专题09 等差、等比数列中an与Sn性质的应用(解析版)-2026《寒假自学课-高二数学》人教A

专题09等差、等比数列中an与Sn性质的应用内容导航串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升复习提升：真题感知+提升专练，全面突破知识点1：等差数列通项an的有关性质通项公式的推广a当m+n=p+q时，am特别地，若m+n=2t，则am+an=2数列中序号为等差数列的项ak，ak+若{an}，{数列kan+b知识点2：等差数列前n项和Sn的有关性质Sn=d2n2+(aSn为等差数列前n项和，则Sn,若{an}是公差为d等差数列，则{Snn若{an}与{bn}为等差数列，且前n项和为若项数为偶数2n，则S2n=n(a1+若项数为奇数2n-1，则S2n－1常用结论：1、等差数列{an}中，若a2、等差数列{an}中，若S3、等差数列{an}中，若S知识点3：等差数列的函数性质由通项公式an=a1、公差d>0⇔{a2、公差d<0⇔{a3、公差d=0⇔知识点4：等比数列通项an的有关性质通项公式的推广a若m+n=p+q=2k(m，n，p，q，数列中序号为等差数列的项ak，ak+m，ak+2{an}为等比数列，则{λan}（λ为非零常数），{a若{an}，{bn知识点5：等比数列前n项和Sn的有关性质公比不为－1的等比数列{an}的前项和为Sn，则Sn，S2n{an}为等比数列，若前n项积为a知识点6：等比数列的函数性质1、当&a1>0&q>1或2、当&a1>0&0<q<1或3、若{an}既是等差数列又是等比数列【题型1等差中项的应用】高妙技法在等差数列求项的时候，可以用通项公式，也可以考虑用等差中项的性质：若m+n=2t，则am+an=21．（25-26高二上·重庆·月考）记为等差数列的前项和．若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据等差数列的性质，可得，代入求和公式，化简计算，即可得答案.【详解】由题意，则，所以.故选：B2．（25-26高二上·广东·期末）已知数列与均为等差数列，且，，则（

）A．9 B．18 C．16 D．27【答案】A【分析】根据等差中项的公式，令两式相加即可得出答案.【详解】因为数列与均为等差数列，且，，所以所以，则.故选：.3．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）在等差数列中，，则（

）A．5 B．6 C．10 D．15【答案】C【分析】利用等差中项的性质可得出的值，进而利用等差中项的性质可求得的值.【详解】由等差中项的性质可得，解得，所以.故选：C4．（25-26高二上·宁夏·月考）已知等差数列的前项和为，且，则（

）A．4 B．8 C．12 D．16【答案】C【分析】由等差数列的前项公式有，再由解得答案．【详解】因为为等差数列的前项和，且，所以等差数列的前项公式有，即又因为，所以，则.故选：C【题型2等差数列片段和的性质】高妙技法Sn为等差数列前n项和，则Sn,1．（25-26高二上·江苏南京·月考）设等差数列的前n项和为，若，，则（）A． B． C． D．与有关【答案】C【分析】根据等差数列的前项和性质可知：成等差数列，然后根据等差中项计算即可.【详解】由题可知：成等差数列所以，又，所以故选：C2．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）已知等差数列的前项和为，若，，则（

）A．51 B．57 C．63 D．66【答案】D【分析】根据等差数列的前项和性质：片段和仍然成等差数列计算【详解】等差数列的前项和为，，，，，，成等差数列，，，，，则数列的前三项为，是公差为的等差数列，故，.故选：D3．（25-26高三上·重庆·月考）已知等差数列的前项和为，若，，则（

