素养拓展03 平面向量中的最值(范围)问题(思维导图+5知识点+五大考点+过关检测)(解析版)-2026《寒假自学课-高一数学》人教A

素养拓展03平面向量中的最值（范围）问题知识点1：利用函数的单调性解决平面向量中的最值（范围）问题以下是几种解决平面向量最值问题的方法：1、函数，当时，在单调递增；当时，在单调递减.2、二次函数，当时，在上单调递减，在上单调递增；当在上单调递增，在上单调递减.3、反比例函数，在，上单调递减；反比例函数，在，上单调递增.4、对勾函数的单调递增区间为，单调递减区间为，.5、判别式法：对于任意实数，不等式恒成立，即对于任意实数，不等式恒成立，将二次不等式恒成立问题转化为△.知识点2：利用不等式、几何关系解决平面向量中的最值（范围）问题1、基本不等式（1）基本不等式：≤，基本不等式成立的条件：a>0，b>0.当且仅当a＝b时取等号.利用基本不等式求最值①已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2.②已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2.（2）基本不等式链：若a＞0，b＞0，则≤≤≤.其中和分别叫做a，b的调和平均数和平方平均数.要根据题目需要选择合适的形式.2、利用平面几何知识（1）如图：，当且仅当三点共线时等号成立.（2）平面几何图形中的特殊点，动点与定点重合，动点是某线段的中点或与线段端点重合.对三角形而言，特殊点还可以是重心、内心或垂心.【题型一：有关数量积的】1．设均为单位向量，且，则的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由向量数量积的运算律和模长的计算求解即可.【详解】，即，则，所以.故选：C.2．（24-25高一下·江苏南通·月考）M是的边BC的中点，满足，若动点P在内部，则的最小值为（

）.A． B． C．1 D．0【答案】A【分析】设中点为，由，再根据向量的线性运算可解.【详解】设中点为，

，当，即点P在中点时取等号，故选：A.3．（24-25高一下·黑龙江绥化·期末）已知中，，，且的最小值为，若P为边上任意一点，则的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】依据题意可得与的夹角，然后表示，利用二次函数的性质计算即可.【详解】由题可知：设，则，，又的最小值为，则的最小值为3，所以当时，有，又，所以.设，则，所以，当时，有最小值为.故选：C4．（24-25高一下·河南南阳·月考）如图所示，在同一平面内，点在两平行直线的同侧，且点到直线的距离分别为1，3，点分别在直线上，，则的最大值为（

）A．15 B．13 C．12 D．10【答案】A【分析】建立适当的坐标系，利用坐标表示向量，根据，求出的解析式，再求其最大值.【详解】由点位于两平行直线同侧，且到的距离分别为1，3，可得平行线间的距离为2；以直线为轴，以过点且与直线垂直的直线为轴，建立坐标系，如图所示：由题意可得点，直线的方程为，设点，点，则，则，因，则，得，或；当时，，当时有最大值，最大值为；当时，，当时有最大值，最大值为；综上可得，的最大值为15.故选：A.5．（24-25高一下·江西景德镇·期中）在中，，，，点为边的中点，点在边上，则的最小值为.【答案】/0.8【分析】设，用表示，利用向量的数量积的运算律与二次函数的最值的求法可求解.【详解】点在边上，设，则，，因为点为边的中点，所以，所以，当且仅当时取等号.所以的最小值为.故答案为：.6．（24-25高一下·广东广州·期中）已知为的外接圆圆心，，则的最大值为.【答案】4【分析】利用圆的性质，得到，利用向量数量积的定义和运算律计算，再利用余弦函数的值域求最值.【详解】

