初中数学几何知识点总结与练习题

初中数学几何知识点总结与练习题几何，作为初中数学的重要组成部分，不仅是培养逻辑思维能力和空间想象能力的关键，也是后续数学学习的基础。它不像代数那样更多依赖运算，而是强调对图形的观察、分析以及公理定理的灵活运用。学好几何，首先要吃透基本概念，掌握公理、定理和推论的来龙去脉，其次要勤于动手画图、辅助线添加，更要通过适量练习来巩固和深化理解，最终达到能够清晰、规范地表达推理过程。一、几何初步与三角形1.1点、线、角几何图形由点、线、面、体构成。点是最基本的图形，线分为直线、射线和线段。直线没有端点，可向两方无限延伸；射线有一个端点，可向一方无限延伸；线段有两个端点，有具体长度。两点确定一条直线，两点之间线段最短。角是由公共端点的两条射线组成的图形。角的度量单位是度、分、秒。角按大小可分为锐角（小于90°）、直角（等于90°）、钝角（大于90°小于180°）、平角（等于180°）和周角（等于360°）。余角和补角：如果两个角的和是直角（90°），那么称这两个角互为余角；如果两个角的和是平角（180°），那么称这两个角互为补角。同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等。1.2相交线与平行线相交线：两条直线相交，会形成对顶角和邻补角。对顶角相等，邻补角互补。当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。垂线的性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短（垂线段最短）。平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。平行线的判定与性质是这部分的核心：*判定（由角的关系推导线的平行）：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行。*性质（由线的平行推导角的关系）：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补。1.3三角形三角形的基本概念：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。三角形有三条边、三个内角和三个顶点。三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。三角形三个内角的和等于180°。三角形按角可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；按边可分为不等边三角形、等腰三角形和等边三角形。三角形的重要线段：*中线：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段，三角形三条中线交于一点，叫做重心。*角平分线：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段，三角形三条角平分线交于一点，叫做内心（内切圆圆心）。*高：从三角形一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段，三角形三条高所在直线交于一点，叫做垂心。全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。全等三角形的对应边相等，对应角相等。全等三角形的判定方法：SSS（边边边）、SAS（边角边）、ASA（角边角）、AAS（角角边）、HL（斜边、直角边，仅适用于直角三角形）。等腰三角形与等边三角形：*等腰三角形的两腰相等，两底角相等（等边对等角）。等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（三线合一）。*如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）。*等边三角形的三条边都相等，三个内角都相等，且均为60°。等边三角形是特殊的等腰三角形。直角三角形：有一个角为90°的三角形叫做直角三角形。直角三角形的两个锐角互余。直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么a²+b²=c²。其逆定理也成立：如果三角形的三边长a、b、c满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。二、四边形2.1平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。性质：平行四边形的对边平行且相等；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分。平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形。2.2特殊的平行四边形矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。*性质：矩形具有平行四边形的所有性质；矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等。矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形。*判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形。菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。*性质：菱形具有平行四边形的所有性质；菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形。*判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形。正方形：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。*性质：正方形同时具有矩形和菱形的所有性质。它的四条边都相等，四个角都是直角，对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形。*判定：既是矩形又是菱形的四边形是正方形。2.3梯形定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。两腰相等的梯形叫做等腰梯形；有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。等腰梯形的性质：等腰梯形同一底边上的两个角相等；等腰梯形的两条对角线相等。等腰梯形是轴对称图形。等腰梯形的判定：同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形；对角线相等的梯形是等腰梯形。三、圆3.1圆的基本概念在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所经过的封闭曲线叫做圆。固定的点O叫做圆心，线段OA叫做半径。圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。圆也是中心对称图形，圆心是它的对称中心。垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。（推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。）圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。*在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。*半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。3.2点与圆、直线与圆的位置关系点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d。则有：点P在圆外⇔d>r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d<r。直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d。则有：直线l和⊙O相离⇔d>r；直线l和⊙O相切⇔d=r；直线l和⊙O相交⇔d<r。*切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径。*切线的判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。四、图形的变换平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等。轴对称：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。对于两个图形，如果沿一条直线对折后，它们能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴。成轴对称的两个图形对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等。旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。旋转不改变图形的形状和大小。经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等。全等变换：平移、轴对称、旋转都不改变图形的形状和大小，因此它们都属于全等变换。相似：形状相同但大小不一定相同的图形叫做相似图形。相似多边形对应角相等，对应边的比相等。相似比为1的两个图形全等。*相似三角形的判定：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似。*相似三角形的性质：相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。五、几何作图尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规来作图。初中阶段需要掌握的基本作图包括：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知角的平分线；作线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线；利用基本作图作三角形（已知三边、已知两边及其夹角、已知两角及其夹边等）。作图时要保留作图痕迹，并写出作法。六、练习题A.基础巩固题1.选择题：下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A.1，2，3B.2，3，4C.2，2，5D.3，4，8（考查知识点：三角形三边关系）2.填空题：在△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，则∠C=______度，这个三角形是______三角形。（考查知识点：三角形内角和定理，直角三角形的判定）3.解答题：如图，已知AB=AD，∠BAC=∠DAC，求证：△ABC≌△ADC。（考查知识点：全等三角形的判定SAS）4.选择题：菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A.对边平行B.对边相等C.对角线互相平分D.对角线互相垂直（考查知识点：菱形与平行四边形的性质区别）5.填空题：已知⊙O的半径为5cm，点P到圆心O的距离为3cm，则点P在⊙O的______（填“内部”、“外部”或“上”）。（考查知识点：点与圆的位置关系）B.能力提升题6.解答题：如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=4cm，求矩形对角线的长。（考查知识点：矩形的性质，等边三角形的判定与性质）7.证明题：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，求证：四边形AECF是平行四边形。（考查知识点：平行四边形的性质与判定）8.解答题：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，求斜边AB上的高CD的长。（考查知识点：勾股定理，三角形面积公式）9.证明题：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AD垂直于过点C的切线，垂足为D。求证：AC平分∠DAB。（考查知识点：切线的性质，圆周角定理，角平分线的判定）10.作图题：已知线段a和∠α，求作△ABC，使AB=AC=a，∠A=∠α。（要求：保留作图痕迹，不写作法）（考查知识点：等腰三角形的作图）练习题解题思路提示*A1：根据三角形任意两边之和大于第三边进行判断。*A2：设每份角度为x，利用内角和180°列方程求解。*A3：观察图形，已知一组边和一个角对应相等，公共边AC是第三个条件。*A4：回忆菱形的特殊性质。*A5：比较点到圆心距离与半径大小。*B6：矩形对角线相等且互相平分，结合∠AOB=60°可得到等边三角形。*B7：利用平行四边形对边平行且相等的性质，证明AE与CF平行且相等。*B8：先由勾股定理求出AB，再利用面积法（AC×BC=AB×CD）求高。*B9：连接OC，利用切线性质得OC⊥CD，再结合AD⊥CD，得到OC∥AD，进而利用等腰三角形性质或圆周角定理。*B10：先作角∠A等于已知角α，再在角的两边上分别截取AB=AC=a，连接BC即可。七、总结与建议几何学习是一个循序渐进的过程。首先，要熟练掌握所有的基本概念、公理、定理和推论，这是进行推理证明的基础。其次，要学会观察图形，从复杂图形中分解出基本图形，识别出隐含的条件。辅助线的添加是解决几何难题的关键，要多总结常见辅