小学三年级数学奥数思维：巧算加减法的“破”与“立”

小学三年级数学奥数思维：巧算加减法的“破”与“立”一、教学内容分析  从《义务教育数学课程标准（2022年版）》审视，本讲内容隶属于“数与代数”领域，核心素养直接指向运算能力与数感的培养，并深度关联符号意识与推理意识。课程标准要求第二学段学生能“探索并掌握多位数的加减法运算”，并“在解决简单实际问题的过程中，理解四则运算的意义”。加减巧算教学，正是对这一要求的深化与升华，其知识链上承二年级的“100以内的加减法”与“运算顺序”，下启四年级的“运算律（加法交换律、结合律）”正式学习，起到关键的桥梁与孕伏作用。其过程方法超越了机械计算，引导学生经历“观察算式结构→发现数字特征→选择或构造运算模型→实施简便计算→验证反思”的完整数学探究过程，核心思想是“化归”——将看似复杂的运算转化为简单、熟悉的模型。其育人价值在于打破“计算就是按顺序硬算”的思维定势，体验数学的简洁与智慧之美，在“山重水复”到“柳暗花明”的思维转换中，建立学习数学的自信与兴趣。  面向三年级奥数培优班的学生，学情呈现显著的两极性与潜力性。其已有基础是熟练掌握万以内加减法的竖式计算与基本运算顺序，生活经验中已模糊存在“凑整”的朴素思想（如购物凑百）。核心障碍在于：第一，思维定势强，普遍习惯于从左到右的笔算顺序，缺乏主动观察、重组算式的意识；第二，识别敏感度低，对能凑成整十、整百、整千的“数字对”（如37与63）不熟悉，对算式中隐含的“括号”灵活性理解不足；第三，方法应用僵化，可能机械记忆“凑整”公式，但在稍作变形的算式或需要主动“拆数”、“借数”构造凑整条件时便束手无策。因此，教学必须设计有效的“前测”活动（如出示一组包含隐蔽巧算机会的算式）暴露定势，并通过高结构化的任务梯度，引导学生在对比、冲突中自我建构巧算策略。针对差异，需提供从“直观操作（数字卡片移动）”到“符号抽象”的多层次脚手架，并为不同思维速度的学生设计“基础辨识”与“创造性构造”的分层挑战。二、教学目标  知识目标：学生能理解并阐释“凑整”思想是加减巧算的核心原理，不仅能识别算式中现成的凑整组合（如个位凑十、多位凑百），还能在教师引导下说出“去括号、添括号”在加减混合运算中改变运算顺序却不改变结果的规则条件，并运用这些知识对结构多样的算式进行合理化简。  能力目标：学生能够经历“观察猜想尝试验证”的完整探究过程，在面对一道多位数加减计算题时，首先主动观察数字特征与运算符号，尝试灵活运用“带着符号搬家”、“分组凑整”、“拆补凑整”等策略进行简便计算，并能够清晰、有条理地向同伴讲解自己的计算思路与依据。  情感态度与价值观目标：在挑战巧算难题和小组交流中，学生能体验突破思维定势、发现计算捷径的乐趣，逐渐养成“先观察，再计算”的良好习惯，并在分享不同巧算方法时，学会欣赏他人策略的巧妙之处，培养开放、合作的数学学习心态。  科学（学科）思维目标：本节课重点发展学生的“转化与化归”思想及“模型思想”。通过一系列变式练习，学生能初步建立“将复杂、不规则的计算对象，通过重组、拆补等手段，转化为标准、简单的计算模型（如整十、整百数相加减）”的思维框架，并尝试用这种模型化的眼光审视后续的计算问题。  评价与元认知目标：在课堂巩固与小结环节，学生能依据“观察是否全面”、“方法选择是否合理”、“计算是否准确”这三条简易标准，对同伴或自己的巧算过程进行初步评价。并能通过反思，说出自己最擅长哪种巧算策略，以及在何处曾遇到困难，初步形成对自身数学思维特点的觉察。三、教学重点与难点  教学重点：灵活运用“凑整思想”进行加减法的简便运算。其确立依据源于数学核心素养对“运算能力”的界定——不仅要求算得对，更要求算得巧、算得简。“凑整”是加减法简便运算的基石，是后续学习乘法分配律等更复杂运算律的思维前奏。从应试角度看，它是各类数学竞赛和学业能力测试中考查学生数感与思维灵活性的经典考点，掌握此思想能大幅提升计算效率与准确性。  教学难点：学生在非标准算式中主动识别并创造“凑整”条件，特别是“拆数凑整”与“合理去（添）括号”的综合运用。难点成因在于，这需要学生克服强大的顺序计算定势，进行逆向思维（如：看到98，要能想到1002）和发散思维。