东城·开学考试）设函数f(x)=(1)当a=1时，求函数f(x)在x=0处的切线方程；(2)当a=2时，求证：f(x)>0(3)当a>1时，求函数f(x)在[0,1]上的最小值【答案】(1)y=1(2)证明过程见解析(3)答案见解析【分析】（1）求出f(0)=1，f'（2）求导得到函数单调性，极值和最值，证明出结论；（3）求导，分1<a<e和a≥e两种情况，求出函数在[0,1]【详解】（1）当a=1时，f(x)=ex-x又f'(x)=e所以函数f(x)在x=0处的切线方程为y=1；（2）当a=2时，f(x)=ex-2x当x>ln2时，f'(x)>0，当故f(x)=ex-2x在-故f(x)=ex-2x且f(ln故f(x)>0在R上恒成立.（3）f(x)=ef'(x)=e令f'(x)=ex-a>0，解得x>当1<a<e时，lna∈0,1，故fx在此时fx在x=故f(x)在[0,1]上的最小值为fln当a≥e时，lna≥1，故fx此时f(x)在[0,1]上的最小值为f综上：当1<a<e时，f(x)在[0,1]上的最小值为a-a当a≥e时，f(x)在[0,1]上的最小值为e【变式9-1】（24-25高二下·河南商丘·月考）已知函数fx(1)当a=-1时，求函数fx的图象在x=1(2)当a<0时，求函数fx在区间-1,0上的值域【答案】(1)12x-y-6=0(2)答案见解析【分析】（1）求出切点坐标，利用导数求出切线斜率，再用点斜式写出切线方程，从而得解；（2）求导，对a分类讨论，判断fx在区间-1,0上的单调性，进而计算可求得值域【详解】（1）当a=-1时，由fx=2x由fx=2x3-3a所以切线方程为y-6=12(x-1)，即12x-y-6=0；（2）由fx=2x令f'x=0，可得x=0当a≤-1时，由二次函数性质可知x∈-1,0，f所以fx在-1,0上单调递减，又ff0=2×0当-1<a<0时，由二次函数性质可知x∈-1,a，f'x>0，所以函数fx在区间-1,0上的最大值为f又f-1=-1-3a，若-23≤a<0所以函数fx在区间-1,0上的最小值为f-1=-1-3a若-1<a<-23时，所以函数fx在区间-1,0上的最小值为f0=1综上所述：当a≤-1时，函数fx在区间-1,0上的值域为1,-1-3a当-1<a<-23时，函数fx在区间-1,0当-23≤a<0时，函数fx在区间【变式9-2】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知函数fx(1)当a=1时，求fx在0,f(2)讨论fx的单调性，并求最值【答案】(1)y=2x+2(2)答案见解析【分析】（1）通过求导得到切线斜率，利用点斜式即可求得切线方程；（2）将函数求导后，根据参数a分类讨论函数的单调性，即可判断求解函数的最值.【详解】（1）当a=1时，fx=e则f0=2，则fx在0,f0处的切线方程：y-2=2x-0（2）由fx=ex①当a≥0时，f'x>0在R上恒成立，故f②当a<0时，由f'(x)=0，解得当x<ln-a时，f'x<0当x>ln-a时，f'x>0所以fx在x=ln-a有最小值，为f【变式9-3】（23-24高二上·江苏·课前预习）（1）求函数fx（2）求函数fx=x（3）已知a为常数，求函数fx【答案】（1）最小值0；最大值π；（2）最大值为12e-1【分析】（1）（2）求导判单调性求得最值；（3）求导，分a≤0，0<a<1，a≥1三种情况判单调性求最大值【详解】（1）f'x=12解得x=2π3或当x变化时，f'x，x00,2π2π4π4π2f＋0－0＋f0↗π↘2π↗π由表可知，当x=0时，fx有最小值f0=0；当x=2π时，（2）由题意知fx的定义域为Rf'x=1-2x当x<12时，f'x>0，fx单调递增；当故函数fx的最大值为f（3）f'若a≤0,则f'x≤0∴当x=0时，fx有最大值f若a>0，则令f'x=0，解得x=±a．