五年级数学排水法试题

巧解五年级数学中的“排水法”问题：原理、技巧与实战演练在五年级数学的学习旅程中，我们常常会遇到一些看似复杂的“不规则物体体积”计算问题。这时，“排水法”就像一把神奇的钥匙，能帮助我们轻松打开这类问题的大门。它不仅是一种重要的数学方法，更是连接数学与生活的桥梁，让我们在解决实际问题中感受到数学的魅力。本文将带你深入理解排水法的原理，掌握其解题技巧，并通过精心设计的试题进行实战演练，助你彻底攻克这一知识点。一、深刻理解“排水法”的原理“排水法”，顾名思义，是利用物体放入水中会排开一定体积的水这一基本现象来测量或计算不规则物体体积的方法。我们知道，规则的长方体、正方体体积可以通过公式直接计算，但像石头、苹果、橡皮泥这类形状不规则的物体，它们的体积就难以直接用公式求得。核心思想：当一个物体完全浸没在水中（假设水未溢出且物体不吸水），它所占据的空间会迫使水面上升。那么，这个物体的体积就等于它所排开的水的体积。这就是排水法的核心原理，看似简单，却蕴含着“等量代换”的深刻数学思想——用可测量的水的体积变化，替代了不规则物体体积的直接测量。想象一个装满水的杯子，当你放入一块石头，水会溢出。溢出的水的体积，不就是这块石头的体积吗？或者，在一个未装满水的长方体玻璃缸中，放入物体后，水面会上升，上升部分的水的体积，也就是这个物体的体积。二、“排水法”解题的关键步骤与技巧要熟练运用排水法解决问题，掌握以下步骤和技巧至关重要：1.明确已知与未知：仔细审题，确定题目中给出了哪些信息（如容器的尺寸、初始水的高度、放入物体后水的高度、物体的个数等），要求解的是什么（通常是不规则物体的体积，或与体积相关的其他量）。2.判断“完全浸没”：这是应用排水法的前提。题目中通常会明确说明“完全浸没”或“完全沉入水中”。如果物体没有完全浸没，那么排开水的体积就不等于物体的总体积，此时问题会更复杂（五年级阶段一般不涉及此类复杂情况）。3.确定“水的体积变化”：*方法一（体积差法）：物体体积=放入物体后水和物体的总体积-原来水的体积。*方法二（高度差法）：如果容器是规则的柱体（如长方体、正方体、圆柱体，五年级主要涉及长方体和正方体），那么物体体积=容器的底面积×水面上升的高度。这是最常用也最简便的方法。4.统一单位：计算前务必检查所有长度单位是否统一，若不统一，需先进行单位换算（如厘米、分米等）。体积单位相应为立方厘米（cm³）、立方分米（dm³）等。5.规范计算与作答：根据上述关系列式计算，并完整书写答句。解题技巧小结：*牢记核心公式：不规则物体体积=容器底面积×水面上升（或下降）的高度。（当物体从水中取出时，水面会下降，下降高度对应的水的体积即为物体体积）*容器底面积的计算：对于长方体容器，底面积=长×宽；对于正方体容器，底面积=棱长×棱长。*水面上升高度=放入物体后的水面高度-放入物体前的水面高度。三、典型试题精析与实战演练下面我们通过几道典型试题，来具体感受排水法的应用。（一）基础题型：直接求不规则物体体积例1：一个长方体玻璃容器，从里面量长2分米，宽1.5分米，向容器中倒入6升水，再把一个土豆完全浸没在水中，这时量得容器内的水深是2.2分米。这个土豆的体积是多少？分析与解答：首先，统一单位。6升=6立方分米（因为1升=1立方分米）。已知容器的长和宽，我们可以先求出倒入6升水后，水面的初始高度。初始水面高度=水的体积÷容器底面积=6÷(2×1.5)=6÷3=2（分米）。放入土豆后，水面上升到2.2分米，上升了2.2-2=0.2（分米）。土豆的体积=容器底面积×水面上升高度=2×1.5×0.2=0.6（立方分米）。