如图，因为为的外接圆圆心，，所以，且，则，故当反向共线时，，取到最大值4.故答案为：4.7．（24-25高一下·广东云浮·期末）的内角的对边分别为，且，若外接圆的圆心为，则的最大值为.【答案】【分析】作，得到，在中，利用余弦定理和基本不等式，求得，即可求解.【详解】如图所示，作，垂足分别为，则，在中，由余弦定理得，当且仅当时，等号成立，所以，即.故答案为：.8．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）在中，已知，，，为线段的中点，为线段上一动点，则的最小值为.【答案】/【分析】易得，以点为原点，建立平面直角坐标系，再利用平面向量数量积的坐标表示计算即可.【详解】由，，，所以，所以，所以，如图，以点为原点，建立平面直角坐标系，则，设，则，故，，所以，当时，取得最小值，所以的最小值为.故答案为：.【题型二：有关模长的】1．已知为坐标原点，为单位向量，且，．若，存在最小值，则正数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】根据题意，由向量数量积的运算律以及模长公式可得，再由二次函数的图像性质，即可得到结果.【分析】因为，所以．又，，所以．令．由，可知为二次函数，其图像开口向上，要使，存在最小值，只需其图像的对称轴即可，解得．则正数的取值范围是.故选：D2．（24-25高一下·湖北·期末）已知向量满足：.则的最大值为（

）A．3 B． C．4 D．5【答案】B【分析】根据条件及不等式求最大值即可.【详解】因为，当且仅当时等号成立，所以的最大值为.故选：B3．（24-25高一下·浙江·期中）如图，为半圆的直径，点为的中点，点为线段上的一动点（含端点，）.若，则的取值范围是.【答案】【分析】由圆的性质得到，然后根据数量积的性质得到，最后根据的范围计算即可.【详解】因为点为的中点，，所以，，因为点为线段上的一动点，，所以，所以的取值范围是.故答案为：.4．（24-25高一下·河南洛阳·期末）已知向量，，满足，，，且，则的最小值为.【答案】/【分析】由题意可得，进而求得，可得，利用二次函数的性质可求最小值.【详解】由，可得，又，所以，所以，又，，所以，所以，所以，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.故答案为：.5．（2025高一·全国·专题练习）已知是平面向量，是单位向量，若满足，，，则的最小值是．【答案】【分析】由极化恒等式转化得，利用投影向量的模，通过，求得的范围即可．【详解】如图，取，因为，，所以可构造平行四边形，由投影向量的模可知的终点分别在垂直于的直线上，且，所以，．由极化恒等式可得，所以，即，当与同向时等号成立．故答案为：.6．（24-25高一下·辽宁·期中）在中，，，分别为的重心和外接圆圆心，则的最小值为.【答案】9【分析】取的中点为，把用表示，根据平面向量数量积的定义表示出，再根据投影向量的定义及平面向量数量积的几何意义即可求出的值，也就是的最小值.【详解】如图所示：取的中点为，则，所以，所以，所以，当且仅当，共线同向时取等号（此时为直角）.故答案为：9【题型三：有关夹角的】1．已知单位向量的夹角为，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】结合数量积定义计算即可得到，再由向量夹角取值范围即可得解.【详解】由题可得，又，所以.故选：B2．已知均为单位向量，且，则与的夹角的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由两边平方，根据平面向量数量积的运算性质可得，然后由向量夹角公式求解．【详解】因为均为单位向量，所以，由，得，则，则，即，则，因为，所以.则与的夹角的取值范围是.故选：D.3．（24-25高一下·江西上饶·期中）已知非零向量，的夹角为，且，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题意，由条件可得，然后令表示上式，根据题意列出不等式组计算即可.【详解】由，得，得，即．令，则关于的方程在上有解，得，得．因为，所以．故选：D.4．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考）若平面向量，，满足，，，，则，夹角的余弦值的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，则由题意可设，，有，再利用向量夹角公式与基本不等式计算即可得解.【详解】设，则由，，可设，，则，即，则，，当且仅当，即时等号成立，又，故.故选：A.5．（23-24高一下·四川绵阳·月考）已知，是平面内两个夹角为120°的单位向量，若且与的夹角为锐角，则实数k的取值范围是.【答案】【分析】根据向量夹角为锐角得到，再排除的情况，计算得到答案.【详解】因为与的夹角为锐角，所以，又因为，则，解得，当时，有，即，则有，解得，此时与方向相同，综上所述：且，实数k的取值范围是.故答案为：.6．（24-25高一下·辽宁沈阳·月考）若平面向量满足，则夹角余弦的最大值是．【答案】/【分析】利用向量的坐标运算，结合基本不等式即可求最大值.【详解】以为轴正方向上的单位向量建立平面直角坐标系，则，设则由，由，又由，所以，则当且仅当时，的最大值为，故答案为：.【题型四：有关系数的】1．在中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若（，），则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设，，当时，可得，从而有；当时，有，根据、、三点共线，可得，进而可得，从而即可求解.【详解】解：由题意，设，，当时，，所以，所以，从而有；当时，因为（，），所以，即，因为、、三点共线，所以，即.综上，的取值范围是.故选：C.2．（23-24高一下·安徽宿州·期中）在中，点满足，点在射线AD（不含点A）上移动，若则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设，利用向量的线性运算用表示，再代入求出范围即得.【详解】由点在射线（不含点）上，设，又，

