2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛决赛第一天试题（含答案）

第一天1.定义复数集C的子集2.设凸四边形ABCD内接于圆心为O、半径为1的圆，且满足(2)求TB+TC的所有可能值.1、定义复数集C的子集求所有的一元复系数多项式P(z),使得对任意z∈A,都有P(z)∈B.(单项式也是多项式)y=x)的方向无限延伸.题目要求找多项式P(z)把扇形A里的所有点都映射到长条B①设P(z)的次数为n,当n=0即P(z)是常数：设P(z)=c(c是一个固定的复数),对任意设c=xo+iy,只要|x₀-y。|<2025即可.因此常数多项式P(z)=c,只要c∈B,就是解.穷远)时，多项式P(z)=anz“+…+ao的行为主要由最高次项anz”决定.图像在无穷远处的张角(角度范围)大约会变成输P(A)的图像在无穷远处也是一个扇形，其张角是·扇形的宽度：一个张角固定的扇形，离原点越集合B的宽度：集合B是两条平行线之间的区域，它的宽度是固定的，不会随着距离何易阳高中数学变大而变宽.矛盾：一个在无穷远处宽度无限大的扇形区域P(A),不可能被塞进一个宽度固定的长2、设凸四边形ABCD内接于圆心为0,半径为1的圆，且满足∠ABC<∠BCD<90°.设P为直线BA与CD的交点，Q为对角线AC与BD的交点.已知线段BC上存在一点K,使得(1)求OP的所有可能值(2)求TB+TC的所有可能值PK²=PA·PB,对圆外一点P,其对单位圆的幂为PA·PB=OP²-R²=OP²-1,在△OPK中，有OP≤OK+KP,将①和②代入，设ξ=OP²(ξ>1),则(此时0,K,P三点共线，且K为OP的中点)(2)以0为原点，建立坐标系，直线OP为实轴，由(1)可知O,K,P共线，设P对应复数K对应复数,0对应0.K位于线段BC上，故直线BC过点iQ位于P关于圆O的极线上，P(p,0),其极线方程为x·p=1即点Q的实部为,已知QT⊥BC,T在OP(即实轴)上，设直线BC的斜率为m(若BC⊥OP则斜率不存在，此处讨论一般情况).直线BC过,方程为,直线QT过点且垂直于BC,方程为,点T是QT与实轴的交点令何易阳高中数学y=0得③下利用自极三角形性质：设E=AD∩BC,由于P,Q,E构成自极三角形，0为其垂心.特别是直线QE是P的极线且BC(即EK线)过E,,因E在BC上，代入BC方程得又因0为△PQE的垂心故OE⊥PQ,得代入得代入③得xr=√3=OT·因OT.OK=√3.,知T和K是关于单位圆O的反演点.根据反演点的性质，对于圆上任意一点Z,有常数.问题转化为求过定点K的弦BC的长度范围，同时满足∠ABC<∠BCD<90°··上界：弦长随着倾斜角增大而增大，当弦BC使得C和D重合(即CD成为切线)时，达到该凸四边形存在的极限情况，切线长,当C为切点时△POC中∠POC=30°,可算得过K的弦BC=√3,该值同样取不到，对应的TB+TC上界为33、设n是正整数，有n张红色卡片与n张蓝色卡片，最初每张红色卡片上都写有一个实数0每张蓝色卡片上都写有一个实数1.一次操作是指：选择一张红色卡片与一张蓝色卡片，满足红色卡片上的实数x小于蓝色卡片上的实数y,将这两个实数擦去，并在这两张卡片上都写下实数.求最小的正整数n,使得可以适当地进行有限次操作，让所有n张红色卡片上的实数之和大于100解：设a₁,a₂,…,an为红色卡片上的实数，初始均为0;b₁,b2,…,bn为蓝色卡片上的实数，初始均为1.记S₄=∑a和SB=∑b.初始时S₄=0,Sg=n.每次操作选择a<b,更新为.由于,操作前后总和S+SB=n保持不变.要使S>100,即要求SB<n-100,需要找到最小的Sg的可能值.采用贪心策略，使得每张蓝色卡片尽可能何易阳高中数学与较小的红色卡片进行平均操作.归纳分析第n步后蓝色卡片之和的最小值为:①设f(n)为n对卡片操作后，蓝色卡片之和的最小值，当n=1时，我们有1张红卡0和1张蓝卡1,操作取0和1,变为,此时红卡为0.5,蓝卡为0.5.蓝卡总和f(1)=0.5,验证,满足；当n=2时，红卡{0,0},蓝卡{1,1},操作(交叉),取a₁=0,b₁=1→0.5,0.5,此时红卡{0,0.5},蓝卡{1,0.5},再取较小的红0和蓝0.5平均→0.25,0.25,取剩下的红0.5和剩下的蓝1平均→0.75,0.75,最后取红0.25和蓝0.75平均→0.5,0.5,得红卡{0.5,0.75},蓝卡{0.25,0.5},此时蓝卡之和最小为得递推公式：.③代入递推公式验证成立.根据数学归纳法得证.则等价求最小的正整数满