浙江省湖州市南浔高级中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试卷（解析版）

第第页浙江省湖州市南浔高级中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知a=2,3，2aA．2,−4 B．−2,4 C．2,−12 【答案】A【解析】【解答】因为a=2,3，2a故选：A.

【分析】本题考查平面向量的坐标运算.根据a=2,3，2a2．若复数z=5iA．i B．1 C．−1 D．−【答案】C【解析】【解答】解：因为z=5i−2=5×故答案为：C.【分析】利用复数的除法运算法则得出复数z，再结合复数虚部的概念，从而可得复数z的虚部.3．△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知A=π4，a=2A．π6 B．π3 C．π6或5π6【答案】D【解析】【解答】解：由正弦定理可得asin由于B∈0,π，b>a，所以B=π3故答案为：D.【分析】根据已知条件和正弦定理，再结合三角形中角B的取值范围，从而得出角B的值.4．函数fxA．0,1 B．1,2 C．2,3 D．3,4【答案】B【解析】【解答】解：因为f1=log22−21=−1<0，所以fx在0,+∞上有唯一的零点，且零点在区间故答案为：B.【分析】利用已知条件和零点存在性定理，再结合函数的单调性判断出函数fx5．如图，△O'A'B'是水平放置的ΔOAB的直观图，A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】【解答】解：由斜二测画法可知，△OAB的实物图如下图所示：可知OA=4，OB=2，且∠AOB=90∘，

因此，△OAB的面积为故答案为：C.【分析】作出△OAB的实物图，再结合三角形的面积公式，从而计算出△OAB的面积.6．a>−3是函数fx=xA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【解答】解：因为fx=x即函数fx=x当−a2≤1，即a≥−2时，则f由f1>0⇒1+a+4>0⇒a>−5，所以当1<−a2<3则fx=x2+ax+4所以函数的最小值为f−由f−a2>0⇒a2当−a2≥3，即a≤−6时，则f由f3>0⇒9+3a+4>0⇒a>−13综上可知：a≥−2或−4<a<−2，即a>−4，因为a>−3⇒a>−4，但a>−4⇒a>−3，所以a>−3是fx=x故答案为：A.

【分析】先求出fx在1,37．已知x，y∈RA．x2+y2的最大值为2B．x2+y2的最大值为C．x2+y2的最小值为2D．x2+y2的最小值为【答案】C【解析】【解答】利用x2+y2≥2xy当且仅当x=y，即x2=y2=利用(x+y)2≥4xy，x2+y当且仅当x=y=33时取得等号，故x+y的最大值为故答案为：C

【分析】利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法，进而找出正确的选项。8．如图，在△ABC中，D是线段BC上的一点，且BC=4BD，过点D的直线分别交直线AB，AC于点M，N，若AM=λAB，ANA．23−2 B．23+4 C．【答案】C【解析】【解答】解：由已知条件可得AD=∵AM∴AD=因为M,D,N三点共线，∴34λ∴1μ∵λ>0,μ>0,1∴λ>34，则λ−1μ=λ−(4−故λ−1μ的最小值是故答案为：C．【分析】根据平面向量基本定理和三点共线，可确定λ,μ的关系式，即34λ+14μ=1二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知a=1,3A．若θ=π3，则a⊥b B．若θC．a+b=3 【答案】B,C,D【解析】【解答】解：对于A，当θ=π3时，

b=12,对于B：当θ=π3时，b=1对于C：因为a=1+3=2，b对于D：因为a−b≤a+b=3

（当且仅当a与b故答案为：BCD.【分析】根据已知条件和两向量垂直数量积为零的等价关系以及数量积的坐标表示，则判断选项A；根据向量的数乘运算的几何意义，则判断选项B；利用向量求模公式，则判断出选项C；根据三角不等式，则判断出选项D，从而找出真命题的选项.10．设函数f(x)=4sinA．图象C关于直线x=−5πB．图象C关于点(−C．函数f(x)在区间(−D．把函数f(x)=4sin【答案】A,C【解析】【解答】对于A，函数f(x)=4sin(2x+π3)+1的对称轴方程为2x+π3=π对于B，函数f(x)=4sin(2x+π3)+1的对称中心为2x+π3=kπ(k∈Z)，解得a101=，当对于C，函数f(x)=4sin(2x+π3)+1的单调增区间为2kπ−π2≤2x+π对于D，把函数f(x)=4sin(x+π6)+1综上AC符合题意故答案为：AC【分析】运用三角函数图象和性质来判断四个选项中函数图象的对称性、单调性及图象平移是否正确.11．已知函数fxA．函数fx在区间0,+B．函数fx的值域为C．方程fxD．不等式ffx【答案】B,C【解析】【解答】解：画出fx=令log2x−1=0,log2所以fx的图象与x轴交于1对于A，由图象可知，函数fx在区间0,+对于B，由图象可知，函数fx的值域为−1,+对于C，因为f18=由图象可知，方程fx=ff对于D，由图象可知，当12<x<2时，所以，由ffx<0令log2x−1=12令log2x−1=2，解得x=所以，由图象可知，不等式ffx<0故答案为：BC.