∵x∈0,1①若0<a<1，即（如下表所示）x00,aa1f+0-f0↗2a↘3a-1则当x=a时，fx②若a≥1，即a≥1则当0≤x≤1时，f'x≥0，函数f∴当x=1时，fx有最大值f综上可知，当a≤0，x=0时，fx有最大值0当0<a<1，x=a时，fx当a≥1，x=1时，fx有最大值3a-1题型十：函数单调性、极值与最值的综合应用例10.1（2025·重庆·模拟预测）已知m>0，若函数fx=mex-A．0,1e B．0,12 C．【答案】C【分析】由题意得mex+ln(mex【详解】由fx=mex故me即m即m令g(x)=x+lnx(x>0),由于g'(x)=1+1故g(x)=x+lnx(x>0)在故由g(mex即m=x+1exh'由h'(x)=0，得当-1<x<0时，h'当x>0时，h'故h(x)max=h(0)=1e0由此可得出h(x)=x+1由题意要求函数fx=mex-由图可得：0<m<1．故选：C．例10.2（25-26高三上·北京·月考）已知函数fx(1)求曲线y=fx在点0,f(2)求证：fx(3)求fx的零点个数【答案】(1)y=1(2)证明见解析(3)1【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得；（2）求导后结合零点存在性定理分析可得函数单调性，即可得其极值情况；（3）结合函数单调性与零点存在性定理分析即可得.【详解】（1）f'则f'0=0则曲线y=fx在点0,f0处的切线方程为y=0⋅x-0（2）f'令gx=3x+cos故gx在R又g-1=-3+cos故存在x0∈-1,0当x<x0时，gx<0，当则当x∈-∞,x0∪0,+故fx在-∞,x0故x0是f（3）由（2）得fx在-∞,x0则fx又f-故fx在-π,0故fx的零点个数为1【变式10-1】（25-26高三上·贵州贵阳·开学考试）已知函数fx=x+1x-1+a，A．-1，0 BC．0，1 D【答案】A【分析】当x>1时，整理函数解析式后利用基本不等式，即得f(x)的取值范围，当x≤1时，利用导数求得f(x)的取值范围，再由f(x)的值域为R，得到不等式，解之即得.【详解】当x>1时，f(x)=x+≥2(x-1)×当且仅当x-1=1x-1，即即x>1时，f(x)∈a+3,+当x≤1时，f(x)=2x3-6x-令f'(x)=0，解得x=-1或当x∈(-∞,-1)时，f'(x)>0，则当x∈(-1,1)时，f'(x)<0，则f(x)在故f(x)在x=-1处取得极大值，也是最大值，为f(-1)=2×(-1)又当x→-∞时f(x)→-∞，所以x≤1时，由f(x)的值域为R，可得a+3≤3-a2，即a2故选：A【变式10-2】（2025高三·全国·专题练习）已知函数fx=-x2-2x,x≤0lnx,x>0函数gx=fxA．1,2 B．1,e C．0,1 D．【答案】D【分析】作出函数的图象先判定a的范围，再结合根与系数的关系得出x1⋅【详解】由题作出函数fx的图象如图所示，所以当-2≤x≤0时，拋物线的对称轴为x=-1，顶点-1,1若函数gx=fx不妨设x1<x则0≤-a<1，即-1<a≤0，当x≤0时，-x2-2x+a=0，即x当x>0时，由lnx3+a=0，得lnx3设ga=-ae则当-1<a≤0时，g'a≤0则g0=0,g-1=e即x1⋅x故选：D.【变式10-3】（23-24高三上·福建漳州·开学考试）已知直线y=kx+b是曲线y=x2-(a+1)的切线，也是曲线y=alnx-1A．2e B．4e C．