八年级数学一次函数专项辅导讲义

八年级数学一次函数专项辅导讲义3.解：解由①、②组成的方程组。用①-②：3-(-3)=k+b-(-2k+b)6=3k解得k=2将k=2代入①：3=2*1+b，解得b=14.写：所以，所求的一次函数解析式为y=2x+1。温馨提示：如果是正比例函数，因为b=0，所以只需要一个点的坐标（除原点外，原点代入总是成立的）就可以求出k的值了。二、直观的展现：一次函数的图像与画法我们知道，函数关系可以用列表、解析式和图像三种方法表示。图像法能非常直观地反映函数的变化趋势和一些性质。2.1一次函数图像的形状一次函数y=kx+b（k≠0）的图像是什么样子的呢？我们可以通过描点法来画几个一次函数的图像，观察一下。动手操作：画出一次函数y=2x+1的图像。*列表：选取一些x的值，计算出对应的y值。x...-2-1012...------------------------y=2x+1...-3-1135...*描点：在平面直角坐标系中，描出这些点：(-2,-3),(-1,-1),(0,1),(1,3),(2,5)。*连线：用平滑的直线将这些点连接起来。你发现了什么？这些点似乎在一条直线上！结论：一次函数y=kx+b（k≠0）的图像是一条直线。因此，一次函数也被称为线性函数。由于两点确定一条直线，所以画一次函数的图像时，只需确定两个点，然后过这两点画一条直线即可。2.2一次函数图像的画法方法：两点法。选择哪两个点比较方便呢？*与坐标轴的交点通常是比较方便的选择。*与y轴的交点：令x=0，代入y=kx+b，得y=b。所以，一次函数y=kx+b的图像与y轴交于点(0,b)。这个点的纵坐标就是b的值，我们称之为纵截距。*与x轴的交点：令y=0，代入y=kx+b，得0=kx+b，解得x=-b/k。所以，一次函数y=kx+b的图像与x轴交于点(-b/k,0)。这个点的横坐标是-b/k，我们称之为横截距。*有时，如果与坐标轴的交点不是整点，或者为了计算简便，也可以选择其他更容易计算y值的x整数值，比如x=1,x=-1等。步骤：1.确定两个点的坐标（通常选与坐标轴的交点）。2.在坐标系中描出这两个点。3.用直尺过这两个点画一条直线，即为一次函数的图像。例题：画出函数y=-x+3的图像。*与y轴交点：令x=0，y=3，得点(0,3)。*与x轴交点：令y=0，-x+3=0→x=3，得点(3,0)。*描点(0,3)和(3,0)，连线即可。正比例函数的图像：正比例函数y=kx（k≠0）是特殊的一次函数，b=0。所以它的图像一定经过原点(0,0)。因此，画正比例函数的图像，除了原点外，再找一个点即可，比如(1,k)。例如，画y=3x的图像，可描点(0,0)和(1,3)；画y=-0.5x的图像，可描点(0,0)和(2,-1)（或(1,-0.5)）。三、深入的剖析：一次函数的性质一次函数的图像是一条直线，这条直线的位置和倾斜程度是由谁决定的呢？没错，就是k和b这两个常数。我们来深入研究一下k和b对函数图像和性质的影响。3.1比例系数k的作用——决定直线的倾斜方向和倾斜程度k的符号决定直线的倾斜方向（增减性）：*当k>0时：直线从左到右上升。这意味着，随着自变量x的增大，函数值y也增大。我们说函数y随x的增大而增大。例如：y=2x+1，y=0.5x。*当k<0时：直线从左到右下降。这意味着，随着自变量x的增大，函数值y减小。我们说函数y随x的增大而减小。例如：y=-x+3，y=-2x-1。k的绝对值|k|决定直线的倾斜程度（陡峭程度）：k的值越大，直线越**陡峭**；k例如：y=3x和y=(1/2)x，k都是正数，图像都上升，但y=3x的图像比y=(1/2)x的图像陡峭得多。y=-3x和y=-0.2x，k都是负数，图像都下降，但y=-3x的图像比y=-0.2x的图像陡峭。3.2常数项b的作用——决定直线与y轴的交点位置b是直线y=kx+b与y轴交点的纵坐标，即交点是(0,b)。*当b>0时，直线与y轴交于正半轴。*当b=0时（正比例函数），直线经过原点。*当b<0时，直线与y轴交于负半轴。思考：如果两条直线的k值相等，这两条直线有什么关系？（提示：平行）如果两条直线的k值不相等，它们会相交吗？（提示：相交于一点）3.3综合来看：k和b共同决定直线的位置*k的符号：直线上升还是下降。*|k|的大小：直线的陡峭程度。*b的符号和大小：直线与y轴交点的位置。我们可以通过几个具体例子来感受一下：*y=2x+3：k>0（上升），b>0（交y轴正半轴）。*y=2x-3：k>0（上升），b<0（交y轴负半轴）。*y=-2x+3：k<0（下降），b>0（交y轴正半轴）。*y=-2x-3：k<0（下降），b<0（交y轴负半轴）。小贴士：记住“左减右加，上加下减”的图像平移规律（针对b值变化和x的系数变化），可以帮助我们快速判断图像的平移。但根本还是理解k和b的含义。四、知识的迁移：一次函数与方程、不等式的联系一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间有着密切的内在联系，用函数的观点去理解方程和不等式，可以使我们的认识更深刻。4.1一次函数与一元一次方程一次函数y=kx+b（k≠0）。当我们求“当y=0时，x的值是多少？”，也就是解方程kx+b=0。从图像上看，这就是求一次函数y=kx+b的图像与x轴交点的横坐标。例如：解方程2x+1=0，就是求函数y=2x+1的图像与x轴交点的横坐标。我们已经画过y=2x+1的图像，它与x轴交于(-0.5,0)，所以方程的解是x=-0.5。4.2一次函数与一元一次不等式解不等式kx+b>0（或kx+b<0），从函数的角度看，就是求当x取何值时，函数y=kx+b的值大于0（或小于0）。从图像上看，就是找出一次函数y=kx+b的图像在x轴上方（y>0）或下方（y<0）时，对应的x的取值范围。例如：解不等式2x+1>0。函数y=2x+1的图像是一条过点(-0.5,0)且上升的直线。图像在x轴上方（y>0）的部分，对应的x值是x>-0.5。所以不等式的解集是x>-0.5。总结：*一元一次方程kx+b=0的解→函数y=kx+b图像与x轴交点的横坐标。*一元一次不等式kx+b>0的解集→函数y=kx+b图像在x轴上方部分对应的x的取值范围。*一元一次不等式kx+b<0的解集→函数y=kx+b图像在x轴下方部分对应的x的取值范围。这种“数形结合”的思想是解决数学问题的重要方法，希望同学们能好好体会和运用。五、实际的应用：一次函数模型的建立与求解学习数学的最终目的是为了应用于实际。一次函数在现实生活中有着广泛的应用，如行程问题、工程问题、计费问题、利润问题等等。解决实际问题的一般步骤：1.审题：仔细阅读题目，理解题意，明确已知条件和所求问题。2.设元：选择一个适当的自变量x，并表示出相应的因变量y。3.列函数关系式：根据题目中的等量关系，列出一次函数的解析式y=kx+b。4.确定解析式：根据已知条件求出k和b的值，确定函数解析式。5.求解：利用求出的函数解析式解决提出的实际问题（如求值、预测、决策等）。6.