专题10 利用导函数研究函数的极值点偏移问题 (典型例题+题型归类练)（原卷版）

专题10利用导函数研究函数的极值点偏移问题(典型例题+题型归类练)一、必备秘籍1、极值点偏移的含义函数满足对于定义域内任意自变量都有，则函数关于直线对称．可以理解为函数在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若为单峰函数，则必为的极值点，如图(1)所示，函数图象的顶点的横坐标就是极值点；①若的两根为，，则刚好满足，则极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移（如图1）．若，则极值点偏移．若单峰函数的极值点为，且函数满足定义域左侧的任意自变量都有或，则函数极值点左右侧变化快慢不同．如图(2)(3)所示．故单峰函数定义域内任意不同的实数，，满足，则与极值点必有确定的大小关系：若，则称为极值点左偏如图（2）；若，则称为极值点右偏如图（3）．2、极值点偏移问题的一般解法2.1对称化构造法主要用来解决与两个极值点之和，积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：(1)定函数(极值点为)，即利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确定函数的极值点．(2)构造函数，即对结论型，构造函数或；(3)对结论型，构造函数，通过研究的单调性获得不等式．(4)判断单调性，即利用导数讨论的单调性．(5)比较大小，即判断函数在某段区间上的正负，并得出与的大小关系．(6)转化，即利用函数f(x)的单调性，将与的大小关系转化为与之间的关系，进而得到所证或所求．2.2．差值代换法（韦达定理代换令.）差值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点之差作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用差值(一般用表示)表示两个极值点，即，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于的函数问题求解．2.3．比值代换法比值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点的比值作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值(一般用表示)表示两个极值点，即，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于的函数问题求解．二、典型例题例题1．（2022·辽宁丹东·模拟预测）已知函数．(1)若，证明：；(2)若有两个不同的零点，求的取值范围，并证明：．第（2）问解题思路（对称化构造）第1步：缩小的范围：由当时，在恒成立，则在上单调递减，不会有两个零点，不符合题意；所以第2步：找准的范围：当时，在上有，在上有，所以在上单调递增，在上单调递减．不妨设第3步：分析法：要证，只需证由于，结合图象在上单调递减，只需证由于替换得到，只需证：；这样只要构造函数其中，然后证明即可；此题为典型对称化构造的极值点偏移问题，构造时借助图象，先分析，再构造.例题2．（2022·湖北·宜昌市夷陵中学模拟预测）已知函数.(1)讨论的单调性和最值；(2)若关于的方程有两个不等的实数根，求证：.第（2）问解题思路（差值代换）第1步：等价化简：方程即为，故，注意到这里等号有边的结构是这样的结构，而在上的增函数，所以等号左右两边相等可以化简原方程第2步：化简原方程：；所以关于的方程有两个不等的实数根即为：有两个不同的实数根.所以这样得到，可进一步作差值代换，减少变量第3步：差值代换：，不妨设，，进一步得到：由等号左右两边同时除以得到：第4步:引入差值代换=进一步化简得：，代入得：第5步：这样要证的不等式等价转化为：，化简后：，即证，这样通过构造函数：，只需证明例题3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数（1）若，(为的导函数)，求函数在区间上的最大值；（2）若函数有两个极值点，求证：第（2）问解题思路（比值代换）第1步：分析法：要证，只需证，接下去就是找到的表达式；（找到目标，便于后面等价替换，或者构造函数）第2步：分析条件：函数两个极值点，得：是方程的两个不同实根，而，这样，可以得的：第3步：对上面结果处理：两式相加：对两式相减：第4步：将代入并化简：，于是第5步：引入参数比值代换：不妨设，设，则．则进一步化简为：．第6步：回到目标：要证，只需证，所以问题转化为只需证：第7步：构造函数只需证三、题型归类练1．（2022·河南·南阳中学高二阶段练习（理））已知函数有两个零点．(1)求a的取值范围；(2)设是的两个零点，证明：．2．（2022·全国·高二期末）已知函数．(1)讨论的零点个数．(2)若有两个不同的零点，证明：．3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，其中为常数，且．(1)当时，若在，上的最大值为1，求实数的值；(2)若，且函数有两个不相等的零点，，证明：．4．（2022·广东深圳·高二期末）设函数，已知直线是曲线的一条切线.(1)求的值，并讨论函数的单调性；(2)若，其中，证明：.5．（2021·江苏·高二专题练习）已知函数，.(1)若函数的图象在点处的切线方程为，求实数a的