基于常见错误分析，学生往往在需要将某个数拆成两个数之和或差以便与其他数凑整时卡壳，或在处理诸如a(bc)与ab+c是否相等的判断上混淆。突破方向在于设计从“显性”到“隐性”的阶梯任务，并通过对比辨析，强化对算式结构的深层理解。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：精心设计的多媒体课件，包含矛盾情境导入题、分层例题与变式训练题；一组可移动的数字与符号磁贴（用于黑板演示凑整过程）。1.2学习资料：设计分层学习任务单（前测、探究记录、分层巩固练习）；课堂小结思维导图模板（半成品）。2.学生准备2.1知识准备：复习万以内加减法计算，尝试思考“除了竖式，还有什么方法能让算得更快？”。2.2学具准备：草稿本、红蓝双色笔（用于标注凑整对和修正）。3.环境布置3.1座位安排：四人小组围坐，便于合作探究与讨论。五、教学过程第一、导入环节  1.设疑激趣，引发冲突：同学们，我们先来一场速算小比拼！请快速计算：245+199。好了，我看到大部分同学还在列竖式，但已经有几位同学举手了。请这位最快的同学说说答案。“444！”你是怎么算的这么快呢？“因为199很接近200，我先算245+200=445，然后多加了1，再减掉1，就是444。”太棒了！你的脑子转得真快！大家发现了吗？他并没有“老老实实”地列竖式，而是像变魔术一样，把“199”变成了“2001”，这样计算一下子就简单了。这就是我们今天要探索的“巧算”魔法！  1.1揭示课题，明确路径：加减巧算，核心就是一个字——“凑”！想办法把数凑成整十、整百、整千，让计算变得轻松。这节课，我们就来当一回“数字魔术师”，学习如何“破”解算式的原有顺序，“立”起巧算的新思路。我们将从简单的“找朋友凑整”开始，再到处理“带括号的麻烦”，最后挑战更高阶的“创造凑整”机会。第二、新授环节  任务一：基础凑整——“好朋友”手拉手  教师活动：首先，我们来玩“找朋友”游戏。教师在黑板上用磁贴出示：37+48+63。“同学们，别急着加，仔细观察这些数字宝宝，谁和谁关系特别好，凑在一起能变成一个整十或整百数？”引导学生发现37和63是“好朋友”，因为它们能凑成100。接着提问：“那我们能不能让它们先加呢？原来算式的顺序允许我们这样做吗？”借此引出“加法中，可以交换加数的位置，结果不变”（为交换律孕伏）。教师演示移动磁贴，将算式重组为(37+63)+48。“看，加上小括号，就像给这对好朋友牵上手，让它们先算。”板书强调：观察特征，找好朋友；带符号搬家，优先计算。  学生活动：学生观察、口述发现的好朋友组合。模仿老师的方法，在任务单上完成类似练习，如15+72+28+85，并尝试用“先算…再算…”的语言描述自己的计算过程。小组内互相检查，看谁找朋友又快又准。  即时评价标准：1.能否准确发现可以凑成整十、整百的数字对。2.重组算式后，计算顺序的表述是否清晰。3.小组交流时，能否认真倾听同伴的方法。  形成知识、思维、方法清单：★核心概念：凑整思想。把相加能得整十、整百、整千的数先结合起来算，是巧算的基石。▲方法技巧：带符号搬家。在连加算式中，加数可以交换位置以便于凑整。★操作步骤：先观察，再配对，后计算。养成先整体观察算式结构的习惯，避免盲目动笔。  任务二：突破定势——括号的“破”与“立”  教师活动：现在增加一点难度：128(28+57)。“大家觉得，这个括号是帮手还是‘拦路虎’？”让学生按顺序计算，感受其繁琐。接着启发：“如果我们‘打破’这个括号，算式会变成什么样？结果会变吗？”引导学生猜想：1282857。通过对比计算12828=100，10057=43与原式12885=43，验证猜想。“原来，减去两个数的和，可以连续减去这两个数。括号被‘打破’了，计算却变简单了！”反之，出示945743，提问：“现在，怎样‘建立’一个括号来巧算？”引导学生发现连续减可以变为减和：94(57+43)。通过正反例辨析，总结规律。  学生活动：学生通过具体计算，验证去括号、添括号前后结果是否相等。完成一组对比练习（如a(b+c)与abc；abc与a(b+c)），在对比中加深理解。小组讨论：什么情况下“破括号”能简化计算？什么情况下需要“立括号”？  即时评价标准：1.能否正确应用去括号、添括号的规则进行算式变形。2.