2022年全国高中数学联赛浙江赛区预赛试题（含解析）

2022年全国高中数学联赛浙江赛区预赛试题到过D1、E、F三点的平面的距离为______________。解以D为原点，分别以DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直接坐标系，求得过D1、E、F平面的法向量为=(3,2,4)。又DD1=(0,0,1)。所以D到过D1、E、F三点的平面3.若单位复数a,b满足a表示复数z的共轭)，则a−b=_____________。解设出现正面的概率为p，依题意得Cp(1−p)4=Cp2(1−p)3，解得p所以恰好出现3次正面的概率为Cp3。__________。7.设a1,a2,,a6是{1,2,,6}的任排列有002211,001122,112200,110022,220011,221100,011220，02211002,200112。所以满足条件的排列为12×AAA=96。8.已知ΔOAB的顶点坐标O(0,0),A(4,4),B(8,0)，它的内切圆圆心为I。设圆C经过A,B两点，且与圆I交于P,Q两点。若过P,Q点所做两圆的切线垂直，则圆C的半径为______________。解设圆I切BO,AB,AO于D,E,F。由于ΔOAB为正三角形，所以D,E,F的坐标分别为D(4,0),E(6,2),F(2,2)。由已知以及圆幂性质，可知圆C经过DE,EF的中点G(5,),H(4,2)。又圆C经过A,B两点，求得圆C的半径为2。9.把与143互质的全体正整数按从小到大排列成一个数列，则该数列的第2022项为________________。10.已知p(x)为5次多项式。若x重根，则p(x)的表达式为。答案12x5−30x4+20x3+n),对上述两式分别求一22:y2=4px(p∈z+)的焦点重合，过F1且斜率为正整数的直线l交C1于A,B,交C2于C,D。若解设直线l的方程为y=k(x−p)(k得到k2x2−2px+k2p2=0。设C,D的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，则有x1+xx1x2=p2，…………3分分别为(x3,y3)，(x4,y4)，则有x3+xx3x分所以AB……12分由于p2<24,p为正整数，只有p=4符合题意，此时b=2。…15分12.设X={1,2,,10},f:X→X的映射满足（1）ff=IX,其中ff是复合映射，IX为X上恒等映射；求映射f的数目。解答：由（1）知，(ⅰ)f(x)=x,(ⅱ)f(x)=y(x≠y),f(y)=x。……3分则(ⅰ)当f(1)=1时，则映射数为射fn−1；(ⅱ)当f(1)=2时，此时f(2)=1，则映射数为射fn−2；若f(2)=2，则映射数为射fn−3；若f(2)=4时，此时f(4)=2，则映射数为射fn−4。…………9分因此fn=fn−1+fn−2+fn−3+fn−4，计算得………12分f1=1,f2=2,f3=4,f413.设m为大于1的正整数，函数fm。当x，求f(x)的最大值；即g为单调递增，所以gmax，即有m1（2）要使得e2mf(x)<1，即证m令l=lnx，求导得l即在区间(0,)上l(x)为严格单调递增函数。………………15分annnxn n)xn又x2(f(m)+f(n))。(1)若f为整系数多项式，证明f任意项的次数为奇数；(2)构造满足条件的非多项式映射f。f(x)+f(-x)有无穷多个），所以f(x)+f(-x)=0。由此f任意项的次数为奇数…………………5分j)得gcd(mi,mj)|((bi-ai)-(bj-aj)).下面用归纳法构造f(n)满足m+n|f(m)+f(n)，m-n|(f(m)-f(n))(1≤m<n)的映射.设f(1),...f(k-1)已构造好，考虑同余方程组三-f(i)(modk+i)(1≤i<k-1)三f(i)(mo