蒙古北京八中乌兰察布分校2026届数学高一下期末学业质量监测试题含解析

蒙古北京八中乌兰察布分校2026届数学高一下期末学业质量监测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．《九章算术》卷第五《商功》中，有问题“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”，意思是：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽丈，长丈；上棱长丈，无宽，高丈（如图）．问它的体积是多少?”这个问题的答案是（）A．立方丈 B．立方丈C．立方丈 D．立方丈2．已知函数，若对于恒成立，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．3．已知，则的值等于()A． B． C． D．4．已知，则下列不等式成立的是（）A． B． C． D．5．如图，正四面体，是棱上的动点，设（），分别记与，所成角为，，则（）A． B． C．当时， D．当时，6．为了了解运动员对志愿者服务质量的意见，打算从1200名运动员中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段间隔为A．40 B．20 C．30 D．127．已知某7个数据的平均数为5，方差为4，现又加入一个新数据5，此时这8个数的方差为（）A． B．3 C． D．48．函数的单调减区间为A．B．C．D．9．若直线mx+2y+m=0与直线3mx+(m-1)y+7=0平行，则m的值为（）A．7 B．0或7 C．0 D．410．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则满足条件的的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．无数多个二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典著，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一”.该术相当于给出圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式为.该结论实际上是将圆锥体积公式中的圆周率取近似值得到的.则根据你所学知识，该公式中取的近似值为______.12．已知数列为等比数列，，，则数列的公比为__________．13．已知等比数列中，，，则该等比数列的公比的值是______.14．函数在区间上的值域为______.15．若等差数列和等比数列满足，，则_______.16．设，为单位向量，其中，，且在方向上的射影数量为2，则与的夹角是___．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知，（1）求；（2）若，求.18．如图，在中，角，，的对边分别为，，，且.（1）求的大小；（2）若，为外一点，，，求四边形面积的最大值.19．设数列的前项和为，已知．（1）求，的值；（2）求证：数列是等比数列．20．在平面直角坐标系中，为坐标原点，三点满足.(1)求证：三点共线；(2)已知的最小值为，求实数的值.21．已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，的平分线所在直线方程为，求：（Ⅰ）顶点的坐标；（Ⅱ）直线的方程

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】过点分别作平面和平面垂直于底面，所以几何体的体积分为三部分中间是直三棱柱，两边是两个一样的四棱锥，所以立方丈，故选A.2、A【解析】

首先设，将题意转化为，即可，再分类讨论求出，解不等式组即可.【详解】，恒成立，等价于，恒成立.令，对称轴为.即等价于，即可.当时，得到，解得：.当时，得到，解得：.当时，得到，解得：.综上所述：.故选：A【点睛】本题主要考查二次不等式的恒成立问题，同时考查了二次函数的最值问题，分类讨论是解题的关键，属于中档题.3、D【解析】，所以，则，故选择D.4、D【解析】

利用排除法，取，，可排除错误选项，再结合函数的单调性，可证明D正确.【详解】取，，可排除A，B，C，由函数是上的增函数，又，所以，即选项D正确.故选：D.【点睛】本题考查不等式的性质，考查学生的推理论证能力，属于基础题.5、D【解析】作交于时，为正三角形，，是与成的角，根据等腰三角形的性质，作交于，同理可得，当时，，故选D．6、C【解析】

根据系统抽样的定义和方法，结合题意可分段的间隔等于个体总数除以样本容量，即可求解.【详解】根据系统抽样的定义和方法，结合题意可分段的间隔，故选C.【点睛】本题主要考查了系统抽样的定义和方法，其中解答中熟记系统抽样的定义和方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7、C【解析】

由平均数公式求得原有7个数的和，可得新的8个数的平均数，由于新均值和原均值相等，因此由方差公式可得新方差．【详解】因为7个数据的平均数为5，方差为4，现又加入一个新数据5，此时这8个数的平均数为，方差为，由平均数和方差的计算公式可得，.故选：C.【点睛】本题考查均值与方差的概念，掌握均值与方差的计算公式是解题关键．8、A【解析】

根据正弦函数的单调递减区间，列出不等式求解，即可得出结果.【详解】的单调减区间为，,解得函数的单调减区间为.故选A.【点睛】本题主要考查三角函数的单调性，熟记正弦函数的单调区间即可，属于常考题型.9、B【解析】