）A．13 B．14 C．15 D．16【答案】B【分析】方法1：利用在等差数列中，，，，仍成等差数列，代入求解即可.方法2：利用等差数列前项和公式，求出等差数列首项，公差，代入求解即可.【详解】方法1：由等差数列前项和的性质可知：在等差数列中，，，，仍成等差数列，所以，，成等差数列，即，又，，所以，解得.方法2：设等差数列首项为，公差为，由等差数列前项和公式可知：，，联立解得，，所以.故选：B.4．（25-26高三上·重庆·期中）设是等差数列的前项和，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用等差数列的前n项和为，则成等差数列，即可得出结论．【详解】设，则，等差数列的前n项和为，则成等差数列，即成等差数列，公差为，故，即，，故选：.【题型3两个等差数列前n项和比值与中项比值关系】高妙技法若{an}与{bn}为等差数列，且前n项和为1．（25-26高二上·山东临沂·月考）设等差数列，的前n项和分别为，，若，则（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】利用即可得解.【详解】由题得.故选：D2．（25-26高三上·重庆北碚·月考）已知数列，为等差数列，其前项和分别为，，且满足

，则

（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用等差数列前项和公式及等差数列性质将转化为，再利用求出的值即可.【详解】等差数列前项和，，所以，由等差数列性质知，，所以.又，当时，，即，当时，，即，当时，，即，令等差数列的公差为，等差数列的公差为，则①，②，③，由②得，，由③得，，代入①中，整理得，，所以，故.故选：C.3．（25-26高三上·湖南常德·月考）等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若，则等于（）A． B． C． D．【答案】A【分析】应用等差数列求和公式结合项的性质计算求解.【详解】等差数列与的前n项和分别为和，因为，所以.故选：A.4．（25-26高三上·重庆·月考）已知等差数列的前项和分别为，且，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用等差数列的前项和公式求解即可得.【详解】由题设，条件可化为，设，，则，，则.故选：A.【题型4等差数列奇数项和与偶数项和的性质】高妙技法弄清楚数列的总项，因为总项是奇数或偶数会影响到奇数项和跟偶数项和。1．（25-26高三上·四川绵阳·月考）已知等差数列共有项，奇数项之和为，偶数项之和为，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据等差数列的求和公式，结合等差数列的性质，即可求解.【详解】等差数列共项，其中奇数项有项，偶数项有项，奇数项和为①，偶数项和为②．因为，所以①÷②，得，则．故选：A．2．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为（

）A．10 B．19 C．21 D．29【答案】B【分析】设项数为，则，再利用等差中项的性质和等差数列的求和公式化简，然后计算可得.【详解】设项数为，则，.此数列共有19项.故选：B3．（25-26高二上·江苏苏州·月考）若a1,a2,⋯,A．4 B．5 C．9 D．11【答案】C【分析】利用奇偶数项的和及等差数列的性质有，即可求项数.【详解】由题设，则，显然，所以，可得，则共有项.故选：C4．（25-26高三上·广西南宁·开学考试）《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织七匹三丈，问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了七匹三丈，问每天增加多少尺布？”若这一个月有29天，记该女子一个月中的第天所织布的尺数为，则a1+a3+A．15 B． C． D．【答案】D【分析】根据题干信息，可得数列是首项为5的等差数列，再结合等差数列的性质和前项和公式，即可求解.【详解】根据题意，知数列是首项为5的等差数列，设数列中所有奇数项的和为，则，设数列中所有偶数项的和为，则，又由等差数列的性质，知，所以.故选：D.【题型5等差数列{Snn高妙技法{an}数列的前n1．（25-26高二上·黑龙江绥化·期中）已知为数列的前n项和，，是公差为1的等差数列，则下列选项中不正确的是（）A． B．当且仅当时，取得最小值C． D．数列中第5项的值最大【答案】B【分析】根据等差数列的通项公式、与的关系，结合二次函数的性质逐一判断即可.【详解】A：因为是公差为1的等差数列，所以，因此，所以A正确；B：由上可知：，因为，所以当或6时，取得最小值，因此B不正确；C：由上可知：，于是当时，，显然，符合，所以C正确；D：由上可知：，令，显然当时，因为，所以，而，显然数列中第5项的值最大，故D正确，故选：B2．（24-25高二下·广东广州·月考）设数列的前项和为，，，则下列说法正确的是（

