六年级数学下册：行程与时钟问题的模型建构与应用

六年级数学下册：行程与时钟问题的模型建构与应用一、教学内容分析

本课内容隶属北师大版六年级下册“数学好玩”及总复习板块，是小学阶段“解决问题”领域的集大成者，直接对接初中数学中的方程、函数思想。从《义务教育数学课程标准（2022年版）》看，其核心素养指向明确：模型思想（将复杂的现实情境抽象为行程或追及模型）、应用意识（用数学眼光观察发车、错车、时钟等现实世界）与推理能力（在复杂关系中寻找不变量、建立等量关系）。知识技能上，它深度融合了“数与代数”中的速度、时间、路程关系（s=vt）及比例思想，与“图形与几何”中的圆周运动、角度计算产生跨领域联结，是训练学生综合运用知识解决复杂问题的绝佳载体。过程方法上，本课强调“数学建模”的全过程：从情境识别、抽象简化、建立模型到求解验证，旨在引导学生体验“数学化”的思想路径。育人价值上，通过解决与生活息息相关的时序、交通问题，培养学生严谨、有序、守时的生活态度与规则意识，体会数学作为描述世界通用语言的力量。

针对学情，六年级学生已牢固掌握s=vt基本公式，具备一定的方程思想和比例知识，但将生活原型抽象为数学模型，尤其是处理多个对象、动态过程、隐藏不变量的问题时，普遍存在思维障碍。常见误区包括：混淆“发车间隔”与“车辆速度”，忽视错车问题中的“路程和”，难以将钟面角速度转化为追及问题。班级内部差异显著：部分学生仍停留于机械套公式；多数学生能解决单一模型问题；少数优等生具备初步的模型识别与转化能力，但缺乏系统性建构。教学对策是：设计“问题阶梯”，从单一模型到复合模型逐层深入；采用“可视化”策略（如线段图、动画演示）化解抽象过程；实施“分层任务单”，为不同认知水平的学生提供差异化“脚手架”；并通过“小组合作互讲”与“典型错例辨析”实现生生互学与自我反思。二、教学目标

知识目标：学生能够深度理解并清晰阐述三类问题的核心数学模型：在间隔发车问题中，抓住“路程=车速×间隔时间”这一不变量；在错车问题中，熟练运用“路程和=速度和×相遇时间”；在钟面问题中，成功将时针与分针的夹角问题转化为环形跑道上的追及问题。他们不仅能复述公式，更能解释每个变量在具体情境中的实际意义。

能力目标：学生能够从复杂的生活或文字描述中，精准提取数学信息，识别问题类型，并自主选择或建构相应模型进行求解。具体表现为：能独立画出清晰的线段图或示意图辅助分析；能逻辑严密地表述解题思路；能通过改变条件（如变“相遇”为“追及”、变“直线”为“环形”）进行简单的模型变式与迁移。

情感态度与价值观目标：在小组探究与模型建构的过程中，学生能体验到数学的简洁与普适之美，增强学习数学的内在动机。通过解决与公共交通、时间规划相关的问题，初步形成守时、高效的意识，并认识到数学在优化社会运行中的实际价值。

科学（学科）思维目标：重点发展学生的模型建构思维与转化思想。引导学生经历“具体情境—抽象模型—数学求解—回归解释”的完整建模过程，学会用“运动与关系”的视角分析问题。通过对比三类问题的异同，提升其归纳与类比的能力。

评价与元认知目标：学生能够依据清晰的评价量规（如示意图的准确性、等量关系建立的合理性、解答的完整性）对同伴或自己的解题过程进行评价。在课堂小结环节，能反思自己在模型识别与选择上的思维过程，说出“我最初是怎么想的，后来为什么调整了策略”。三、教学重点与难点

教学重点：建立并灵活运用三类问题的核心数学模型——间隔发车中的“等路程”模型、错车问题中的“相遇”或“追及”模型、钟面问题中的“环形追及”模型。其确立依据源于课标对“模型思想”这一核心素养的要求，以及小升初考试中此类问题作为区分学生综合应用能力高频考点的现实。掌握这些模型，意味着学生抓住了解决一大类动态问题的“牛鼻子”，能为中学学习更复杂的运动问题奠定坚实基础。