根据直线和直线平行则斜率相等，故m(m-1)=3m×2，求解即可。【详解】∵直线mx+2y+m=0与直线3mx+(m-1)y+7=0平行，∴m(m-1)=3m×2，∴m=0或7，经检验，都符合题意，故选B.【点睛】本题属于基础题，利用直线的平行关系，斜率相等求解参数。10、B【解析】

直接由正弦定理分析判断得解.【详解】由正弦定理得,所以C只有一解，所以三角形只有一解.故选：B【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、3【解析】

首先求出圆锥体的体积，然后与近似公式对比，即可求出公式中取的近似值.【详解】由题知圆锥体的体积，因为圆锥的底面周长为，所以圆锥的底面面积，所以圆锥体的体积，根据题意与近似公式对比发现，公式中取的近似值为.故答案为：.【点睛】本题考查了圆锥体的体积公式，属于基础题.12、【解析】

设等比数列的公比为，由可求出的值.【详解】设等比数列的公比为，则，，因此，数列的公比为，故答案为：.【点睛】本题考查等比数列公比的计算，在等比数列的问题中，通常将数列中的项用首项和公比表示，建立方程组来求解，考查运算求解能力，属于基础题.13、【解析】

根据等比通项公式即可求解【详解】故答案为：【点睛】本题考查等比数列公比的求解，属于基础题14、【解析】

由二倍角公式降幂，再由两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，结合正弦函数性质可求得值域．【详解】，，则，.故答案为：．【点睛】本题考查三角恒等变换（二倍角公式、两角和的正弦公式），考查正弦函数的的单调性和最值．求解三角函数的性质的性质一般都需要用三角恒等变换化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数的性质得出结论．15、【解析】

设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题中条件求出、的值，进而求出和的值，由此可得出的值.【详解】设等差数列的公差和等比数列的公比分别为和，则，求得，，那么，故答案为.【考点】等差数列和等比数列【点睛】等差、等比数列各有五个基本量，两组基本公式，而这两组公式可看作多元方程，利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）问题，因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题，所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.16、【解析】

利用在方向上的射影数量为2可得：，即可整理得：，问题得解.【详解】因为在方向上的射影数量为2，所以，整理得：又，为单位向量，所以.设与的夹角，则所以与的夹角是【点睛】本题主要考查了向量射影的概念及方程思想，还考查了平面向量夹角公式应用，考查转化能力及计算能力，属于中档题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】

（1）两边平方可得，根据同角公式可得，；（2）根据两角和的正切公式，计算可得结果.【详解】（1）因为，所以，即.因为，所以，所以，故.（2）因为，所以，所以.【点睛】本题考查了两角同角公式，二倍角正弦公式，两角和的正切公式，属于基础题.18、（1）（2）【解析】

（1）由余弦定理和诱导公式整理，得到，求出；（2）在中，用余弦定理表示出，判断是等腰直角三角形，再利用三角形面积公式表示出，再利用辅助角公式化简，求出四边形面积的最大值.【详解】（1）在中，由，所以∵，∴，∴，又∵，∴.又∵，∴，即为.（2）在中，，，由余弦定理可得，又∵，∴为等腰直角三角形，∴，∴当时，四边形面积有最大值，最大值为.【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形、诱导公式、三角形面积公式和利用三角函数求最值，考查学生的分析转化能力和计算能力，属于中档题.19、（1），（2）见解析【解析】

（1）依次令,,解出即可。（2）由知当时，两式相减，化简即可得证。【详解】解（1）∵，∴当时，；当时，，∴；当时，，∴.（2）证明：∵，①∴当时，，②①-②得，∴，即.∴．∵.∴，∴.即是以4为首项，2为公比的等比数列．【点睛】本题考查公式的应用，属于基础题。20、（1）证明过程见解析；（2）【解析】试题分析：（1）只需证得即可。（2）由题意可求得的解析式，利用换元法转换成，讨论的单调性，可知其在上为单调减函数，得可解得的值。（1）证明：三点共线.（2），，令，其对称轴方程为在上是减函数，。点睛：证明三点共线的方法有两种：一、求出其中两点所在直线方程，验证第三点满足直线方程即可；二、任取两点构造两个向量，证明两向量共线即可。在考试中经常采用第二种方法，便于计算。证明四点共线一般采用第一种方法。21