能否理解变形的依据（减法的性质），而非机械记忆。3.在讨论中，能否举例说明自己的观点。  形成知识、思维、方法清单：★重要原理：减法的性质。a(b+c)=abc；abc=a(b+c)。▲易错点：符号变化。去括号时，括号前面是减号，括号里的加号要变减号（反之亦然）。★思维提升：逆向思考。不仅学习“破括号”，还要学会在需要时主动“添括号”来创造凑整条件。  任务三：高阶构造——无中生“友”的智慧  教师活动：出示挑战题：199+87。“这个算式中，199有好朋友吗？87能直接和它凑整吗？”当学生发现199接近200，但87不能直接与它凑整时，引出“拆补法”。“既然没有现成的朋友，我们能不能‘创造’一个朋友出来？”引导思考：199想和谁凑200？需要+1。这“1”从哪里来？可以从87里“借”1。从而将87看作86+1，算式变为(199+1)+86=200+86=286。板书：拆小数，补大数，凑成整。再出示变式：102+299。“这次，谁需要被‘补’？谁需要被‘拆’？”鼓励学生多思路解决。  学生活动：学生尝试独立或小组合作解决199+87，体验“拆数”的思考过程。挑战“多解”任务：用不同的拆法计算102+299（如拆102为101+1或拆299为3001）。比较哪种方法更简便。在任务单上记录自己的“创造”过程。  即时评价标准：1.能否主动想到通过拆数来构造凑整条件。2.拆数的方案是否合理、简便。3.能否流畅表达自己“创造凑整”的思考路径。  形成知识、思维、方法清单：★方法技巧：拆补凑整法。当没有现成凑整对时，可以将一个接近整十、整百的数拆成两部分，用一部分去补足另一个数凑整。▲应用实例：98=1002，103=100+3。要像记好朋友一样熟悉这些接近整百数的“化身”。★思维飞跃：化归思想。这是最高层次的巧算思维，通过主动变形，将“陌生”问题转化为“熟悉”的模型。第三、当堂巩固训练  基础层（全员过关）：直接应用凑整思想。计算：①74+128+26②36718967③195+76。（教师巡视，重点关注后进生是否掌握基本方法，要求他们至少说出题目中的“好朋友”是谁。）  综合层（多数挑战）：需综合判断与变形。计算：①12847+7253（提示：可以“带符号搬家”重组为(128+72)(47+53)吗？）②9+99+999+3（如何将“3”巧妙分配？）。（小组讨论，鼓励不同解法。教师收集典型做法，准备讲评。）  挑战层（学有余力）：开放性与灵活性。①(84+37)+(16+63)②100090802010③请你编一道需要“拆补凑整”的题目考考同桌。（完成后，邀请学生上台讲解第②题的最优解法，展示“添括号”的巧妙；并分享自编题目，评价其“巧”在何处。）  反馈机制：基础层练习采用同桌互批，用红笔订正。综合层与挑战层练习，由教师选取具有代表性的正确解法与典型错误，进行投屏对比讲评。重点分析错误成因（如符号处理错误、拆数不合理），并展示一题多解，拓宽思路。“看这位同学的做法，他把‘3’拆成了1+1+1，分别送给9、99、999，让它们都变成整十整百整千，这个想法真是太妙了！”第四、课堂小结  知识整合：同学们，今天我们搭建了加减巧算的“思维大厦”。现在，请拿出思维导图模板，以“加减巧算”为中心，回忆并填写我们的三大“法宝”是什么？（凑整、括号处理、拆补创造），并各举一个例子。“谁来分享一下你画的思维导图？让我们看看谁的结构最清晰。”  方法提炼：回顾今天的学习，我们解决问题的通用步骤是怎样的？（引导学生齐说：一看：观察数字和符号；二找：找现成或创造凑整机会；三定：确定是否需移动、破立括号；四算：心算或笔算组合结果。）这就是我们数学家的思考方式！  作业布置：  必做题（基础）：完成练习册对应基础题组，巩固三种巧算方法。...做题（拓展与应用）：1.“超市购物小调查”：记录两件商品的价格，设计一个总价接近整百元的购买方案，并用巧算验证。2.挑战题：计算1+2+3+...+18+19+20，你能发现更快的求和方法吗？（为下节课“等差数列”埋下伏笔）。六、作业设计  基础性作业：  1.计算下列各题，要求写出简要的巧算过程。    ①156+78+44②29116591    ③6+16+26+34+44④88+103  2.判断下列算式变形是否正确，并说明理由。    