教学难点：一是理解间隔发车问题中“发车间隔时间”的本质是“同一方向相邻两车之间的时间差”，并由此推导出“车速×间隔时间=两车间距（固定路程）”这一关键等式。二是将抽象的钟面问题成功转化为直观的行程追及问题，特别是理解分针与时针的“速度差”（5.5°/分或11/2格/分）。难点成因在于学生的空间想象与抽象转化能力尚在发展，且需要克服“钟面是时间显示工具”这一生活经验的思维定势。突破方向在于强化直观演示与类比迁移：用动态课件展示“发车流水线”，用实物钟表或动画演示指针追及，引导学生高呼：“看！钟面就是圆形跑道！”四、教学准备清单1.教师准备

1.1媒体与教具：交互式课件（内含发车、错车动画模拟，钟面指针动态追及演示）；实物钟表模型（可拨动指针）。

1.2学习材料：分层学习任务单（A基础巩固型、B综合应用型、C挑战拓展型）；课堂练习卷；小组讨论记录卡。2.学生准备

复习速度、时间、路程三者关系；准备直尺、铅笔；预习任务单（观察公交站牌的发车频率，记录自己家钟表在某一时刻的指针位置）。3.环境布置

教室桌椅按46人小组合作式摆放，便于讨论；黑板分区规划，预留模型推导区、例题讲解区与学生展示区。五、教学过程第一、导入环节

1.情境创设：课件同时展示三个动态情境：①公交站，公交车以固定时间间隔开出；②铁路桥上，两列火车相向而行即将交错；③一个走得有些“不准”的钟表，分针即将追上时针。教师同步设问：“同学们，这三幅画面，看似毫无关联，但在数学家的眼里，它们背后可能藏着同一个秘密。这个秘密是什么呢？咱们今天就来当一回‘数学侦探’，揭开谜底！”

1.1问题提出：聚焦钟表画面，将时间拨到3点整。提问：“我们都知道3点时，时针和分针成直角。那么，大概再过多少分钟，时针和分针会第一次重合呢？猜一猜，凭感觉。”收集几个猜测答案后，教师笑道：“感觉靠不住啊！我们需要一个可靠的数学方法。这个方法，就隐藏在前面公交车和火车的运行规律里。”

1.2路径明晰：“今天，我们的探索路线是：先摸清‘发车’的规律，再搞懂‘错车’的奥秘，最后带上这两件法宝，去攻克‘钟面’这个终极堡垒。我们要学会的，就是把生活中千变万化的问题，变成我们熟悉的数学模式——这就是‘建模’！”第二、新授环节任务一：揭秘“流水发车”——寻找隐藏的“固定路程”

教师活动：播放公交车从总站匀速、间隔相等时间发出的动画。第一问：“大家看，这像不像一条‘车流’？假设车速恒定，每5分钟发一班车。你能在图中找到哪些‘不变’的量？”引导学生关注任意相邻两车之间的距离。第二问（关键脚手架）：“如果我们把视线‘钉’在道路的某一个固定点上，比如这个公交站牌，会发现每隔5分钟就有一辆车经过。那么，在刚才发车的这段时间里，从第一辆车到第二辆车，它用了5分钟走了多少路程呢？”当学生答出“就是两车之间的距离”时，教师板书核心关系：车速×发车间隔时间=两车间距（固定）。第三问：“如果现在知道车速是600米/分，两车间距是多少？反过来，如果测量出两车间距是3000米，能求出车速吗？”通过逆向提问，强化模型。

学生活动：观察动画，直观感知“车流”的均匀性。在教师引导下，小组讨论并尝试用语言描述“不变量”。动手在任务单上画出线段图，用一段固定的线段表示“两车间距”。根据教师提问进行列式计算，并理解公式的可逆运用。

即时评价标准：1.观察与描述：能否准确指出动画中的“不变量”（相邻两车间的空间距离不变）。2.作图表征：能否用清晰的线段图正确表示出发车情景与“固定路程”。3.关系迁移：能否在给出车速或间隔时间其中一个条件时，正确计算出另一个量。

