浙江省湖州市长兴县南太湖联盟2024-2025学年高一下学期3月联考数学试题（解析版）

第第页浙江省湖州市长兴县南太湖联盟2024-2025学年高一下学期3月联考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A=xx≥1,B=A．x0<x<1 B．xx>0 C．xx<1【答案】A【解析】【解答】解：因为A=x所以∁RA=x故答案为：A.【分析】根据已知条件和交集、补集的运算法则，从而得出集合∁R2．已知复数z=i1+i，则复数A．12 B．-12 C．i【答案】A【解析】【解答】解：因为z=i1+i=i(1-i)2【分析】先利用复数的除法运算法则化简复数z，再根据复数的虚部定义，从而得出复数z的虚部.3．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C所对的边，若B=30°,b=2A．45° B．135° C．45°或135° D．120°【答案】C【解析】【解答】解：在△ABC中，由B=30°,b=2,c=2和正弦定理，

因为所以C=45°或C=135°.故答案为：C.【分析】根据已知条件和正弦定理，从而得出角C的值.4．已知向量a=(x,2),b=(2,y),c=(1,−2)A．－1 B．0 C．1 D．2【答案】B【解析】【解答】解：因为向量a=(x,2),b=(2,y),c=(1,−2)，

由a由b//c，得y=−4，

所以故答案为：B.【分析】根据已知条件和向量垂直的坐标表示、共线向量的坐标表示，从而列式计算得出x，y的值，进而得出x+y的值.5．在△ABC中，已知cosC=55A．55 B．15 C．5【答案】C【解析】【解答】解：因为CA⃗⋅CB⃗=所以∣CA∣⋅又因为0<C<π所以sin⁡C=所以S△ABC=故答案为：C.【分析】利用向量点积公式得出∣CA∣⋅∣CB6．已知向量a=(1,−1),b=(−1,3)，若a与aA．λ>12 B．λ>C．λ<12 D．λ<【答案】D【解析】【解答】解：因为向量a=(1,−1),b=(−1,3)，

由a与a+λb的夹角为锐角，

得a⋅(a+λ因此1−λ−(−1+3λ)>0−1+3λ≠−(1−λ)，解得λ<12所以实数λ的取值范围为λ<12且故答案为：D.【分析】根据已知条件和数量积求向量的夹角公式，再结合共线向量的坐标表示得出实数λ的取值范围.7．为了测量某塔的高度，检测员在地面A处测得塔顶T处仰角为30°，从A处向正东方向走了70米到地面B处，测得塔顶T处仰角为60°，若∠AOB=60°，则铁塔OT的高度为（）米A．107 B．1021 C．307【答案】B【解析】【解答】解：设铁塔OT的高度为h，

依题意，得：OA=h在△AOB中，由余弦定理得AB则3h2+所以铁塔OT的高度为1021故答案为：B.【分析】根据已知条件，用铁塔的高度表示OA,OB，再利用余弦定理得出铁塔OT的高度.8．已知单位向量a,b，且向量a,b的夹角为60°，若对任意的A．−14 B．−13 【答案】C【解析】【解答】解：由单位向量a,b，且向量a,b的夹角为60°，由|a+λb则1+λ+λ2≤1+μ+μ2，

因为1+μ+μ2=所以1+λ+λ2≤34，整理得(λ+故答案为：C.【分析】根据已知条件和数量积的运算律，再结合不等式恒成立和二次函数求最值的方法，从而得出实数λ的值.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，选错得得0分．9．下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+∞A．y=x−1x B．y=2x2+1 【答案】B,C【解析】【解答】解：对于A，因为−x−1−x=−x+对于B，由二次函数性质知，y=2x2+1图象关于y对于C，因为y=|x|的定义域为R，且−x=x，

