2026届上海市交通大学附属中学嘉定分校高一数学第二学期期末联考试题含解析

2026届上海市交通大学附属中学嘉定分校高一数学第二学期期末联考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．为了了解某同学的数学学习情况，对他的6次数学测试成绩进行统计，作出的茎叶图如图所示，则下列关于该同学数学成绩的说法正确的是()A．中位数为83 B．众数为85 C．平均数为85 D．方差为192．已知向量，满足：则A． B． C． D．3．在空间中，有三条不重合的直线，，，两个不重合的平面，，下列判断正确的是A．若∥，∥，则∥ B．若，，则∥C．若，∥，则 D．若，，∥，则∥4．如图，在正方体，点在线段上运动，则下列判断正确的是（）①平面平面②平面③异面直线与所成角的取值范围是④三棱锥的体积不变A．①② B．①②④ C．③④ D．①④5．某班有男生30人，女生20人，按分层抽样方法从班级中选出5人负责校园开放日的接待工作．现从这5人中随机选取2人，至少有1名男生的概率是（）A． B． C． D．6．如图，，下列等式中成立的是（）A． B．C． D．7．如果且，那么的大小关系是（）A． B．C． D．8．已知点在角的终边上，函数图象上与轴最近的两个对称中心间的距离为，则的值为（）A． B． C． D．9．在等差数列中，，则（）A． B． C． D．10．已知，，，若，则等于（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知圆的圆心在直线，与y轴相切，且被直线截得的弦长为，则圆C的标准方程为________.12．已知，则与的夹角等于____.13．异面直线，所成角为，过空间一点的直线与直线，所成角均为，若这样的直线有且只有两条，则的取值范围为___________________.14．若圆弧长度等于圆内接正六边形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为________.15．设x、y满足约束条件，则的取值范围是______.16．在中，，，，则的面积等于______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图所示，平面平面，四边形为矩形，，点为的中点.(1)若，求三棱锥的体积；(2)点为上任意一点，在线段上是否存在点，使得?若存在，确定点的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由.18．（1）从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为，求为整数的概率？（2）两人相约在7点到8点在某地会面，先到者等候另一个人20分钟方可离去．试求这两人能会面的概率？19．已知向量，.求：（1）；（2）与的夹角的余弦值；（3）求的值使与为平行向量.20．为了了解当下高二男生的身高状况,某地区对高二年级男生的身高(单位:)进行了抽样调查,得到的频率分布直方图如图所示.已知身高在之间的男生人数比身高在之间的人数少1人.(1)若身高在以内的定义为身高正常,而该地区共有高二男生18000人,则该地区高二男生中身高正常的大约有多少人?(2)从所抽取的样本中身高在和的男生中随机再选出2人调查其平时体育锻炼习惯对身高的影响,则所选出的2人中至少有一人身高大于185的概率是多少?21．已知等比数列的前n项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）记，求的前n项和.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】试题分析：A选项，中位数是84；B选项，众数是出现最多的数，故是83；C选项，平均数是85，正确；D选项，方差是，错误．考点：茎叶图的识别‚相关量的定义2、D【解析】

利用向量的数量积运算及向量的模运算即可求出．【详解】∵||=3，||=2，|+|=4，∴|+|2=||2+||2+2=16，∴2=3，∴|﹣|2=||2+||2﹣2=9+4﹣3=10，∴|﹣|=，故选D．【点睛】本题考查了向量的数量积运算和向量模的计算，属于基础题．3、C【解析】

根据空间中点、线、面的位置关系的判定与性质，逐项判定，即可求解，得到答案．【详解】由题意，A中，若∥，∥，则与可能平行、相交或异面，故A错误；B中，若，，则与c可能平行，也可能垂直，比如墙角，故B错误；C中，若，∥，则,正确；D中，若，，∥，则与可能平行或异面，故D错误；故选C．【点睛】本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，其中解答中熟记空间中点、线、面的位置关系，以及线面位置关系的判定定理和性质定理是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于中档试题．4、B【解析】