★核心知识清单：间隔发车模型：当车辆匀速、等间隔从起点发出时，相邻两车之间的路程是固定的。这个固定路程等于车速乘以发车间隔时间。这是解决所有发车问题的基石。▲思维提示：不要纠结于具体哪辆车，要把目光聚焦在“车与车之间的那段空隙”上，它是一个“运动着的固定长度”。任务二：破解“交错瞬间”——理解“速度和”的威力

教师活动：切换至两列火车在平行轨道上相向而行的动画。第一问：“它们要交错而过，从车头相遇到车尾分离，这两列火车共同完成了一段怎样的‘总路程’？”操作动画高亮显示，引导学生发现是“甲车长+乙车长”。第二问（搭建脚手架）：“这对它们俩来说，是一次‘相遇’过程吗？如果是，它们的‘速度和’在此时有什么妙用？”板书：(甲车长+乙车长)=(甲速+乙速)×错车时间。第三问（变式）：“如果两车同向而行，快车追上慢车并完全超过，总路程变不变？‘速度和’要换成什么？”引出“速度差”模型。强调：“同学们，无论是相向还是同向，关键是找准那个‘总路程’，然后配上合适的‘速度关系’！”

学生活动：观看错车动画，小组合作在纸上画图演示“车头相遇”到“车尾分离”的过程，共同指认“总路程”。对比“相遇”与“追及”两种情形下图的异同，总结公式。派代表上台，用教具火车模型模拟演示，并讲解思路。

即时评价标准：1.空间想象：能否正确描述或画出错车全过程，并精准定位总路程。2.模型匹配：能否根据“相向”或“同向”条件，准确选择“速度和”或“速度差”公式。3.表达交流：小组演示与讲解是否清晰、有条理。

★核心知识清单：错车问题模型：①相向错车（相遇问题）：总路程=两车车长之和；所用时间=路程和÷速度和。②同向超车（追及问题）：总路程=两车车长之和；所用时间=路程和÷速度差。▲方法点睛：解决此类问题的第一步，也是最重要的一步，就是在脑海中或纸上“演完”整个交错过程，锁定“总路程”这个目标。任务三：巧解“指针追及”——实现问题的华丽转身

教师活动：回到导入时的钟面问题。出示实物钟，拨动指针。第一问（转化关键）：“如果我们把钟面一圈（360°或60格）想象成一条环形跑道，分针和时针就是跑道上两位运动员。谁跑得快？”学生答后，板书速度：分针速度：6°/分或1格/分；时针速度：0.5°/分或1/12格/分。第二问：“在3点整时，分针落后时针90°（或15格）。现在它们同时开始跑，分针要追上时针，这是一个什么数学问题？”引导学生齐答：“追及问题！”第三问：“那么，在环形跑道上，追及路程、速度差和追及时间是什么关系？”板书：初始夹角（路程差）=(分针速度时针速度)×追及时间。以3点为例代入计算：90°÷(6°/分0.5°/分)=180/11分≈16.36分。

学生活动：跟随教师拨动自己的学具钟表，直观感受指针速度差异。计算分针与时针的速度差。将钟面问题与任务二中的“火车追及”问题进行类比，小组讨论找出对应关系（初始夹角相当于“车长和”？还是“路程差”？）。动手使用公式计算3点后两针重合的时间，并验证。

即时评价标准：1.转化能力：能否清晰地将“钟面”、“指针”、“夹角”转化为“跑道”、“运动员”、“路程差”。2.计算应用：能否正确计算指针角速度及速度差，并准确代入追及公式求解。3.验证意识：是否尝试通过拨动钟表或逻辑推理（如计算结果是否在合理范围）验证答案。

★核心知识清单：钟面问题模型（环形追及）：钟面一周为360°或60格。分针速度：V_分=6°/分=1格/分。时针速度：V_时=0.5°/分=1/12格/分。速度差：ΔV=5.5°/分=11/12格/分。核心公式：初始夹角（路程差）=速度差×追及时间。◉易错警示：求“成直线”、“成夹角”等问题时，需明确此时的“路程差”是多少（如成直线时相差180°），再代入公式。任务四：对比关联，融会贯通

教师活动：将三个模型的推导过程并列在黑板上。发起讨论：“让我们站远一点，看看我们今天建造的这三个‘数学模型’。它们之间有什么共同的神韵？”引导学生发现：1.都在处理运动与关系；2.核心都是s=v×t或其变式；3.关键在于找准不变量（固定路程、总路程、路程差）和速度关系。教师总结：“看，公交发车、火车错车、指针转动，看似风马牛不相及，但用数学的眼光看，它们都归顺于同一个‘运动家族’。这就是数学建模的魅力——以不变应万变！”