所以函数为偶函数，在区间(0,+对于D，因为y=x−2=1x故答案为：BC.【分析】根据函数的奇偶性和函数的单调性，从而逐项判断找出既是偶函数又在区间(0,+∞10．已知复数z1,zA．z1=z1C．若z1+z2=【答案】A,B,D【解析】【解答】解：对于A：设z1=a+bia,b∈R，则z对于B：令z1=a+bi对于C：设z1=1,z2=满足z1+z因为z1故答案为：ABD.【分析】由复数的模的定义判断出选项A；根据复数的加法运算法则判断出选项B；举反例判断出选项C；由复数的模的性质可判断选项D，从而找出结论一定正确的选项.11．已知平面向量a,b,A．(a−b)⊥aC．|c|最大值为7−【答案】A,B,D【解析】【解答】解：由|b|=2,b⋅(a−b)=−3，

得对于A，因为|a|=1，又因为a−b,对于B，因为|a−tb|=a对于C，由(a−c则|c|2当且仅当a+b,c同向共线时取等号，

又因为对于D，由|c|2则47≤cos2〈a+所以0≤sin故答案为：ABD.

【分析】根据已知条件结合数量积的运算律可得a⋅b=1和|三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知△ABC的周长为3+3，且sinA+sinB=【答案】3【解析】【解答】解：在△ABC中，令三角形中的角A,B,C所对边分别为a,b,c，由sinA+sinB=3sinC，得所以|AB|=c=3故答案为：3.【分析】利用正弦定理角化边，再结合三角形的周长公式得出AB的长.13．已知1−i是方程x2+bx+c=0(b,c∈R【答案】0【解析】【解答】解：由1−i是方程x2+bx+c=0(b,c∈则−b=1−i+1+i=2，c=(1−i所以b+c=0.故答案为：0.【分析】根据已知条件和实系数一元二次方程有虚数根的性质，再结合韦达定理得出b，c的值，从而得出b+c的值.14．已知正实数x，y满足1x−1y=1【答案】1【解析】【解答】解：因为1x所以1y=1所以xx−1当且仅当y+1=4y+1时，即当故答案为：1.【分析】根据已知条件变形，则待求式转化为一元变量后，再利用基本不等式求最值的方法，从而得出xx−1四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．已知复数z=m+(m+m2)（1）若z为纯虚数，求实数m的值；（2）若z在复平面内所对应的点在第二象限，求实数m的取值范围．【答案】（1）解：因为复数z=m+(m+m2)i为纯虚数，所以实数m的值的集合为空集.（2）解：由复数z在复平面内所对应的点(m,m+m2)在第二象限，

得m<0所以实数m的取值范围是m<−1.【解析】【分析】（1）利用复数为纯虚数的判断方法，从而列式求解得出实数m的值.（2）先求出复数z对应的点的坐标，再由点的位置确定所在的象限，从而列出不等式组求解得出实数m的取值范围.（1）复数z=m+(m+m2)所以实数m的值的集合为空集；（2）由z在复平面内所对应的点(m,m+m2)在第二象限，得m<0所以实数m的取值范围是m<−1.16．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C所对的边，若b=acos（1）求tanA（2）若△ABC的面积为16c2【答案】（1）解：由正弦定理可得sinB=因为sinB=所以cosA又因为sinC≠0所以cosA=2sinA（2）解：由tanA=12解得sinA=又因为S=12bc由余弦定理可得a2则ac【解析】【分析】（1）由正弦定理和两角和的正弦公式以及同角三角函数基本关系式，从而得出tanA（2）由（1）中角A的正切值和三角形面积公式以及余弦定理，从而得出ac（1）由正弦定理可得sinB=又sinB=所以cosA又sinC≠0所以cosA=2sinA（2）由tanA=12解得sinA=因为S=12bc由余弦定理可得a2即ac17．已知函数f(x)=sin（1）求实数a的值；（2）若f(x)在[0,π4]（3）在（2）的条件下，若f(x)在[−π【答案】（1）解：因为函数f(x)==2sin又因为函数f(x)max=2+a=1，

