2017年全国初中数学联赛初赛试卷【含答案】

第1页（共1页）2017年全国初中数学联赛初赛试卷一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1．（7分）设实数a，b满足a﹣b＝﹣1，则a3﹣b3+3ab的值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．32．（7分）若实数a为常数，关于x的不等式组的整数解只有8个，则a的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．23．（7分）在菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝60°，E为AB的中点，若在线段BD上取一点P，则PA+PE的最小值是（）A．2 B．4 C．2 D．24．（7分）对任意三个实数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数，若M{2x+y+2，x+2y，2x﹣y}＝min{2x+y+2，x+2y，2x﹣y}，则x+y＝（）A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．45．（7分）如图，Rt△ABC的斜边AB与⊙O相切于点B，直角顶点C在⊙O上，若AC＝2，BC＝4，则⊙O的半径是（）A．3 B．2 C．4 D．26．（7分）不超过（+1）6的最大整数是（）A．1142 B．1145 C．1148 D．1151二、填空题（本大题满分28分，每小题7分）7．（7分）若x2+x﹣1＝0，则的值为．8．（7分）在正方形ABCD中，点E，F分别在线段BC，CD上，且∠BAE＝20°，∠DAF＝25°，则∠CEF＝．9．（7分）小丽与小明一起用A，B两个骰子玩游戏，以小丽掷的A骰子朝上的数字为x，小明掷的B骰子朝上的数字为y，来确定点P（x，y）．那么，他们各掷一次所确定的点P（x，y）落在已知抛物线y＝x2﹣4x+5上的概率为．10．（7分）如图，设点P在函数y＝的图象上，PC⊥x轴于点C，交函数y＝的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交函数y＝的图象于点B，则四边形PAOB的面积为．三、（本大题满分20分）11．（20分）已知关于x的一元二次方程x2﹣kx+5＝0与x2+5x﹣k＝0只有一个公共的实根，求关于x的方程|x2+kx|＝|k|所有的实根之和．四、（本大题满分25分）12．（25分）如图，已知圆O的直径AB与CD互相垂直，E为OB中点，CE的延长线交圆O于G，AG交CD于F，求的值．五、（本大题满分25分）13．（25分）已知a，b，c，d，x，y，z，w是互不相等的非零实数，且＝＝＝，求的值．

2017年全国初中数学联赛初赛试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1．【解答】解：∵a﹣b＝﹣1，∴a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）＝﹣（a2+ab+b2），∴a3﹣b3+3ab＝﹣a2﹣ab﹣b2+3ab＝﹣（a﹣b）2＝﹣1．故选：B．2．【解答】解：由x＞﹣7且不等式组的整数解只有8个，则不等式组的整数解为﹣6、﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1，∴1≤﹣a2+2a＜2，可得（a﹣1）2≤0，则a＝1，故选：C．3．【解答】解：如图，连接CE交BD于P，则PA+PE的最小值＝CE，∵在菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝60°，∴BC＝AB＝4，∠ABC＝120°，∵E为AB的中点，∴BE＝AB＝2，过E作EF⊥BC交CB的延长线于F，∴∠FBE＝60°，∴BF＝1，EF＝，∴CF＝5，∴CE＝＝2，∴PA+PE的最小值是2，故选：D．4．【解答】解：M{2x+y+2，x+2y，2x﹣y}＝min{2x+y+2，x+2y，2x﹣y}，则2x+y+2＝x+2y＝2x﹣y，解得：x＝﹣3，y＝﹣1，则x+y＝﹣4．故选：A．5．【解答】解：连接BO并延长BO交⊙O于D，连接CD，∵BD是⊙O的直径，∴∠DCB＝90°，又∵∠ACB＝90°，∴点A，C，D在一条直线上，∵AB切⊙O于D，∴BD⊥AB，∵∠A＝∠A，∴△ABD∽△ACB，∴＝，∵Rt△ABC，AC＝2，BC＝4，∴AB＝2，∴＝，解得：AD＝6，∴DC＝6﹣2＝4，∴BD＝＝4，∴⊙O的半径是2．故选：B．6．【解答】解：（+1）6＝（6+2）3，令6+2＝a，6﹣2＝b，得a+b＝12，ab＝16，a，b是方程x2﹣12x+16＝0的两个根，故得a2＝12a﹣16，b2＝12b﹣16；a3＝12a2﹣16a，b3＝12b2﹣16b；∴a3+b3＝12（a2+b2）﹣16（a+b）＝12[12（a+b）﹣32]﹣16（a+b）＝128（a+b）﹣384＝1152．∵1＜b＜2，∴1＜b3＜8，∴1＜1152﹣a3＜8，∴1144＜a3＜1151，∴在4个选项中a3的最大整数值是1148．故选：C．二、填空题（本大题满分28分，每小题7分）7．【解答】解：∵x2+x﹣1＝0∴x2＝﹣（x﹣1），∴＝＝＝＝＝3．故答案为：3．8．【解答】解：延长EB至G，使BG＝DF，连接AG，∵正方形ABCD，∴AB＝AD，∠ABG＝∠ADF＝∠BAD＝90°，∵BG＝DF，∴△ABG≌△ADF，∴AG＝AF，∵∠BAE＝20°，∠DAF＝25°，∴∠FAE＝∠GAE＝45°，∵AE＝AE，∴△FAE≌△GAE，∴∠AEB＝∠AEF＝70°，∴∠CEF＝180°﹣∠AEB﹣∠AEF＝40°，故答案为40°9．【解答】解：列表如下：1234561（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）2（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）3（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）4（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（4，6）5（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）（5，6）6（6，1）（6，2）（6，3）（6，4）（6，5）（6，6）共有36种等可能的结果，可在抛物线上的有（1，2），（2，1），（3，2），（4，5）共4种情况，那么点P落在已知抛物线y＝x2﹣4x+5上的概率是．故答案为：．10．【解答】解：根据题意，S四边形PCOD＝PC•PD＝6，S△OBD＝S△OAC＝×2＝1，所以，四边形PAOB的面积＝S四边形PCOD﹣S△OBD﹣S△OAC＝6﹣1﹣1＝4．故答案为：4三、（本大题满分20分）11．【解答】解：设一元二次方程x2﹣kx+5＝0与x2+5x﹣k＝0的公共根为t，根据题意得t2﹣kt+5＝0与t2+5t﹣k＝0，∴（k+5）t＝k+5，∵t有唯一的值，∴k+5≠0，∴t＝1，把t＝1代入x2﹣kx+5＝0得1﹣k+5＝0，解得k＝6，∴|x2+6x|＝6，∴x2+6x＝6或x2+6x＝﹣6，方程x2+6x＝6的两根之和为﹣6，方程x2+6x＝﹣6的两根之和为﹣6，∴方程|x2+kx|＝|k|所有的实根之和为﹣12．四、（本大题满分25分）12．【解答】解：如图，连接AD、DG，过点F作FH⊥AD于点H，设OC＝x，则OE＝BE＝x，∴CE＝＝x，AD＝＝x，∵∠ADO＝45°，∴DH＝FH，则AH＝AD﹣FH＝x﹣FH，∵∠DAF＝∠DCG，∠AHF＝∠COE，∴Rt△COE∽Rt△