）A．是等差数列B．，，成等差数列，公差为C．当取得最大值时，D．时，的最大值为32【答案】A【分析】利用等差数列通项公式先求出，再求通项公式，然后对各选项逐一检验即可.【详解】由，可得：数列是以为首项，为公差的等差数列．则．所以.对于选项A：，当时，；当时，；，．，数列是等差数列，故选项A正确；对于选项B：，，，，，，则，，所以，，成等差数列，公差为，故选项B错误；对于选项C：，，当或时，最大，故选项C错误；对于选项D：令，得，，即满足的最大正整数，故选项D错误.故选：A．3．（24-25高三下·浙江·开学考试）已知数列的前项和为，且为等差数列，若，则（

）A．13 B．26 C．30 D．33【答案】D【分析】由条件结合等差数列的通项公式求的通项公式，由此可得，再由关系求结论.【详解】因为，，所以，，因为为等差数列，所以数列的公差为，所以数列的通项公式为，所以，故，故选：D.4．（25-26高三上·河北秦皇岛·月考）已知为等差数列的前项和，若且则（

）A．1 B．2 C．-1 D．-2【答案】B【分析】利用等差数列前项和公式，求解即可.【详解】由题意可得，，化简，所以，.故选：B.【题型6等差数列的函数性质】高妙技法根据等差数列的通项an=a1+n-1d有an1．（25-26高三上·福建三明·月考）已知数列的首项为，对于任意的都有，则“为单调递增的数列”是“”的（

）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据题设易得数列的奇数项、偶数项分别构成等差数列，公差均为1，进而结合充分、必要条件的定义判断即可.【详解】由，则数列的奇数项、偶数项分别构成等差数列，公差均为1，若为单调递增的数列，则；若，则，，，，所以，，则“为单调递增的数列”.综上所述，“为单调递增的数列”是“”的充要条件.故选：C2．（24-25高三上·北京海淀·期中）设无穷等差数列的前项积为.若，则“有最大值”是“公差”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】分析公差三种情况，当时无最大值，当时，不一有最大值，即可得出论.【详解】对于无穷等差数列，由于，当时，若数列中小于0的项为偶数项，且数列中无0时，显然没有最大值，当时，数列为常数列，当不等于时，，无最大值，所以公差不能推出有最大值，当时，，所以趋于正无穷，为正负间隔的摆动数列，没有最大值，所以当有最大值时，只能，综上，“有最大值”是“公差”的充分不必要条件，故选：A3．（24-25高二下·北京海淀·期末）设是所有项都不为0的无穷等差数列，则“为递减数列”是“为递增数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】作差法得到，若递减，可得为递增数列，充分性成立，可以举出实例说明必要性不成立，从而可得答案.【详解】若递减，则因此需要满足：且恒成立；若，，则对所有成立，若，，则存在使得，与矛盾递减的充要条件是且，即若递减，则为递增数列，充分性成立；若为递增数列，则，，由于不知道的正负，故无法判断的正负，故不能得到为递减数列，必要性不成立，例如为以下数列：，则为，不是递减数列，所以“为递减数列”是“为递增数列”的充分也不必要条件.故选：A.4．（24-25高二上·浙江绍兴·月考）在等差数列中，为其前项和.若，，则下列判断错误的是（