【分析】利用分段函数的解析式画出fx三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知|a|=2,|b|=3,e是b方向相同的单位向量，且向量a在向量b方向上的投影向量为−e，求a【答案】2π【解析】【解答】解：因为向量a在向量b上的投影向量为−e所以a⋅即cosa因为a,所以a,故答案为：2π【分析】根据向量a在向量b上的投影向量为−e，再由a⋅bb=13．已知复数z1=3+4i，z2=1【答案】7【解析】【解答】解：因为复数z1=3+4i所以，z1当且仅当z2=−35−故答案为：7.【分析】利用复数的模的三角不等式，从而可求得z114．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD=80，∠ADB=135°，∠BDC=∠DCA=15°，∠ACB=120°，则A，B两点间的距离为.【答案】80【解析】【解答】

因为∠ADB=135°，∠BDC=∠DCA=15°，所以∠ADC=150°，∠DAC=∠DCA=15°，所以AD=CD=80，又因为∠ACB=120°，所以∠BCD=135°,∠CBD=30°，由正弦定理得：BDsin∠BCD=CDsin在△ABD中，由余弦定理得AB所以AB解得AB=805m故答案为：805

【分析】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形的实际应用.先根据题意，利用角的运算可得：∠BCD=135°,∠CBD=30°，再利用正弦定理可得：BD22四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．已知复数z1=1−2i，z（1）求z1（2）若|z|=2，且复数z的虚部等于复数3z1【答案】（1）解：复数z1=1−2i，z（2）解：由题设，3z1−z2所以，可设z=a−i(a∈∴a2+1=4，解得a=∵复数z在复平面内对应的点位于第三象限，∴a<0，即a=−3【解析】【分析】（1）利用已知条件结合复数的乘法运算法则得出复数z1z2。

（2）由题设结合复数的混合运算法则和复数z所以，可设z=a−i(a∈R)16．已知向量a，b满足a=2，b（1）求a−2（2）若向量2a+b【答案】（1）解：a=a=(=a=a=4−4×2×1=12=23（2）解：因为2a+b所以2a化简为：8+2k−1−k>0k≠−所以k>−7k≠−所以，实数k的取值范围为：k>−7且k≠−1【解析】【分析】（1）利用a−2b=a−2（2）利用向量夹角为锐角，则需满足数量积为正并且两个向量不能方向相同，从而代入求解得出实数k的取值范围.（1）a−2b=(=a=a=4−4×2×1=12=2（2）因为2a+b所以2a化简为：8+2k−1−k>0k≠−所以k>−7k≠−故答案为：k>−7且k≠−17．如图，正三棱锥V−ABC中，AB=BC=AC=2,VA=VB=VC=2，点M,N分别为VA,BC的中点，一只蚂蚁从点M出发，沿三棱锥侧面爬行到点N（1）该三棱锥的体积与表面积；（2）蚂蚁爬行的最短路线长.【答案】（1）解：因为AB=BC=AC=2,VA=VB=VC=2所以VA2+VB2又因为VB∩VC=V，VB、VC在面VBC内，得VA⊥面VBC，则VV−ABCS（2）解：如下图：连接MN，线段MN的长度即蚂蚁爬行的最短路线长，在△MCN中，MC=3由余弦定理可得：MN即MN【解析】【分析】（1）将△VBC当作底面，再将VA当作三棱锥的高，由三棱锥体积公式求得三棱锥的体积；再由求出各个面的面积，则由面积公式求和可得三棱锥的表面积.（2）将△AVB与△CVB延VB展开，使得两个三角形在同一个平面上，连接MN，再由余弦定理得出蚂蚁爬行的最短路线长.（1）因为AB=BC=AC=2,VA=VB=VC=2所以VA2+V又VB∩VC=V，VB、VC在面VBC内，得VA⊥面VBC，VV−ABCS（2）如下图：连接MN，线段MN的长度即蚂蚁爬行的最短路线长，△MCN中，MC=3由余弦定理可得：MN即MN18．已知△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b（1）求A的值；（2）若a=3，求△【答案】（1）解：∵m//n，

∴∴b2+c2−a2=​​​​​​​（2）解：由正弦定理得：bsinB=csinC∴b+c∵B∈0,2π3，∴B+π6∈π6【解析】【分析】（1）由向量平行的坐标运算整理求得cosA的值，再根据三角形中角的取值范围，从而可得角A（2）利用正弦定理边化角，再结合三角恒等变换可化简得到b+c=6sinB+π6，再根据角B（1）∵m//n，∴∴b2+c2−a（2）由正弦定理得：bsinB=csin∴b+∵B∈0,2π3，∴a+b+c19．设a∈R，函数f（1）若a>0，判断并证明函数f(（2）若a≠0，函数f(x)在区间[m，n]【答案】（1）解：当a>0时，因为2x>0，所以所以函数f(x)结论：函数f(证明：设对任意的x1，x2∈f=(2因为x1<x2，所以又因为2x1+a>0，2所以2a(所以f(（2）解：因为m<n，所以2m<2又