（2）解：当x∈[0,π4]时，ωx+π6∈[π6,ωπ4+π6]，（3）解：由（1）（2）知，f(x)=2sin(x+π6)−1，

当x∈[−π6,m]时，x+π6∈[0,m+π得5π6≤m+π【解析】【分析】（1）利用两角和与差的正弦公式以及辅助角公式，从而化简函数f(x)，再结合正弦型函数求最值的方法和函数f(x)的最大值为1，从而得出a的值.（2）先求出相位所在区间，再由正弦型函数的单调递增区间列出不等式，从而求出ω的取值范围.（3）由函数零点可得sin(x+（1）函数f(x)==2sin函数f(x)max=2+a=1所以a的值是−1.（2）当x∈[0,π4]时，ωx+π6∈[π解得ω≤43，而ω∈N所以ω的值是1.（3）由（1）（2）知，f(x)=2sin(x+π6)−1当x∈[−π6,m]时，x+π6得5π6≤m+π所以实数m的取值范围是2π318．如图，在△ABC中，AB=2,AC=1,AB⋅AC=1（1）求AE⋅（2）求cos∠AFB（3）若O为△ABC内一动点，求OA⋅【答案】（1）解：由AB=2,AC=1,AB⋅AC在△ADB中，由AC=1,AD=DC由余弦定理得：BD2=14由勾股定理得：∠ADB=π则以D为坐标原点，如图建立平面直角坐标系，则A−12,0,C12所以AE=则AE⋅（2）解：由图可得：cos（3）解：OA设AB中点为G，

同理可得OA所以OA⋅OB+3OA⋅OC=O则O=4此时x=−116,y=1516，

过点O作x轴垂线垂足为M，过点O则M为AD的八等分点，N为BD的四等分点，

显然此时点O在△ADB内部，满足题意，

所以OA⋅OB+3【解析】【分析】（1）利用数量积求向量夹角公式和余弦定理，从而得出BD的长，由勾股定理证出∠ADB为直角，从而建立直角坐标系，则根据向量共线的坐标表示，从而得出点的坐标和向量的坐标，再结合数量积的坐标表示得出AE⋅（2）利用已知条件和数量积求向量夹角公式，从而得出cos∠AFB（3）利用极化恒等式把数量积转化为中线与边的关系，再利用向量的坐标运算来表示，最后由几何法得出OA⋅（1）由AB=2,AC=1,AB⋅AC在△ADB中，由AC=1,AD=DC由余弦定理得：BD2=所以由勾股定理可得：∠ADB=π则以D为坐标原点，如图建立平面直角坐标系，有：A−12,0,C所以AE=则AE⋅（2）由图可得：cos∠AFB=（3）由OA⋅OC设AB中点为G，同理可得OA⋅所以OA⋅在如图坐标系中，可设Ox,y，G则O=4x此时x=−1即点O作x轴垂线垂足为M，点O作y轴垂线垂足为N，则M为AD的八等分点，N为BD的四等分点，显然此时点O在△ADB内部，满足题意.所以OA⋅OB+319．若三角形ABC内一点P满足∠PAB=∠PBC=∠PCA=θ，则称P为三角形ABC的布洛卡点，θ为三角形ABC的布洛卡角．已知a，b，c分别为三角形ABC三个内角A，B，C所对的边，点P为三角形ABC的布洛卡点，θ为三角形ABC的布洛卡角．（1）若c=2b，且PB=PC=2PA，求三角形ABC的布洛卡角的余弦值；（2）若三角形ABC的面积为S．①证明：a2②当θ=π【答案】（1）解：如图，设PB=x，PC=y，PA=z，

则PB=PC=2PA=2z，

由题意可得∠PAB=∠PCA=θ，则cos∠PAB=cos∠PCAAP2+A则z2则cosθ=（2）①证明：由图可得S=S则要证等式右边等于4Stan由余弦定理得：2czcos同理可得：2axcosθ=a则等式右边等于a2+x2−②解：先证：在三角形中，a2+b由海伦公式得，S=pp−ap−b则S=1故所证不等式等价于证明：a2即证：a2即证：a注意到a23=−3则a4a注意到42a2−b22+b2−c当θ=π6时，由①得，a2+b2+c2【解析】【分析】（1）设PB=x，PC=y，PA=z，由题意和余弦定理以及cos∠PAB=（2）①注意到S=12cz+ax+bysinθ，则可得需证等