2025年数值计算方法总结计划试卷试题集及答案

2025年数值计算方法总结计划试卷试题集及答案一、选择题（每题3分，共30分）1.设x为精确值，x为近似值，当|x-x|≤0.5×10^(-3)时，x的有效数字至少为（）A.2位B.3位C.4位D.5位2.已知f(x)=x³+2x+1，其在节点x₀=1,x₁=2处的一阶差商f[x₀,x₁]为（）A.12B.14C.16D.183.复合辛普森公式的代数精度为（）A.1B.2C.3D.44.用牛顿迭代法求解方程x³-2x-5=0，取初始值x₀=2，则x₁=（）A.2.1B.2.05C.2.083D.2.0945.对于线性方程组Ax=b，若A为严格对角占优矩阵，则雅可比迭代法（）A.一定收敛B.一定发散C.可能收敛D.无法判断6.欧拉法求解常微分方程初值问题y’=f(x,y),y(x₀)=y₀的局部截断误差为（）A.O(h)B.O(h²)C.O(h³)D.O(h⁴)7.设f(x)在[a,b]上连续，用n+1个节点构造的拉格朗日插值多项式Lₙ(x)，则当n→∞时，Lₙ(x)（）A.一定收敛于f(x)B.可能发散C.仅在节点处收敛D.无条件收敛8.高斯-勒让德求积公式的节点是（）A.等距节点B.切比雪夫多项式的根C.勒让德多项式的根D.任意选取的节点9.求解非线性方程f(x)=0的割线法，其收敛阶为（）A.1B.1.618C.2D.310.对于二阶常微分方程y''=f(x,y,y')，化为一阶方程组的形式为（）A.y₁’=y₂,y₂’=f(x,y₁,y₂)B.y₁’=f(x,y₁,y₂),y₂’=y₁C.y₁’=y₂,y₂’=y₁D.无法转化二、填空题（每题3分，共30分）1.设x=2.1345为精确值x=2.13445的近似值，则绝对误差为______，相对误差为______（保留5位有效数字）。2.已知f(1)=2,f(2)=5,f(3)=10，则二次拉格朗日插值多项式L₂(x)中x²项的系数为______。3.复合梯形公式将区间[a,b]等分为n份，步长h=(b-a)/n，其积分近似值Tₙ=______。4.用牛顿迭代法求解x²-a=0（a>0）的迭代公式为______。5.设A=⎡21⎤，则雅可比迭代矩阵的谱半径ρ(J)=______，高斯-赛德尔迭代矩阵的谱半径ρ(G)=______。⎣12⎦6.改进欧拉法的计算公式为yₙ₊₁=yₙ+h/2[f(xₙ,yₙ)+f(xₙ₊₁,yₙ+hf(xₙ,yₙ))]，其局部截断误差为______。7.三次样条插值函数S(x)在节点处满足的连续性条件为：S(x)在[a,b]上二阶连续可导，且在每个子区间上是______次多项式。8.数值积分中，代数精度为m的求积公式能准确积分的最高次数多项式是______次。9.设f(x)=sinx，取节点x₀=0,x₁=π/2，构造一次插值多项式L₁(x)，则L₁(π/4)=______。10.求解线性方程组的直接法中，列主元高斯消元法通过选主元可避免______问题。三、计算题（每题10分，共50分）1.已知函数f(x)在节点x₀=0,x₁=1,x₂=2处的函数值分别为f(x₀)=1,f(x₁)=3,f(x₂)=7，构造二次牛顿插值多项式，并计算f(0.5)的近似值（保留4位小数），同时计算精确值f(0.5)=e^0.5≈1.6487，求绝对误差。2.用复合辛普森公式计算积分∫₀²x³dx（取n=2，即分为2个子区间），并与精确值比较计算相对误差。3.用高斯-赛德尔迭代法求解线性方程组：⎧2x₁-x₂=1⎨-x₁+2x₂-x₃=0⎩-x₂+2x₃=1取初始值x₀=(0,0,0)^T，迭代2次，计算x₁和x₂（保留4位小数）。4.用牛顿迭代法求解方程x³-x-1=0（初始值x₀=1），迭代2次，计算x₁和x₂（保留4位小数），并判断收敛性。