2e【答案】A【分析】设直线y=kx+b与y=x2-(a+1)，y=alnx-1分别切于点Ax1,x1【详解】设直线y=kx+b与y=x2-(a+1)，y=a由y=x2-(a+1)，得y'=2x由导数的几何意义可得k=2x所以x1=a所以a22x所以a=-4x设f(x)=-4x2令f'(x)=0，解得当x∈0,e-12当x∈e-12,+所以f(x)的极大值为fe所以a=-4x22lnx故选：A【变式10-4】（25-26高三上·安徽·月考）已知m,n>0，满足lnm=enm-A．2ln2 B．2 C．2ln【答案】C【分析】由已知得mnlnmn=nen，令fx=xlnx，利用导数分析f【详解】由lnm=en设fx=xlnx，f∴fx在0,1e当x→0+时，fx∴x>1时，fx>0，0<x<1时，依题意，fmn=fe∵e∴mn=en，则∴ln设hx=2ln令h'x=0∴hx在0,2单调递增，在2,+∴hx的最大值为h故选：C.【变式10-5】（多选）（25-26高三上·山东济南·期中）已知函数f(x)=xex，g(x)=xlnA．函数f(x)与函数g(x)有相同的极小值B．若方程f(x)=a有唯一实根，则a的取值范围为a≥0C．若方程g(x)=m有两个不同的实根x1,D．当x1>0,x2>0【答案】ACD【分析】利用导数分别求出两个函数极小值判断A；根据条件求出a的范围判断B；利用方程根的意义，变形构造函数，利用导数借助单调性推理判断C；利用同构方法进行转化求解判断D.【详解】对于A，函数f(x)=xex定义域(-∞,+∞)，求导得当x>-1时，f'(x)>0，函数f(x)在(-∞函数f(x)在x=-1处取得极小值f(-1)=-1函数g(x)=xlnx定义域(0,+∞)，求导得g'当x>1e时，g'(x)>0，函数g(x)在函数g(x)在x=1e处取得极小值g(1对于B，由选项A知，f(x)min=f(-1)=-1e，则当a=-对于C，因为当x趋近于0时，gx趋近于0所以，由方程g(x)=m有两个不同的实根x1,x2，得由x1lnx1=m消去m得lnx1+lnx于是lnx1+令h(u)=lnu+ulnu-2u+2,0<u<1，求导得求导得φ'(u)=-1u2+1函数h(u)在(0,1)上单调递增，h(u)<h(1)=0，因此lnx1+ln对于D，x1>0,x2>0，由所以x1exlnx2>0，于是f(x1)=f(ln因此x1x2=故选：ACD【变式10-6】（2025·陕西西安·二模）已知函数fx=akx+a(1)当k=1时，证明fx(2)当k=2时，设hx=fx-2a(3)当a=e时，设fx的最小值为gk.证明：【答案】(1)证明见解析(2)1,+(3)证明见解析【分析】（1）利用恒等式，结合定义域来证明奇偶性；（2）利用指数函数的单调性求值域，再结合不等式恒成立思想，即可得参数范围；（3）利用导数判断单调性即可求最小值gk，再利用特殊值g1【详解】（1）当k=1时，fx=ax+且f-x=a（2）当k=2时，fx=a2x+a-x，因此h当a>1时，函数y=ax单调递增，当x∈1,2因为a4>a2当0<a<1时，函数y=ax单调递减，当x∈1,2因为a4<a2<1，所以a2x≥1（3）当a=e时，函数f令f'x=0即x=-lnkk+1，由于当x∈-∞,所以fx在-∞,即gk注意到g1=2，要证gk的最大值为2即证k-kk+1两边同时取自然对数，可得ln⇔k+1设函数mx则m'x=ln2+lnx-当x∈0,1时，m'x<0，当所以mx在0,1单调递减，在1,+∞单调递增，所以k+1lnk+1≤k+1综上所述，gk的最大值为1（24-25高三上·云南大理·开学考试）已知函数fx的导函数为f'x，若函数f'xA．x1 B．0 C．x2或x3【答案】D【分析】根据导函数的符号判断函数的单调性，判断函数的极小值点.【详解】由图可知，当x∈-∞,当x∈x1,x4时，f所以fx在-∞,x1从而fx的极小值点为x故选：D2（24-25高一下·北京·期末）下列函数中，存在极小值的是（