）A．数列为递增数列 B．C．数列的前项和最小 D．【答案】C【分析】推导出，，可判断BD选项；利用等差数列的单调性可判断A选项；分析可知，当且时，；当且时，，可判断C选项.【详解】设等差数列的公差为，对于A选项，，可得，，可得，所以，，所以，，所以，数列为递增数列，A对；对于B选项，由A选项可知，，B对；对于D选项，由A选项可知，，D对；对于C选项，因为数列为递增数列，当且时，；当且时，，所以，数列的前项和最小，C错.故选：C.【题型7等差数列Sn的函数性质高妙技法根据等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数，可以根据二次函数的性质来讨论Sn1．（24-25高二下·河南驻马店·月考）已知等差数列的前项和为，若，，则使的最小的的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据条件可得数列为递减数列，且，，，根据等差数列前项和公式结合等差数列的性质可得结果.【详解】设等差数列的公差为，∵，，∴数列为递减数列，∴，，，由得，即，∴，∴使的最小的的值为.故选：D．2．（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知等差数列的前n项和为，若，则使得成立的正整数n的最大值为（

）A．20 B．21 C．22 D．23【答案】B【分析】设等差数列的公差为，由条件推得，，则得，推出数列为递增数列，推出即可求得.【详解】设等差数列的公差为，由可得：，则，，故数列为递增数列，又，，故使得成立的正整数n的最大值为21.故选：B.3．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）已知等差数列的前项和为，若，，则当取得最小值时，（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】先利用与等差数列前项和公式分析项的符号，再利用分析项的符号，最后判断的最小值即可.【详解】由等差数列前项和公式得：，因为，所以，即，因为，所以，又因为，可得，即，由，可知数列前6项为负，第7项开始为正，因此当取得最小值时，.故选：C.4．（25-26高二上·甘肃平凉·月考）设为等差数列的前项和，且，若，则的最小值为（

）A．28 B．29 C．30 D．31【答案】C【分析】由等差数列的性质及前项和求解．【详解】由，得，又，所以，等差数列的公差，即是递减数列，由，得，所以时，，由，得，所以当时，的最小值为30.故选：C.【题型8等比中项的应用】高妙技法若m+n=p+q=2k(m，n，p，q，1．（25-26高三上·河南南阳·期中）已知各项均为正数的等比数列的前项和为，且满足，，则（

）A．11 B．31 C．32 D．121【答案】B【分析】由等比数列的性质求出，再用公比表示出，求出.由等比数列的前n项和公式即可求得.【详解】由等比数列的性质知，又，所以，设的公比为，则，所以或（舍），所以.故选：B.2．（24-25高二下·广西·期中）已知在等比数列中，，等差数列的前n项和为，且，则（

）A．0 B．54 C．49 D．42【答案】C【分析】先根据等比数列下标和的性质求出，然后结合等差数列下标和的性质，利用等差数列求和公式求解即可.【详解】由等比数列的性质可知，因为，所以，则，所以.故选：C.3．（24-25高三上·广东·月考）已知正项递增等比数列的前项的和为，若，，则（

）A．121 B．364 C．728 D．1093【答案】B【分析】由条件结合等比数列性质求，再根据等比数列通项公式求公比，首项，结合等比数列求和公式求.【详解】在正项递增等比数列中，所以，又，所以或（舍去），设数列的公比为，则，所以，所以.故选：B.4．（24-25高三上·重庆·月考）已知等比数列是递增数列，其前n项和为，，，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根据下标和性质求出，即可求出、，即可求出，再由求和公式计算可得.【详解】因为等比数列单调递增，，则，又，解得或（舍去），所以，所以.故选：D.【题型9等比数列片段和的性质】高妙技法公比不为－1的等比数列{an}的前项和为Sn，则Sn，S2n1．（25-26高二上·湖南邵阳·月考）已知等比数列的前n项和为，若，，则的值为（

）A．81 B．145 C．256 D．273【答案】D【分析】根据等比数列的性质，计算即可得出答案.【详解】因为等比数列，，，所以成等比数列，因为，，所以，所以，所以.故选：D2．（25-26高三上·广西·开学考试）记为等比数列的前项和，若，，则（

