北师大版数学九上特殊平行四边形证明题练习

北师大版数学九上特殊平行四边形证明题练习在九年级数学的学习中，特殊平行四边形——矩形、菱形与正方形，因其独特的性质与判定方法，成为几何证明的重点与难点。掌握这类问题的证明思路，不仅能深化对平行四边形家族的理解，更能提升逻辑推理与综合运用知识的能力。本文将结合北师大版教材的特点，通过典型例题的分析与练习，帮助同学们梳理证明思路，提炼解题技巧。一、知识梳理：特殊平行四边形的判定“金钥匙”在着手证明之前，我们必须清晰掌握矩形、菱形、正方形的判定定理，它们是打开证明之门的“金钥匙”。*矩形的判定：1.定义法：有一个角是直角的平行四边形是矩形。2.判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形。3.判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形。*菱形的判定：1.定义法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。2.判定定理1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。3.判定定理2：四条边都相等的四边形是菱形。*正方形的判定：1.定义法：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。2.通常思路：先判定为矩形，再判定其有一组邻边相等（或对角线互相垂直）；或先判定为菱形，再判定其有一个角是直角（或对角线相等）。核心思路：无论是哪种特殊平行四边形的证明，往往都可以归结为“先证平行四边形，再证其特殊性”，或者直接利用“四条边/角”的特殊关系进行判定。二、典型例题解析：探寻证明路径例题1：矩形的判定题目：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA=OD，∠OAD=50°。求证：平行四边形ABCD是矩形。思路分析：要证平行四边形ABCD是矩形，已知它是平行四边形，根据矩形的判定定理，我们只需证其对角线相等或有一个角是直角。题目中给出OA=OD，而平行四边形的对角线互相平分，即OA=OC，OB=OD。因此，OA=OD可推得AC=BD。根据“对角线相等的平行四边形是矩形”即可得证。证明过程：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD（平行四边形对角线互相平分）。又∵OA=OD，∴OA=OB=OC=OD，∴AC=BD。∴平行四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）。例题2：菱形的判定题目：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，E为AD延长线上一点，连接BE、CE。求证：四边形BEC是菱形。思路分析：要证四边形BEC是菱形，可考虑证其四边相等，或先证其为平行四边形再证邻边相等或对角线垂直。由AB=AC，AD是角平分线，根据等腰三角形“三线合一”的性质，AD垂直平分BC。因此，BE=CE（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。同理，若能证明EB=BC或证明四边形BEC的对角线互相垂直且平分，即可得证。这里，AD垂直BC，且AD平分BC（三线合一），若能证明OE=OD（或AE垂直平分BC），则四边形BEC的对角线互相垂直平分，从而为菱形。证明过程：∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，BD=DC（等腰三角形三线合一）。∴AD垂直平分BC，∴BE=CE（线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等）。∵AD⊥BC，BD=DC，∴点B、C关于直线AD对称，∴EB=EC，同理可证（若考虑AE是对称轴），或直接由AD是BC的垂直平分线，E在AD上，故BE=CE，且BD=DC，ED⊥BC，∴四边形BEC的对角线BC和EF（设AE与BC交于F）互相垂直平分。∴四边形BEC是菱形（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）。例题3：正方形的判定与性质综合题目：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且BE=CF。求证：△AEF是等腰直角三角形。思路分析：要证△AEF是等腰直角三角形，需证AE=AF且∠EAF=90°。正方形四边相等，四个角都是直角。AB=AD=BC=CD，∠B=∠D=90°。已知BE=CF，可推得EC=FD。考虑证明△ABE≌△ADF。证明过程：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠D=∠BAD=90°。∵BE=CF，∴BC-BE=CD-CF，即EC=FD。在△ABE和△ADF中，AB=AD，∠B=∠D，BE=DF（已证），∴△ABE≌△ADF（SAS）。∴AE=AF，∠BAE=∠DAF。∵∠BAE+∠EAD=90°，∴∠DAF+∠EAD=90°，即∠EAF=90°。∴△AEF是等腰直角三角形。例题4：动态与探究性问题题目：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点P是线段AC上一动点（不与A、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为E、F。求证：OE=OF。思路分析：此题为动态问题，P点在AC上运动，但结论OE=OF始终成立。要证OE=OF，可考虑证明△OAE≌△OCF，或证明点O是EF的中点，或构造全等三角形。已知AE⊥BP，CF⊥BP，故AE∥CF，∠AEO=∠CFO=90°。平行四边形ABCD中，OA=OC。因此，可尝试证明△AOE≌△COF（AAS）。证明过程：∵AE⊥BP，CF⊥BP，∴∠AEO=∠CFO=90°，AE∥CF。∴∠EAO=∠FCO（两直线平行，内错角相等）。∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC（平行四边形对角线互相平分）。在△AOE和△COF中，∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO，OA=OC，∴△AOE≌△COF（AAS）。∴OE=OF。三、练习题：巩固提升1.基础巩固：如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F。求证：四边形AFCE是菱形。2.中档提升：如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是OA、OD的中点。求证：四边形EBCF是等腰梯形。3.综合应用：如图，正方形ABCD中，E为BC边上一点，F为CD边上一点，且∠EAF=45°。求证：BE+DF=EF。4.探究创新：已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E。（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明。四、证明思路与技巧小结1.“执果索因”与“由因导果”相结合：审题时，既要从求证的结论出发，思考需要什么条件（分析法），也要从已知条件出发，看能推出什么结论（综合法），两者结合，找到解题的突破口。2.紧扣定义与判定定理：特殊平行四边形的定义既是性质也是最基本的判定方法。熟悉并灵活运用各种判定定理是关键。3.善用辅助线：恰当添加辅助线可以构造全等三角形、等腰三角形，或利用中位线、垂直平分线等性质。如遇中点，常连中位线或倍长中线；遇角平分线，常向两边作垂线。4.关注图形间的转化：矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们之间可以相互转化。例如，证正方形可先证矩形再证菱形，或先证菱形再证矩形。5.规范书写格式：证明过程要