5.用欧拉法求解常微分方程初值问题：y’=x+y,y(0)=1步长h=0.1，计算y(0.1)和y(0.2)（保留4位小数）。四、证明题（共20分）1.（10分）证明：对于任意n次多项式p(x)，其n+1阶差商为0。2.（10分）证明：复合梯形公式的局部截断误差为-O(h³)f''(ξ)，其中ξ∈(xₙ,xₙ₊₁)。答案一、选择题1.B2.B3.C4.D5.A6.B7.B8.C9.B10.A二、填空题1.0.00005；2.3426×10^(-5)2.13.h/2[f(a)+2Σf(xᵢ)+f(b)]（i=1到n-1）4.xₙ₊₁=(xₙ+a/xₙ)/25.0.5；0.256.O(h³)7.三8.m9.π/410.小主元导致的舍入误差放大三、计算题1.差商表：x₀=0,f(x₀)=1x₁=1,f(x₁)=3,一阶差商f[x₀,x₁]=(3-1)/(1-0)=2x₂=2,f(x₂)=7,一阶差商f[x₁,x₂]=(7-3)/(2-1)=4,二阶差商f[x₀,x₁,x₂]=(4-2)/(2-0)=1牛顿插值多项式：N₂(x)=1+2x+1×x(x-1)=x²+x+1f(0.5)=0.25+0.5+1=1.7500绝对误差=|1.7500-1.6487|=0.10132.n=2，h=(2-0)/2=1，节点x₀=0,x₁=1,x₂=2f(x)=x³，f(x₀)=0,f(x₁)=1,f(x₂)=8复合辛普森公式：S₂=h/6[f(x₀)+4f(x₁)+f(x₂)]=1/6[0+4×1+8]=12/6=2精确值∫₀²x³dx=[x⁴/4]₀²=16/4=4相对误差=|2-4|/4=0.53.方程组改写为：x₁=(1+x₂)/2x₂=(0+x₁+x₃)/2x₃=(1+x₂)/2迭代1次（x₀=(0,0,0)）：x₁¹=(1+0)/2=0.5000x₂¹=(0+0.5000+0)/2=0.2500x₃¹=(1+0.2500)/2=0.6250迭代2次：x₁²=(1+0.2500)/2=0.6250x₂²=(0+0.6250+0.6250)/2=0.6250x₃²=(1+0.6250)/2=0.81254.f(x)=x³-x-1,f’(x)=3x²-1x₀=1,f(x₀)=1-1-1=-1,f’(x₀)=3-1=2x₁=x₀-f(x₀)/f’(x₀)=1-(-1)/2=1.5f(x₁)=3.375-1.5-1=0.875,f’(x₁)=3×2.25-1=5.75x₂=x₁-f(x₁)/f’(x₁)=1.5-0.875/5.75≈1.5-0.1521=1.3479由于f(x)在x>1时单调递增，且f(1)=-1,f(2)=5，存在唯一根，牛顿法在单根附近二阶收敛，故收敛。5.欧拉公式：yₙ₊₁=yₙ+h(xₙ+yₙ)x₀=0,y₀=1y₁=y₀+0.1×(0+1)=1.1000x₁=0.1,y₁=1.1000y₂=y₁+0.1×(0.1+1.1000)=1.1000+0.1×1.2=1.2200四、证明题1.设p(x)为n次多项式，则其k阶差商p[x₀,x₁,…,xₖ]是k次多项式的系数（当k≤n时），而n+1阶差商相当于对n次多项式求n+1阶导数除以(n+1)!，由于n次多项式的n+1阶导数为0，故n+1阶差商为0。2.对区间[xₙ,xₙ₊₁]，f(x)在xₙ处泰勒展开：f(x)=f(xₙ)+f’(xₙ)(x-xₙ)+f''(xₙ)(x-xₙ)²/2!+f'''(ξ)(x-xₙ)³/3!积分∫ₓₙˣₙ₊₁f(x)dx=hf(xₙ)+h²f’(xₙ)/2+h³f''(xₙ)/6+O(h⁴)梯形公式近似值为h[f(xₙ)+f(xₙ₊₁)]/2，而f(xₙ₊₁)=f(xₙ)+hf’(xₙ)+h²f''(xₙ)/2