江苏省徐州市云龙区2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)

2025-2026学年江苏省徐州市云龙区九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列方程中是一元二次方程的是(

)A.2x−5=0 B.x2+x=3 C.2x2.若⊙O的半径为3，点P到圆心O的距离为2，则点P与⊙O的位置关系是(

)A.点P在圆外 B.点P在圆上 C.点P在圆内 D.点P在圆内或圆上3.若用配方法解一元二次方程x2−6x+5=0时，可变形为(

)A.(x−3)2=3 B.(x−3)2=44.二次函数y=−x2+2的顶点坐标是A.(0,2) B.(1,2) C.(1,−2) D.(0,−2)5.如图，AD，BD是⊙O的两条弦，点C在⊙O上，B是AC的中点，连接OB，OC，若∠BOC=46∘，则∠D的度数为(

)A.22∘

B.23∘

C.44∘6.已知点(−1,y1)，(3,y2)，(6,y3)都在二次函数y=−(x−2)A.y1>y2>y3 B.7.电影《志愿军》不仅讲述了中国人民志愿军抗美援朝的故事，更是通过鲜活生动的人物塑造，让观众体会到历史事件背后的人性和情感，一上映就获得全国人民的追捧.某地第一天票房约3亿元，若以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达18亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为(

)A.3(1+x)=18 B.3(1+x)2=18

C.3+3(1+x8.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①abc<0；②b2−4ac>0；③a+b+c<0；④4a−2b+c<0A.1

B.2

C.3

D.4二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分。9.方程x2−4x=0的根是

.10.若x=2是方程x2−3x+a=0的一个根，则a的值等于

.11.将抛物线y=x2先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得的抛物线解析式为

.12.已知抛物线y=x2−x−1与x轴的一个交点为(m,0)，则代数式2m213.如图，PA，PB分别于⊙O相切于A，B两点，∠P=70∘，则∠C=______.

14.在4×6的网格中，每个小正方形的边长为1，网格线的交点记为格点.若一圆弧过格点A，B，C，则该圆弧所在圆的半径为

.

15.若关于x的一元二次方程kx2−x+3=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是

16.用一个圆心角为120∘，半径为30的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为

.17.抛物线y=(x−1)2+t与x轴的两个交点之间的距离为6，则t的值是______18.已知正方形ABCD边长为2，点E是正方形AB边上的动点，点F在边BC上，BF=AE，线段AF、DE相交于点M，连接CM，则点E从点A运动到点B的过程中，线段FM扫过的面积是

.

三、解答题：本题共7小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。19.(本小题10分)

解方程：

(1)x2−2x−3=0；20.(本小题10分)

已知：如图，A、B、C、D是⊙O上的点，∠1=∠2，AC=5cm.

(1)求证：AC=BD；

(2)求BD的长.21.(本小题8分)

抛物线y=x2+4x+3的图象与x轴交于A、B两点，点A在B左侧，与y轴交于点C.

(1)点C坐标为______，顶点坐标为______；

(2)当x满足−3<x<5时，y的取值范围是______；

(3)当y满足0<y<3时，x22.(本小题12分)

如图，AB为⊙O的直径，OC⊥AB交⊙O于点C，D为OB上一点，延长CD交⊙O于点E，延长OB至F，使DF=FE，连接EF.

(1)求证：EF为⊙O的切线；

(2)若OD=1且BD=BF，求⊙O的半径.23.(本小题12分)

某商场销售一种商品，每件进价为6元.调查发现，当销售单价为8元时，平均每天可以销售200件；而当销售单价每提高1元时，平均每天销量将会减少10件，且物价部门规定：销售单价不能超过12元.设该商品的销售单价为x元(x>8)，每天销量为y件.

(1)请直接写出y与x的函数关系式；

(2)商场要想每天获得720元的销售利润，销售单价应定为多少元？

(3)销售单价为多少元时，该商场每天销售这种商品所获的利润最大？最大利润是多少？24.(本小题12分)

如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(−1,0)和点B，与y轴交于点C(0,−3)，其顶点为D.

(1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标.

(2)在y轴上是否存在一点M，使得△BDM的周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

(3)若在y轴上存在一点E，使△BDE为等腰三角形，请直接写出以BD为腰时点E25.(本小题12分)

【问题】有一张矩形纸片ABCD，AB=4，BC=53，请在纸片上找一点P，使得∠APB=45∘.

【探究】小明通过操作、观察后得到这样的结论：纸上有无数个点满足这样的要求，它在以AB为弦的圆弧上…，如图1，他画出了所有符合要求的P，即MN上的任意一点.

体会小明的思考过程，回答下列问题：

(1)∠AOB=______∘；MN所在的圆的半径长为______；△ABP面积的最大值______.