①连接DB1，容易证明DB1⊥面ACD1，从而可以证明面面垂直；②连接A1B，A1C1容易证明平面BA1C1∥面ACD1，从而由线面平行的定义可得；③分析出A1P与AD1所成角的范围，从而可以判断真假；④=，C到面AD1P的距离不变，且三角形AD1P的面积不变；【详解】对于①，连接DB1，根据正方体的性质，有DB1⊥面ACD1，DB1⊂平面PB1D，从而可以证明平面PB1D⊥平面ACD1，正确．②连接A1B，A1C1容易证明平面BA1C1∥面ACD1，从而由线面平行的定义可得A1P∥平面ACD1，正确．③当P与线段BC1的两端点重合时，A1P与AD1所成角取最小值，当P与线段BC1的中点重合时，A1P与AD1所成角取最大值，故A1P与AD1所成角的范围是，错误；④=，C到面AD1P的距离不变，且三角形AD1P的面积不变．∴三棱锥A﹣D1PC的体积不变，正确；正确的命题为①②④．故选B．【点睛】本题考查空间点、线、面的位置关系，空间想象能力，中档题．5、D【解析】

由题意，男生30人，女生20人，按照分层抽样方法从中抽取5人，则男生为人，女生为，从这5人中随机选取2人，共有种，全是女生的只有1种，所以至少有1名女生的概率为，故选D.6、B【解析】

本题首先可结合向量减法的三角形法则对已知条件中的进行化简，化简为然后化简并代入即可得出答案．【详解】因为，所以，所以，即，故选B．【点睛】本题考查的知识点是平面向量的基本定理，考查向量减法的三角形法则，考查数形结合思想与化归思想，是简单题．7、B【解析】

取，故选B.8、C【解析】由题意，则，即，则；又由三角函数的定义可得，则，应选答案C．9、B【解析】

利用等差中项的性质得出关于的等式，可解出的值.【详解】由等差中项的性质可得，由于，即，即，解得，故选：B.【点睛】本题考查等差中项性质的应用，解题时充分利用等差中项的性质进行计算，可简化计算，考查运算能力，属于基础题.10、A【解析】

根据向量的坐标运算法则,依据题意列出等式求解.【详解】由题知:,,,因为,所以,故,故选:A.【点睛】本题考查向量的坐标运算,属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、或【解析】

由圆心在直线x﹣3y＝0上，设出圆心坐标，再根据圆与y轴相切，得到圆心到y轴的距离即圆心横坐标的绝对值等于圆的半径，表示出半径r，距离d，由圆的半径r及表示出的d利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解得到t的值，从而得到圆心坐标和半径，根据圆心和半径写出圆的方程即可．【详解】设圆心为（3t，t），半径为r＝|3t|，则圆心到直线y＝x的距离d|t|，而（）2＝r2﹣d2，9t2﹣2t2＝7，t＝±1，∴圆心是（3，1）或（-3，-1）故答案为或．【点睛】本题综合考查了垂径定理，勾股定理及点到直线的距离公式．根据题意设出圆心坐标，找出圆的半径是解本题的关键．12、【解析】

根据向量的坐标即可求出，根据向量夹角的公式即可求出．【详解】∵，，，，∴，又，∴．故答案为：．【点睛】考查向量坐标的数量积运算，向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式，属于基础题．13、【解析】

将直线，平移到交于点，设平移后的直线为，，如图，过作及其外角的角平分线，根据题意可以求出的取值范围.【详解】将直线，平移到交于点，设平移后的直线为，，如图，过作及其外角的角平分线，异面直线，所成角为，可知，所以，所以在方向，要使有两条，则有：，在方向，要使不存在，则有，综上所述，.故答案为：【点睛】本题考查了异面直线的所成角的有关性质，考查了空间想象能力.14、1【解析】