则，于是，因此，所以的取值范围是.

故选：B3．（24-25高一下·山东济南·月考）如图，与的面积之比为2，点是内任意一点(含边界)，且，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分析可得当P在线段BC上运动时，B、P、C三点共线，此时有最小值，分别延迟AB、AC至，使，连接，根据三角形相似，分析可得当P位于D点时，有最大值，即可得答案.【详解】当点P在线段BC上运动时，此时B、P、C三点共线，因为，所以，此时为的最小值；分别延迟AB、AC至，使，连接，如图所示，因为，所以与相似，且相比为，因为与的面积之比为2，且，所以与的高之比为，即与高之比为，所以三点共线，当P位于D点时，，此时，即，此时为的最大值，所以当点在内（含边界）运动时，的取值范围为故选：A4．（24-25高一下·河南漯河·期末）如图，在中，，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，，则的最小值为．【答案】【分析】根据题意结合三点共线可得，再结合平面向量基本定理可得，利用乘“1”法结合基本不等式运算求解.【详解】因为三点共线，则，且，且，，即，，可得，又因为，则，可得，则，可得，显然，则，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.故答案为：.1．（24-25高一下·四川攀枝花·期末）设平面向量，，，，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】，可得．两边平方，结合，，得到，求出最小值为，因此的最小值为【详解】因为，所以，代入可得．因为，所以，两边平方得，又，故当时，取得最小值，因此的最小值为故选：C2．（24-25高一下·重庆·期末）在等腰梯形中，，，P是底边上的动点，则的最小值为（

）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】根据题设条件，建系，写出相关点的坐标，利用向量坐标的数量积运算将其化成二次函数，即可求得最值.【详解】根据题意，以A为原点，射线AB为x轴正半轴建立直角坐标系，如图所示，因，易推得，则，，设，其中，则，，于是，，故当时，取得最小值为.故答案为：D．3．（24-25高一下·四川绵阳·月考）中，是的中点，在线段上，且，则的最大值为（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】根据已知及向量共线的推论得，进而求的最大值即可.【详解】由是的中点得，所以，因为三点共线，所以，所以，当时，的最大值为1.故选：C4．（24-25高一下·北京朝阳·期末）青花瓷是中国瓷器的主流品种之一，常简称青花.图1就是一个青花瓷圆盘，该圆盘可看作两个圆心重合的圆（如图2），若大圆半径，小圆半径，点A在大圆上，点B在小圆上，，动点C满足，且，则的最大值为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知可得，令，代入可得，利用可求的最大值.【详解】因为，两边平方得，又，，，所以，令，则，所以，所以，所以，所以，解得，所以的最大值为.故选：B.5．（24-25高一下·福建厦门·期末）已知向量，满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】两边平方，得到，利用夹角余弦公式和基本不等式得到，从而求出正弦的最大值.【详解】因为，两边平方得，整理得，，当且仅当时等号成立，所以.故的最大值为.故选：D6．（24-25高一下·北京·月考）若均为单位向量，且，，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据数量积运算律化简得出，再根据数量积求解模长的最大值即可.【详解】因为均为单位向量，且，因为，所以，所以，则.则的最大值为.故选：B.7．（24-25高一下·河南·月考）在中，，是上一动点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先设，将用与表示出来，再根据向量数量积的运算律求出关于的表达式，最后根据二次函数的性质求出最小值.【详解】设，因为，所以.因为，所以.则，因为，.所以.令，这是一个二次函数，二次项系数，函数图象开口向上，对称轴为.因为，所以当时，取得最小值，.即的最小值为.故选：D.8．平面向量，满足，且，则与夹角的余弦值的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由两边平方得，根据两个向量夹角的余弦公式结合均值不等式求得结果.【详解】由，两边平方得，又，所以，所以，当且仅当时，取等号，所以与夹角的余弦值的最大值为.故选：A.9．（24-25高一下·江苏·期末）已知△ABC是边长为2的等边三角形，M是△ABC内一点，且，若，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，得到点及的坐标，进而得到向量坐标，由建立等式，得到点中的表达式，由点M在△ABC内部，得到及的范围，借助的范围把转化成关于的二次函数的最值问题求解即可.【详解】取的中点，以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系则.设，则.因为，且，所以)，且，即可得因为点在内部，所以可得，所以.因为，所以，所以当时，取最小值.故选：C10．（24-25高一下·广东深圳·期中）已知是边长为2的正八边形内的一点，为其中心，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先由正八边形的对称性和向量的运算法则将转化为，然后求出正八边形的内角大小，根据数量积的几何意义，将问题转化为求解的最值，结合图形可得取得最值时的位置，最后结合平面几何知识求得结果.【详解】由正八边形的对称性可知，，易知正八边形的每个内角为，设与的夹角为，则，所以当最大时，取得最大值，当最小时，取得最小值.如图，过点作垂直的延长线于点，过点作垂直的延长线于点，可知当在线段上时，取得最大值，，此时.当在线段上时，取得最小值，此时，此时，故的取值范围为.故选：A.