【类比】请你运用所学知识，结合以上活动经验，进一步解决问题：

如图2，若【问题】中纸片ABCD上有一点Q，且∠AQB=30∘.

(2)请在纸片ABCD上画出所有满足条件的Q(尺规作图，保留作图痕迹)；

(3)连接DQ，求线段DQ的最小值.

(4)过点Q作QH⊥AB，垂足为H.若△QAB的面积的最小值为4参考答案一、选择题：1.B

2.C

3.B

4.A

5.B

6.D

7.D

8.B

二、填空题：9.x1=0，10.2

11.y=(x+2)12.2025

13.55∘14.1015.k<112且16.10

17.−9

18.52三、解答题：19.解：(1)x2−2x−3=0，

(x−3)(x+1)=0，

∴x−3=0或x+1=0，

解得x1=3，x2=−1；

(2)2x(x+1)=3(x+1)，

移项，得2x(x+1)−3(x+1)=0，

所以(x+1)(2x−3)=0，

所以x+1=0或2x−3=0，

解得x1=−1，x2=32.

20.(1)证明：∵A、B、C、D是⊙O上的点，∠1=∠2，

∴∠1+∠COB=∠2+∠COB，

∴∠DOB=∠COA.

∴AC=BD；

(2)由(1)知AC=BD，

∴AC=BD，

∵AC=5cm，

∴BD=AC=5cm.

21.解：(1)把x=0代入y=x2+4x+3得，y=3，

∴点C坐标为(0,3)，

∵y=x2+4x+3=(x+2)2−1，

∴顶点坐标为(−2,−1)，

故答案为：(0,3)，(−2,−1)；

(2)当x=−3时，y=(−3)2+4×(−3)+3=0，

当x=−2时，y最小值=−1，

当x=5时，y=52+4×5+3=48，

∴当−3<x<5时，−1≤y<48，

故答案为：−1≤y<48；

(3)把y=3代入y=x2+4x+3得，x2+4x+3=3，

解得x1=−4，x2=0，

∴当0<y<3时，−4<x<−3或−1<x<0，

故答案为：−4<x<−3或−1<x<0.

22.解：(1)证明：如图，连接OE，

∵OE=OC，

∴∠OEC=∠OCE，

∵DF=FE，

∴∠FED=∠FDE，

∵∠FDE=∠CDO，∠CDO+∠OCD=90∘，

∴∠FED+∠OEC=90∘，

即∠FEO=9023.解：(1)由题意，设单件售价为x元，根据题意可得：

∴y=200−10(x−8)，

∴y=−10x+280(8<x≤12).

(2)由题意，设售价为x元，由题意可得：(x−6)(−10x+280)=720，

∴−10x2+340x−1680=720，

∴x2−34x+240=0，

∴x1=10，x2=24，

∵8<x≤12，

∴x=10，

答：销售单价应定为10元．

(3)设每天销售利润为w元，根据题意，得：w=(x−6)(−10x+280)=−10x2+340x−1680=−10(x−17)2+1210，

∵a=−10<0，

∴抛物线开口向下，

当x<17时，w随x的增大而增大，

∵8<x≤12，

∴当x=12时，w有最大值=960，

∴当x=12时，w最大值=960，

答：当每件商品的售价定为12元时，每天销售利润最大，最大利润是960元．

24.解：(1)将点A(−1,0)，C(0,3)代入得，

1−b+c=0c=−3，

解得b=−2c=−3，

∴抛物线的表达式为y=x2−2x−3，

对称轴为直线x=1，当x=1时，y=−4，

故顶点D坐标为(1,−4)；

(2)存在，M(0,−3)；

∵A(−1,0)，对称轴为直线x=1，

∴B(3,0)，

∴BD=25，

作点B关于y轴对称点B′(−3,0)，

则BM=B′M，

∴△BDM周长=BD+BM+DM

=25+BM+DM

=25+B′M+DM≥25+B′D，

当且仅当B、M、D三点共线时取等，

由B′(−3,0)和D(1,−4)可得直线B′D表达式为y=−x−3，

令x=0，得y=−3，

∴M(0,−3)；

(3)设点E(0,t)，

则DE2=1+(t+4)2，BE2=9+t2，BD2=20，

由题意可分两种情况：

①BD=BE，即9+t2=20，

解得t=±11，

∴E(0,11)或(0,−11)；

②BD=DE，即1+(t+4)2=20，

解得t=−4±19，

∴E(0,−4+19)或(0,−4−19)；

综上，点E坐标为(0,11)或(0,−11)或(0,−4+19)或(0,−4−19).

25.解：(1)∵∠APB=45∘，∠AOB、∠APB分别为AB的圆心角和圆周角，

∴∠AOB=2∠APB=90∘，

MN所在的圆的半径长=OA=22AB=22，

当点P在AB的中垂线上时，△ABP面积的最大，

如图1