）A．y=lgx BC．y=2x D【答案】B【分析】对于AC，由指数函数、对数函数单调性判断即可；对于BD，求导判断函数单调性，进一步得极小值情况即可.【详解】对于AC，因为对数函数y=lgx、y=2对于B，y=xx-1x-2=y'=3x2-6x+2>0⇒x<1-所以y=xx-1x-2在-∞所以y=xx-1x-2在x=1+3对于D，对y=x+sinx求导得y'所以y=x+sinx是增函数，即y=x+故选：B.3（23-24高二上·江苏南通·期末）若函数fx的导数f'x=x-sinx，fxA．0 B．±2 C．±2 D．【答案】C【分析】由f'x=x-sinx，确定fx=12x【详解】因为函数fx的导数f'x=x-sin设g(x)=f'x=x-sinx，则即f'x=x-sinx故当x∈(-∞,0)时，f'x∈(0,+∞)时，f'所以fx在x=0处取得最小值，即fxmin所以fx=1令12x2-2=0，解得x=±2，所以故选：C.4（23-24高二下·四川遂宁·月考）若函数fx=x-3ex+1A．m<-1 B．m>2 C．-1<m<2 D．m<-1或m>2【答案】C【分析】借助导数研究函数单调性即可得其在何处取得最值，即可得解.【详解】f'则当x>2时，f'x>0，当x<2即fx在-∞,2即fx在x=2处取得最值，则有2m-2<2<3+m解得-1<m<2.故选：C.5（25-26高三上·西藏拉萨·月考）已知函数f(x)=axlnx-x3有两个极值点，则实数A．(1e,+∞) B．(3【答案】D【分析】求出函数f(x)的导数f'(x)，由f'(x)【详解】函数f(x)=axlnx-x3的定义域为由函数f(x)=axlnx-x3有两个极值点，得函数令g(x)=a(1+lnx)-3x当a≤0时，g'(x)<0，函数f'(x)在当a>0时，由g'(x)>0，得0<x<a6；由函数f'(x)在(0,a则f'(x)max=f'(a6当x→+∞时，f'(x)→-∞，因此当且仅当即lna6+12>0，解得故选：D6（25-26高一上·上海浦东新·月考）对于函数f(x)=x+1exA．f(x)有极大值，也有极小值 B．f(x)有极小值，没有极大值C．函数f(x)与y=-x+2的图象有两个交点 D．函数g(x)=f(x)-1【答案】D【分析】对函数f(x)求导，通过求导判断函数的单调性从而可知函数是否有极值判断AB；画出函数f(x)与y=-x+2的图象从而可判断交点个数可判断C；函数g(x)=f(x)-12023有两个零点价于函数f(x)与y=【详解】f(x)=x+1ex因为ex>0在x∈所以当x>0时，f'(x)<0，f(x)在当x<0时，f'(x)>0，f(x)在所以f(x)在x=0处有极大值，没有极小值，故A错误，B错误；根据f(x)的单调性，画出函数f(x)的图象，以及y=-x+2的图象，如图：由此可知，函数f(x)与y=-x+2的图象只有一个交点，故C错误；函数g(x)=f(x)-12023有两个零点等价于函数f(x)与因为f(x)在-∞,0单调递增，在0,+∞又x→+∞时，f(x)→0，当x<-1时，f(x)<0如下图所示：由此可知，函数f(x)与y=12023的图象有两个交点，即函数g(x)=f(x)-12023故选：D.7（2025高二·全国·专题练习）若f(x)=ex(2x-1)-ax+2a,a<12，若存在唯一的整数x0使得A．-32eC．1e,1【答案】C【分析】将存在唯一的整数x0，使得fx0<0，即ex2x-1<ax-2【详解】gx=ex(2x-1)，hx=ax-2a=ax-2g'