125(75+40)=12575+40()    2006733=200(67+33)()  拓展性作业：  1.情境应用：“图书角原有故事书198本，今天上午借出47本，下午还回25本，又新购进52本。现在图书角有多少本故事书？”请列出综合算式并用最简便的方法计算。  2.思维拓展：计算9998+3+99+998+3+9。你能想出几种巧算方法？请至少用两种方法完成。  探究性/创造性作业：  1.小小出题官：请你模仿今天所学的巧算类型，设计3道有“陷阱”或需要“巧妙构造”的加减巧算题，并附上答案和解析。下周带来考考老师和同学。  2.历史中的数学：查阅资料，了解“高斯小时候快速计算1加到100”的故事，思考他使用的方法和我们今天的“凑整”思想有什么相通之处？写一篇不超过200字的数学小日记。七、本节知识清单及拓展  ★凑整思想：加减法简便计算的核心策略。目的是将计算转化为对整十、整百、整千数的运算，极大降低计算复杂度。关键在于培养对数字的敏感度。  ★带符号搬家：在连加、连减或加减混合的同一级运算中，数字可以连同它前面的运算符号一起移动位置，结果不变。例如：a+bc=ac+b。这是重组算式、创造凑整机会的基础。  ▲添括号法则（重点记忆）：1.括号前是“+”号，添括号后，括号内符号不变。a+b+c=a+(b+c)。2.括号前是“”号，添括号后，括号内符号要变（“+”变“”，“”变“+”）。abc=a(b+c)；ab+c=a(bc)。  ▲去括号法则（与添括号互逆）：1.括号前是“+”号，直接去掉括号，括号内符号不变。2.括号前是“”号，去掉括号后，括号内符号要变。  ★常见“好朋友”数对：个位凑十（如1和9，2和8，3和7，4和6，5和5）；多位凑百（如25和75，37和63，44和56等）。需熟记，达到条件反射。  ★基准数法（接近整十整百的数）：将接近整十、整百、整千的数视为基准数进行计算，多退少补。常用转化：98=1002，102=100+2，297=3003，1003=1000+3。  ★拆补凑整法：当算式中的数不能直接凑整时，通过将一个数拆成两部分，一部分与另一个数先凑整。例如：202+397，可将202拆为200+2，用2补足397得到(397+3)，但需注意397+3=400，所以实际上是200+(397+3)=200+400=600？这里容易出错！更稳妥的是：202+397=(200+2)+397=200+(397+2)=200+399=599。关键在于拆出的部分要与另一个数恰好凑成目标整百数。  ▲金字塔数列求和（拓展）：像1+2+3+…+n这样的数列，可以使用（首项+末项）×项数÷2的公式快速计算。例如1+2+…+10=(1+10)×10÷2=55。这本质上是“配对凑整”（1+10，2+9…）的系统化、公式化。八、教学反思  （一）目标达成度分析：本节课预设的知识与技能目标基本达成，大部分学生能识别并应用“凑整”解决标准题型。通过巩固练习的反馈，约85%的学生能独立完成基础层和部分综合层题目，体现了对核心方法的掌握。能力目标中，“观察猜想尝试”的过程在任务一、二中落实较好，但“验证”环节（尤其是对变形合理性的说理）因时间关系，主要由教师引导完成，学生自主论证能力培养稍显不足。情感目标在课堂氛围中可见一斑，学生尤其在“创造凑整”（任务三）环节表现出浓厚兴趣和成功喜悦，“先观察再计算”的提醒在课内被反复提及，习惯初显。  （二）环节有效性评估：1.导入环节以速算冲突切入，效果显著，瞬间抓住了学生的注意力，并精准点明了本课价值。“这个设计非常成功，真实地让学生感受到了‘巧算’与‘硬算’的效率差距。”2.新授的三个任务梯度合理，从“识别”到“变形”再到“创造”，脚手架搭建较为稳固。任务二中关于括号的“破”与“立”的对比辨析，是突破难点的关键设计，帮助学生理解了规则背后的道理，而非死记硬背。3.巩固训练的分层设计满足了不同学生的需求，但时间分配可再优化。基础层反馈较快，可压缩时间；综合层讨论时，出现了几种典型错误（如符号处理），讲评时间应更有保障。  （三）学生表现深度剖析：在小组活动中，观察到学生差异明显：约20%的“领先者”能迅速发现规律，并在任务三中提出多种拆数方案，他们是课堂探究的“发动机”；约60%的“跟随者