11．已知平面向量、，满足，，若对任意模为的平面向量，均有，则向量、夹角的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意得以及，或，由此即可得解.【详解】由，，若对任意模为2的向量，均有，则，，平方得到，即，即，同时，，即，平方得到，即，即，综上，即，向量的夹角的取值范围.故选：B.12．（24-25高一下·湖北·月考）如图，在中，，为CD上一点，且满足，若的面积为，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设，先由的面积求出及的值，再根据平面向量共线定理，向量的加法法则和平面向量基本定理求出，进而确定，求出，再利用基本不等式即可求出的最小值.【详解】由，可得，所以.由可得.因为为CD上一点，所以设，则.因为，所以，解得，所以，所以(当且仅当，即时等号成立).所以的最小值是.故选：D13．（23-24高一下·天津·月考）已知是的外心，，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】结合图形，将原式两边平方得，由图形可知，、不能都是正数，利用三角代换，求函数的值域，即可判断选项.【详解】如图，，所以，因为，所以，，即，如图可知，点在优弧上，所以、不能都是正数，所以设，，，可得，即.故选：B.14．（24-25高一下·天津·期中）已知，与的夹角为，若向量与的夹角是钝角，则实数的取值范围.【答案】【分析】利用向量数量积定义计算可得，再根据两向量与的夹角为钝角可得其数量积小于零，且它们不反向，解不等式即可求得结果.【详解】依题意可得，若向量与的夹角是钝角，可得且向量与不反向，所以，解得；当两向量方向相反时可得，且，解得；因此可得或；即实数的取值范围为.故答案为：15．（24-25高一下·浙江·期中）在中，为内一点，且，若，则的最大值为.【答案】【分析】先根据向量数量积的运算性质，结合已知条件得出与的关系式，再利用基本不等式求解的最大值.【详解】因为，根据向量垂直的性质可知，那么.对两边同时平方由可得.展开可得：.将，，，代入上式可得：，即，化简得.设，，则.根据基本不等式（当且仅当时取等号），可得：.所以，当且仅当时取等号.故答案为：.16．（24-25高一下·四川成都·月考）已知平面向量，满足，且，则的最大值是.【答案】/【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律，结合数量积的性质求出的范围即可求解.【详解】由，得，整理得，则，当且仅当与同向时取等号，解得，因此，所以的最大值是.故答案为：17．（24-25高一下·湖北黄冈·期中）如图，半径为2的圆上的点到直线的最小