广东省佛山市2025年11月高中数学教师解题比赛试题（含答案）

试题注意事项：2025年11月一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.1.数集X={x|x=(2n+1)π,n∈Z}与数集Y={x|x=(4k±1)π,keZ}A.XCYB.XYC.X=YD.X≠YA.D=EB.D=FC.E=FD.D=E=FA.(∞,-1)B.(-∞,1)C.(1,+0∞)D.(-1,+∞)4.设数列{an}的首项a=2025,前n项和S,满足S,=n²an,则a₂025=6.若干毫升水倒入底面半径为2cm的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6cm,若将这些水倒入轴截面A.6√3cmB.6cmC.2³18cmD.3³12cmA.1B.√2A.[6,14]B.[6,12]C.[8,14]D.[8,12]部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.已知两点,若曲线C上存在点P满足|MP|=|NP|,则CA.4x+2y-1=0B.x²+y²=310.为研究某工种的工作时长x(小时)和工作效率y(%)之间的关系，课题研究小组采集了12相关系数(γ)、残差平方和(RSS)、决定系数(R²)、经验回归直线y=bx+a,则剔除法正确的是A.γ变大B.RSS变小C.R²变大D.b变大11.设等差数列a,a₂,…,a(n≥3,n∈N)的公差为d,满足|a₁|+|a₂|+…+|a|=la₁-1|+|a₂-1|+…+|an-1=|a₁+2|+|a₂+2|+…+|a+2|=m,则A.|d|≥3B.n为偶数C.存在i∈N*,满足-2<a,<1D.m的值不可能为11三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.12.方程xn³+x¹n⁴=x”正实数解为 14.已知平行四边形ABCD的四个顶点均在双曲线,点P(0,1)在边AB上，且AP=2PB, 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a<b<c,tanA,tanB,tanC均为整数.(1)求tanA,tanB,tanC的值.(2)设AC的中点为D,求cos∠CDB.AA₁,AC的中点.(1)在平面ABC内过点A作AMI/平面PQB₁交BC于点M,(2)若侧面ACC₁A⊥侧面ABB₁A,求直线A₁C₁与平面PQB所成角的正弦值.已知函,其中a∈R.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若函数f(x)有两个极值点x₁,x₂(x₁<x₂),证明：f(x)+f(x₂)+f(x₁+x₂)>1n2-1.18.(17分)设圆x²+y²+2x-15=0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，1交圆A于C,D两点，过B作AC的平行线交AD于点E,设点E的轨迹为曲线I.19.(17分)某“种子银行”对某种珍稀名贵植物种子采取“活态保存”方法进行保存，即对种子实行定期更换和种植.通过以往的相关数据表明，该植物种子的出芽率为p(0<p<1),每颗种子是否发芽相互独立.现任取该植物种子2n-1颗进行种植，若种子的出芽数X超过半数，则可认为种植成功(n≥2).(2)现拟加种两颗该植物种子，试分析能否提高种植成功率?2025年佛山市高中数学教师解题能力比赛试题参考答案与评分标准2025年11月一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号答案C二、选择题：本题共4小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.题号答案三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.答案很多，比如：在n个人中选择m个人搞卫生，其中k个人擦窗，m-k个人拖地.四、解答题：本大题共5小题，共计77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a<b<c,tanA,tanB,tanC均为整数.(2)设AC的中点为D,求cos∠CDB.【解析】由三角形中的正切恒等式tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC可猜值为1,2,3.(1)由于a<b<c,tanA,tanB,tanC均为整数，A+B+C=π,,于是进一步结合①和题干条件，可知tanB≥2,tanC≥3,,解得tanC≤3,………5分从而tanC=3,所以tanA=1,tanB=2,tanC=3.……7分(2)以D为原点建立平面直角坐标系如图所示，则由(1)可知kAB=1,kBc=-3,直线AB:,直线BC:,联立得法二：作高线法!如图，作BH⊥AC于H,不妨设CH=1,则BH=3,AH=3,DH=1,.……13分AA₁,AC的中点.(1)在平面ABC内过点A作AMI/平面PQB₁交BC于点M,(2)若侧面ACC₁A₁⊥侧面ABB₁A₁,求直线A₁C₁与平面PQB₁所成角的正弦值.(2)连结PC₁,AC₁,因为AA₁=AC=4,∠C₁A₁A=60°,又侧面ACC₁A₁⊥侧面ABB₁A,侧面ACC₁A₁∩侧面ABB₁A₁=AA,A(0,-2,0),c(0,-4,2√3),Q(0,-3,√3),B,(√3,1,0),A₁C=(0,-2,2√3),PQ=(0,-3,√3),PB₁=(√3,1,0),…………9分设直线A₁C₁与平面PQB₁所成角为θ,①连结A₁B和A₁C,过A作ANIIPB₁交A₁B于N,过N作NMIIA₁C交BC于M,连结AM.②延长BA,B₁P交于R,连结RQ并延长交BC于K,过A作AMIIQK交BC于M,连结AM.③过A作AN//PB₁交B₁B于N,过A作AS//PQ交C₁C延长线于S,连结NS交BC于M.(1)讨论f(x)的单调性；当a>0时，-a<0,令△=1-4a²,且f'(x)<0⇔0<x<x₁或x>x₂,f'(x)>0⇔x<x<x₂·所以0<x₁<1<x₂,则令h(x)=-lnx-1+x²,则…B作AC的平行线交AD于点E,设点E的轨迹为曲线厂.(1)求I的方程；【解析】(1)圆A即(x+1)²+y²=16,圆心A(-1,0),依题意，cos∠PBM=cos∠PBN,即,…………11分又BP=(-1,1),BM=(x₁-1,y),BN=(x₂-1,y2),……13分……整理得(x₂-x₁)(4k+m-3)=0,因为x₁≠x₂,所以4k+m-3=0,…15分与直线y=kx+m即kx+m-y=0对比，可知MN过定点(4,3).……17分19.(17分)某“种子银行”对某种珍稀名贵植物种子采取“活态保存”方法进行保存，即对种子实行定期更换和种植.通过以往的相关数据表明，该植物种子的出芽率为p(0<p<1),每颗种子是否发芽相互独立.现任取该植物种子2n-1颗进行种植，若种子的出芽数X超过半数，则可认为种植成功(n≥2).(2)现拟加种两颗该植物种子，试分析能否提高种植成功率?【解析】(1)由题意可知，X服从二项分布故种植成功的概率(2)设种植2n-1颗种子时，种植成功的概率为P,拟加种两颗该植物种子时，种植成功的概率为P₂,当种植2n+1颗种子时，考虑前2n-1颗种子出芽数，为了种植成功，前2n-1颗种子中至少要有n-1①前2n-1颗种子中恰有n-1颗出芽，它的概率为C2-1p”⁻¹(1-p)”,此时后两颗种子必须都要出芽，所以这种情况下种植成功的概率为C2-1p”⁻¹(1-p)”·p²;…7分②前2n-1颗种子恰有n颗出芽，它的概率为C2n-IP”(1-p)”⁻¹,此时后两颗种子至少有一颗出芽即可，所以这种情况下种植成功的概率为C2n-1D"(1-p)⁻¹.[1-(1-p)²]:……………9分③前2n-1颗种子至少有n+1颗出芽，它的概率为P-C2n-1p”(1-p)”⁻¹,此时种植一定成功.…11分所以P₂=C2-1p⁰⁻¹(1-p)"·p²+C20-1D"(1-p)²⁻¹.[1-(1-p)²