）A．512 B．-512 C．1024 D．【答案】C【分析】根据等比数列的通项公式及等比数列的前项和定义即可求解.【详解】设等比数列的公比为，则，，∴，∴，∴.故选：C.3．（25-26高三上·河北沧州·月考）已知等比数列的前n项和为，若，，则（

）A．56 B． C．63 D．【答案】C【分析】利用等比数列的性质建立方程，求解即可.【详解】因为等比数列的前n项和为，所以，，成等比数列，且公比为正数，设，由题意得，，则7，，成等比数列，得到，即，解得或，因为，，三者同号，所以，故C正确.故选：C.4．（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知等比数列的前n项和为，若，，则（

）A．49 B．63 C．84 D．105【答案】A【分析】根据等比数列前项和性质列式计算即可求解.【详解】由题意可知，成等比数列，所以，解得.故选：A【题型10等比数列的函数性质】高妙技法等比数列、等比数列的前n项和的增减性跟公比q、首项有关。1．（24-25高二下·四川·期中）若等比数列的前项和为，则“”是“单调递增”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】利用等比数列的前n项和公式及，结合充分、必要性定义判断条件的关系.【详解】若的公比为，则，若时，不单调，充分性不成立；若单调递增，则恒成立，故，必要性成立，所以“”是“单调递增”的必要不充分条件.故选：B2．（25-26高三上·北京·开学考试）已知无穷等比数列的前n项和为，则“”是“既无最大值也无最小值”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】设出公比为，利用等比数列基本量的运算得：的充要条件为或，分类讨论得既无最大值也无最小值时，，则有，最后根据充分条件、必要条件的概念判断即可.【详解】设公比为，由得，因为，所以，所以，所以或，即的充要条件为或，当，时，，此时，故，所以为单调递增数列，此时有最小值无最大值，当，时，，此时，故，所以为单调递减数列，此时有最大值无最小值，当时，，为摆动数列，且，故，所以随着的增大，趋向于正无穷或负无穷，故无最大值，也无最小值，此时无最大值，无最小值，所以由“”推不出“既无最大值也无最小值”；反之，当时，为常数列，此时无最大值或无最小值；当时，有最大值，也有最小值，此时有最大值和最小值；当时，由上面分析若，则有最小值无最大值，若，则有最大值无最小值；当时，若，则有最小值无最大值，若，则有最大值无最小值；当时，若，则，，当为奇数时，，当为偶数时，，且随着的增大，趋向于，其中，，故且，故有最大值，也有最小值，若，则，，当为奇数时，，当为偶数时，，且随着的增大，趋向于，其中，，故且，故有最大值，也有最小值；当时，结合前述分析可知无最大值，无最小值，由此可知“既无最大值也无最小值”当且仅当，此时成立.综上，“”是“既无最大值也无最小值”的必要不充分条件.故选：B3．（多选）（24-25高二上·江苏南通·月考）已知等比数列的首项，公比为，前项和为，前项积为，则（

）A．若数列是递增数列，则B．若数列是递增数列，则C．当时，存在实数，使得恒成立D．若，则使得成立的的最大值为【答案】BCD【分析】对于A，通过取，可得，即可求解；对于B，因为，根据条件，将问题转化成恒成立，即可求解；选项C，由得，再利用等比数列的前项和公式，即可求解；对于选项D，根据条件可得，即可求解.【详解】对于选项A，取，则，此时是递增数列，所以选项A错误，对于选项B，因为，则，又，数列是递增数列，则且，且恒成立，则，所以选项B正确，对于选项C，当时，，则，所以选项C正确，对于选项D，若，由选项B知，即，得到，所以，即，则，所以使得成立的的最大值为10，故选项D正确，故选：BCD.4．（2025高三·全国·专题练习）记等比数列的前项和与前项积分别为，，若，则（

