第五章 一元函数的导数及其应用(单元自测卷)(参考答案)-2026《寒假自学课-高二数学》人教A

第五章一元函数的导数及其应用单元自测卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.12345678CDDACCAA二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分91011ABACBCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分.12．1 13．①③ 14．14四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．【解答】解：(1)∵f(x)＝ex，∴f′(x)＝ex，∵P(x0，y0)是曲线f(x)＝ex上的动点，∴当x0＝1时，f′(1)＝e，……………..(2分)又f(1)＝e，∴当x＝1时，曲线在点P处的切线方程为y﹣e＝e(x﹣1)，即y＝ex；……………..(5分)(2)由A(1，0)，B(0，﹣1)可得，直线AB的方程为x﹣y﹣1＝0，设与直线AB平行且与曲线f(x)＝ex相切的直线方程为y＝x+b，切点为P，∴f'(x0)=ex0=1，解得则P的坐标为(0，1)时，△PAB面积最小，……………..(9分)∵|AB|=12+12=2，P到AB：x﹣y﹣∴△PAB面积的最小值为12×2×2=1，相应的P(0，1)．16．【解答】解：(Ⅰ)f'(x)＝9x2+a，根据函数f(x)在x＝1处取得极值﹣1，建立方程组f解得a＝﹣9，b＝5．……………..(6分)(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)＝3x3﹣9x+5f'(x)＝9x2﹣9＝9(x+1)(x﹣1)，令f'(x)＝0，解得x＝﹣1或x＝1．……………..(8分)当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表所示：x﹣2(﹣2，﹣1)﹣1(﹣1，1)1(1，2)2f'(x)+0﹣0+f(x)﹣1单调递增极大值11单调递减极小值﹣1单调递增11故：函数f(x)在区间[﹣2，2]上的最大值为11，最小值为﹣1．……………..(15分)17．【解答】解：(Ⅰ)当a＝﹣1时，f(其定义域为{x|x＜1，且x≠﹣1}．∴f'(x)=∴函数f(x)在(﹣∞，﹣3)，(0，1)为减函数，在(﹣3，﹣1)，(﹣1，0)为增函数．……………..(4分)(Ⅱ)解：(1)当a＝0时，f(x)＝ln(1﹣x)+x，f'∵x∈(﹣∞，0]，f'(x)≥0，函数f(x)在(﹣∞，0]增函数，故f(x)≤f(0)＝0，不合题意，所以a≠0．…(6分)(2)若a≠0时，f'①当a≥12时，2a-1a2≥0，x∈(﹣∞，0]时，f故f(x)在(﹣∞，0]为减函数，从而f(x)≥f(0)＝0恒成立．……………..(8分)②当0＜a＜函数f(x)在(-∞，2a-1a则在(2a-1a2，0)上存在x0，使f(x0)＜f(0)＝0，故不符合题意．…………③当a＜0时，∵2a-1a2-函数f(x)在(-∞，2a-1a2)则在(2a-1a2，1a)、(1a，0)上存在x0，使综上，a的取值范围是{a|a≥12}．……………..18．【解答】解：(1)当ω＝2时，f(x)＝sin(2x+φ)，因为f(π所以sin(π6+φ)＝0，即π6+φ=kπ，所以φ＝kπ-π6，k∈因为0＜φ＜π，所以φ=5π所以f(x)＝sin(2x+5π6)，……………..(3所以f'(x)＝2cos(2x+5π6所以f'(0)＝2cos5π6=-3，f(0)＝故函数f(x)在x＝0处的切线方程为y-12=-3(即23x+2y﹣1＝0．……………..(7分)(2)因为f(x)的最小正周期为3π，所以ω=2π所以f(x)＝sin(23x+φ)，……………..(8分因为f(x)=22在[π，4π)，[4π，7π)，[7π，10π)，…，[2023π，2026π)上各自恰有所以f(x)=22在[π，2026π)上恰有675×2＝所以f(x)=22在[0，π)恰有当x∈[0，π)时，23因为0＜φ＜π，所以若φ≤π4若π4＜φ＜π，则φ≤3π4＜φ+综上，φ∈(0，π12]∪(π419．【解答】解：(1)由题意g(x)=则g'因此函数g(x)在区间[0，故g(x)≥g(0)=-12，所以g(x)在区间[0，π2]上的最小值为(2)(i)证明：由条件知12两式相减得k(x不妨设x1＞x2，记h(x)＝sinx﹣x，x∈R，则h'(x)＝cosx﹣1≤0，等号成立当且仅当x＝2jπ(j∈Z)，h(x)在R上单调递减，因此sinx1﹣x1＜sinx2﹣x2，即sinx1-sinx2x1-x2以下证明：e2x-在①两边同时约去ex1+e记ti=eti＞0，i＝1，2上式化为t1-t记t=t1t记φ(x)=lnx-2(x-1)x+1，x∈[1，+∞)φ(x)在(1，+∞)上单调递增，故φ(t)＞φ(1)＝0，因此①成立，这样，k=sin即ex+ey＞2k-1，因此结论成立；(ii)鉴于y＝sinx的有界性，我们以a＝﹣1，a＝1为界分情形讨论，当a≤﹣1时，F(x)-12e2x+sinx＞0-1≥a，这时方程F(x当﹣1＜a≤1时，对k∈N，F(﹣2kπ-π2)=记k0=-ln[2(1+a)]+π4π，对非负整数kF(-故由零点存在性定理知，存在t1∈(-2kπ-3π2，-2kπ-π2)故这时方程F(x)＝a有无数多个解，﹣1＜a≤1不符合条件，当a＞1时，因为∀x∈(0，+∞)，F'(x)＝e2x+cosx＞1﹣1＝0，所以F(x)在(0，+∞)上单调递增，又F(0)=12＜故F(x)＝a在[0，+∞)上有唯一解，由F(x)＝a知2x＝ln2+ln(a﹣sinx)，记G(x)＝2x﹣ln2﹣ln(a﹣sinx)，x∈R，对G(x)的任一零点x0，由0＝G(x0)≥2x0﹣ln2﹣ln(a+1)，0＝G(x0)≤2x0﹣ln2﹣ln(a﹣1)，可得ln2+ln(a-1)2≤x0≤ln2+ln(a+1)2．记A=ln2+ln(a-1)则G(x)的零点都在区间[A，B]上，易知G'(x)=2a-2sinx+cosxa-sinx在区间(A(若零点存在，则满足sin(x-φ)=25a将这些零点从小到大依次记为a1＜a2＜⋯＜an(若零点不存在，则n＝0)，则G(x)在(A，a1)，(a1，a2)，…，(an，B)这n+1个区间(当n＝0时即为区间(A，B))上均为单调函数，故G(x)在[A，a1]，[a1，a2]，…，[an，B]这n+1个区间(当n＝0时即为区