根据圆的内接正六边形的边长得出弧长，利用弧长公式即可得到圆心角.【详解】因为圆的内接正六边形的边长等于圆的半径，所以圆弧长所对圆心角的弧度数为1.故答案为：1【点睛】此题考查弧长公式，根据弧长求圆心角的大小，关键在于熟记圆的内接正六边形的边长.15、【解析】

由约束条件可得可行域，将问题转化为在轴截距取值范围的求解；通过直线平移可确定的最值点，代入点的坐标可求得最值，进而得到取值范围.【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：将的取值范围转化为在轴截距的取值范围问题由平移可知，当过图中两点时，在轴截距取得最大和最小值，，的取值范围为故答案为：【点睛】本题考查线性规划中的取值范围问题的求解，关键是能够将问题转化成直线在轴截距的取值范围的求解问题，通过数形结合的方式可求得结果.16、【解析】

先用余弦定理求得，从而得到，再利用正弦定理三角形面积公式求解.【详解】因为在中，，，由余弦定理得，所以由正弦定理得故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)；(2)存在，为中点，证明见解析.【解析】

（1）先根据面积垂直的性质得到平面；再由题中数据，结合棱锥体积公式，即可求出结果；（2）先由线面垂直的性质得到为中点时，有.再给出证明：取中点，连接，，，由线面垂直的判定定理，以及面面垂直的性质定理，证明平面，再由线面垂直的性质定理，即可得出结果.【详解】(1)因为四边形为矩形，所以，又平面平面，所以平面；又，所以，因此三棱锥的体积为：；(2)当为中点时，有.证明如下:取中点，连接，，.∵为的中点，为的中点，∴，又∵，∴，∴四点共面.∵平面平面，平面平面，平面，，∴平面，又平面，∴，∵，为的中点，∴，又，∴平面，又平面，∴，即.【点睛】本题主要考查求棱锥的体积，以及补全线线垂直的条件，熟记棱锥体积公式，以及线面垂直、面面垂直的判定定理与性质定理即可，属于常考题型.18、（1）；（2）【解析】

（1）分别求出基本事件总数及为整数的事件数，再由古典概型概率公式求解；（2）建立坐标系，找出会面的区域，用会面的区域面积比总区域面积得答案．【详解】（1）所有的基本事件共有4×3=12个，记事件A={为整数}，因为，则事件A包含的基本事件共有2个，∴p（A）=；（2）以x、y分别表示两人到达时刻，则．两人能会面的充要条件是．建立直角坐标系如下图：∴P=．∴这两人能会面的概率为．【点睛】本题考查古典概型与几何概型概率的求法，考查数学转化思想方法，是基础题．19、（1）5（2）（3）【解析】

(1)利用向量坐标运算法则,先求出向量的坐标,再求模;(2)利用两个向量的数量积的定义和公式,则可求出与的夹角的余弦值;(3)利用两个向量共线的性质,求出的值.【详解】(1)向量,,,;(2)设与的夹角为,∵,,,所以,即与的夹角的余弦值为;(3)由题可得:,∵与为平行向量,∴,解得,即满足使与为平行向量.【点睛】本题主要考查向量的坐标运算,涉及向量的模,数量积,共线等相关知识,属于基础题.20、(1)12600；(2).【解析】

（1）由频率分布直方图知，身高正常的频率，于是可得答案；（2）先计算出样本容量，再找出样本中身高在中的人数，从而利用古典概型公式得到答案.【详解】（1）由频率分布直方图知，身高正常的频率为0.7，所以估计总体，即该地区所有高二年级男生中身高正常的频率为0.7，所以该地区高二男生中身高正常的大约有人.（2）由所抽取样本中身高在的频率为，可知身高在的频率为，所以样本容量为，则样本中身高在中的有3人，记为，身高在中的有2人，记为，从这5人中再选2人