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静安区2024学年度第一学期期末教学质量调研高三数学试卷答案与评分标准一、1．；2．；3．；4．36；5．；6．；7．2；8．；9．；10．；11．；12．100000．二、13．B；14．B；15．D；16．C．三、17．(1)，由，解得．可知原函数的驻点为，﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒3分列表如下：20极大值-4极小值4所以，该函数的严格单调增区间为和，﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分严格单调减区间为和． ﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分(2)，，﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒3分，故．﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒4分18．解(1)．﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒3分．因为，所以．﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒4分(2)，﹒﹒﹒3分当，即时，该函数取得最小值．﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒4分ABCDEFGHMO19．ABCDEFGHMO所以，点A在底面BCD上的射影点O必是△BCD的中心．连接且延长与交于点，可得，．所以．﹒﹒﹒﹒2分可得△BCD的面积为．所以，正三棱锥的体积．﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒4分(2)=1\*GB3①由已知，有，且平面，所以，平面.﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒3分=2\*GB3②设与平面交于点，则平面平面，所以，，点是的中点.所以，同理，有，由三角形中位线的性质，得到四边形是菱形．﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒3分因为OD⊥BC，又OD为AD在底面BCD内的射影，所以，AB⊥CD.可得HG⊥EH，故，四边形EFGH是正方形．﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分ACFEBDyOx20．ACFEBDyOx于是，抛物线过点，所以，抛物线的方程为，．﹒﹒4分线段的方程为，．﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分(2)设，则．﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分以为母线的圆柱的底面半径满足，所以其体积.方法1：，﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒4分所以，当时，其体积取得最大值．﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分方法2：，解得有实际意义的驻点．﹒﹒﹒﹒3分0极大值-4列表如下：所以，该函数在区间为严格单调增函数，在区间为严格单调减函数﹒﹒4分所以，当时，其体积取得最大值．﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分(3)证明：因为，所以，抛物线上任意一点的切线斜率为,设，是抛物线上两条相互垂直的切线，切点分别为，，则其方程分别为，，且,﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒4分消去，解得，因为，得．故，抛物线的任何两条相互垂直的切线的交点都在直线上．﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分21．证明：(1)记；对任意的，有，；﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分对于任意的，若，则．，即．﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒4分故，函数是型函数．(2)设，且，则．因此﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒4分，﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分可知在上为增函数．(3)因为，

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