）A．为单调数列 B．为递增数列C．有最大值 D．有最小值【答案】D【分析】由，可得或，然后逐项讨论.【详解】设等比数列的公比为，因为，所以，且或，即或.当时，为正负交替的摆动数列，不单调，A错误；因为，所以，所以当时，为正负摆动的数列，故不单调，B错误；又，且，①当时，由于，则，，所以有最小值，最大值；②当时，，所以为递增数列，所以其有最小值，无最大值；综上所述，有最小值，C错误，D正确．故选：D.1．（25-26高三上·河北邯郸·月考）已知公差不为零的等差数列的前项和为，且成等比数列，若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据条件，列方程求出，进而可得，即可求解.【详解】设公差为，则，所以，又，所以，解得，所以，则，故选：D．2．（25-26高三上·山东烟台·期中）已知等差数列的前项和为，若，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据等差数列部分和的性质有为等差数列，结合等差中项的性质列方程求值即可.【详解】由题意为等差数列，则，所以，则.故选：C3．（25-26高二上·江苏苏州·月考）设等差数列的前项和分别为Sn,

Tn．若，则（

A． B． C． D．2【答案】A【分析】先对目标式合理变形得到，再结合题意求值即可.【详解】由题意得，因为，所以，故A正确.故选：A.4．（25-26高二上·河北石家庄·月考）已知是等差数列的前项和，若，则使的最小整数（

）A．22 B．23 C．24 D．25【答案】C【分析】根据条件得到，再利用等差数列的性质及前项和公式，即可求出结果.【详解】等差数列的前项和为，由，且，得，所以，则数列的公差，所以数列是递增的等差数列，且当时，，当时，，又，所以使成立的最小的为24，故选：C．5．（25-26高三上·河北唐山·期中）已知等差数列的前n项和为，公差为d，若，则的最大值为（

）A． B．30 C． D．18【答案】B【分析】根据等差数列前n项和的公式列方程求解和d，进而得到的表达式即可求得最值．【详解】已知等差数列的前n项和为，公差为d，所以，所以，．又，即亦即解得所以，根据二次函数的性质知当或6时，取得最大值30，故选：B．6．（25-26高三上·湖北·期中）已知数列是等差数列，公差为，前项和为，且，，则使得的的最小值为（

）A．4048 B．4049 C．4050 D．4051【答案】B【分析】由，得到，继而推出，再结合，得到，，再结合求和公式即可判断.【详解】由，，得，则，所以，由和得，结合，，故使得的的最小值为4049.故选：B7．（23-24高二上·河北衡水·月考）设等差数列的前项和为，满足，数列中最大的项为第（

）项．A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】根据题意，得到，且，求得，进而得到前6项均为正数，从第7项起为负数，数列的最大项为，是数列中的最小项，得到最大的项为，即可求解.【详解】由题意，可得，所以，且，又由等差数列的公差，所以数列是递减数列，前6项均为正数，从第7项起为负数，数列的最大项为，是数列中的最小项，且，所以数列中最大的项为，即第6项.故选：C.8．（25-26高二上·重庆九龙坡·月考）已知数列满足（且），且数列是递增数列，数列是递减数列，又，且，则（

）A． B．5050 C． D．4950【答案】A【分析】根据数列的单调性，结合递推公式，利用分组求和以及等差数列求和，可得答案.【详解】由数列是递增数列，得；由数列是递减数列，得.由，且，即，则当为偶数时，；当为奇数时，.所以.故选：A.9．（2025高三·全国·专题练习）一个等差数列共有项，其奇数项之和为319，偶数项之和为290，则此数列第项为（

）A．31 B．30 C．29 D．28【答案】C【分析】由题中条件及等差数列的性质可得：，两式相减即可求解.【详解】由题中条件及等差数列的性质可知：，所以.故选：C.10（24-25高二下·四川南充·月考）等差数列的前16项和为640，前16项中偶数项和与奇数项和之比为，则公差的值是（

）A． B．4 C．8 D．9【答案】C【分析】根据给定条件，求出前16项中偶数项和与奇数项和，再利用等差数列性质求解.【详解】