答：这个土豆的体积是0.6立方分米。练习1：一个正方体鱼缸，从里面量棱长为3分米，向鱼缸中倒入27升水，再把几条金鱼放入水中，这时量得鱼缸内水深为2.5分米。这几条金鱼的体积一共是多少？（二）进阶题型：已知体积求高度或底面积例2：一个长50厘米、宽40厘米的长方体玻璃缸中，原来水深20厘米。将一块假山石完全浸没在水中后，水面上升了3厘米。这块假山石的体积是多少立方厘米？如果玻璃缸的高度足够，要使水面上升到30厘米，还需要放入多少立方厘米的物体？分析与解答：第一问：假山石体积=玻璃缸底面积×水面上升高度=50×40×3=6000（立方厘米）。第二问：要使水面从20厘米上升到30厘米，总共需要上升30-20=10厘米。已经上升了3厘米，还需要上升10-3=7厘米。所以还需要放入物体的体积=50×40×7=____（立方厘米）。答：这块假山石的体积是6000立方厘米；还需要放入____立方厘米的物体。练习2：一个长方体水槽，底面积是200平方厘米，里面装有一些水。把一个体积为300立方厘米的铁块完全浸没在水中，水面会上升多少厘米？（三）拓展题型：多个物体与单位换算例3：一个底面长和宽都是2分米的长方体玻璃容器，里面装有5升水。将一块不规则的铁块完全浸没在水中后，这时容器内的水深是1.5分米。这块铁块的体积是多少？分析与解答：注意单位！容器的长、宽是分米，水深也是分米，体积单位用立方分米，1升=1立方分米。原来水的体积是5升=5立方分米。原来水面高度=水的体积÷底面积=5÷(2×2)=5÷4=1.25（分米）。水面上升高度=1.5-1.25=0.25（分米）。铁块体积=2×2×0.25=1（立方分米）。答：这块铁块的体积是1立方分米。练习3：一个长方体容器，从里面量长3分米，宽2分米。先倒入7.5升水，再放入4个同样大小的玻璃球，这时量得容器内水深1.5分米。每个玻璃球的体积是多少立方厘米？（注意单位换算哦！）（四）易错题型：注意“溢出”情况例4：一个棱长为10厘米的正方体容器，里面水深8厘米。现将一个棱长为5厘米的正方体铁块放入水中，水会溢出吗？如果溢出，溢出多少水？如果不溢出，水面上升多少？分析与解答：首先判断是否溢出：容器剩余空间=10×10×(10-8)=200（立方厘米）。铁块体积=5×5×5=125（立方厘米）。因为125立方厘米<200立方厘米，所以水不会溢出。水面上升高度=铁块体积÷容器底面积=125÷(10×10)=1.25（厘米）。答：水不会溢出，水面上升1.25厘米。练习4：一个长40厘米、宽30厘米、高25厘米的长方体水箱，水深20厘米。如果放入一个棱长为20厘米的正方体石块，水会溢出吗？若溢出，溢出多少升水？四、“排水法”的拓展与注意事项1.不完全浸没的思考：如果物体没有完全浸没，那么排开水的体积等于物体浸入水中部分的体积。这种情况在五年级阶段不作为重点，但可以引导学生思考。2.单位的统一性：这是计算中最容易出错的地方。务必确保长、宽、高的单位一致（都用厘米、分米或米），从而保证体积单位的正确性（立方厘米、立方分米或立方米）。升和毫升通常用于液体，1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米。3.容器的形状：我们所学的排水法主要适用于规则的柱形容器，如长方体、正方体、圆柱体。因为它们的底面积是恒定的，水面上升的高度与排开的水的体积成正比。4.仔细审题：看清题目中给出的是“容器的棱长”还是“从里面量的棱长”，后者才是计算容积和体积的依据。注意区分“水面高度”、“水面上升高度”等关键词。总结“排水法”是五年级数学中解决不