学生活动：参与全班讨论，对比三个模型，尝试用自己的话总结共通的解题思想。在任务单的知识结构图上，用箭头或关键词标注出三个模型之间的联系。第三、当堂巩固训练

基础层（全体必做）：1.某路公交车每隔8分钟发一班车，车速恒定800米/分。相邻两车之间的距离是多少米？2.两列火车相向而行，甲车长200米，车速20米/秒；乙车长300米，车速30米/秒。从车头相遇到车尾分离需要几秒？

综合层（多数学生完成）：3.（情境化）一个地铁调度员需要保证两列地铁在环线上保持至少2分钟的安全间隔。已知地铁平均速度是72千米/时，换算后，两列地铁在轨道上的最小距离应保持多少米？4.现在是4点整，至少过多少分钟，时针和分针的夹角会第一次缩小到30°？

挑战层（学有余力选做）：5.（开放探究）如果一辆公交车在一条线路上往返运行，起点站同时发车，已知全程时间和发车间隔，你能分析出在路线中途任一站点，乘客看到两个方向来的车的候车时间规律吗？（只需画出分析思路图）

反馈机制：学生独立完成基础层和自选综合层题目后，小组内交换批改，运用即时评价标准进行互评。教师巡视，收集典型正例与错例。针对共性疑难（如第4题角度转化），进行集中精讲，展示优秀解题思路图。挑战层问题作为课后小组研讨课题。第四、课堂小结

知识整合：教师引导学生以“运动问题模型”为中心，绘制简易思维导图，分出三条主干：间隔发车（固定路程模型）、错车/超车（路程和/差模型）、钟面追及（环形追及模型），并标注核心公式与关键不变量。“请大家对照这幅地图，看看我们今天征服了哪些数学高地。”

方法提炼：“回顾一下，我们解决这些陌生问题的通用步骤是什么？”学生总结：1.画图理解情境；2.识别问题类型（找不变量、辨速度关系）；3.建立数学模型（套用或变式公式）；4.求解并验证。“对，这就是我们今天修炼的‘建模四步法’。”

作业布置：1.必做（基础+综合）：完成练习卷A面，包含三类问题的基本应用。2.选做（拓展探究）：1.研究一下“蜗牛爬井”问题（每天爬5米滑2米），它和我们今天学的哪个模型有异曲同工之妙？2.小组合作，尝试设计一道融合“发车”和“错车”情节的综合应用题，并附上解答。

“下课铃不是思考的终点，带着模型的眼睛，你会发现生活中处处有数学的舞台。我们下节课再见！”六、作业设计

基础性作业：1.概念梳理：用自己的话解释间隔发车问题中“固定路程”的含义，并写出其计算公式。2.直接应用：已知两列火车同向行驶，快车长150米，速度25米/秒；慢车长100米，速度15米/秒。求快车从追上慢车到完全超过所需时间。3.计算巩固：求5点后，时针与分针第一次成直角的时间。

拓展性作业：4.情境应用：小明观察到某公交站，同一路车的两个方向来车，总在他等车约3分钟时相继到站。请结合“间隔发车”模型，尝试分析这背后可能的公交调度规律（假设两方向发车间隔相同）。5.模型变式：一个旧式钟表，每小时比标准时间慢4分钟。若在中午12点将它调准，那么当这个钟表指向下午3点时，标准时间是几点几分？

探究性/创造性作业：6.微项目：设计一份《我的周末出行数学观察报告》。选择一条你熟悉的公交或地铁线路，通过网络查询或实地估算（在安全前提下），获取其发车间隔、平均速度等数据。计算两车之间的距离。进一步思考：如果遇到交通拥堵（车速变慢），为保证发车间隔不变，调度员应如何调整发车策略？写出你的分析和建议。七、本节知识清单及拓展

★1.间隔发车核心模型：当车辆匀速、等时间间隔从同一地点发出时，相邻两车之间的路程保持不变。该固定路程S_fixed=车速v×发车间隔时间t_interval。所有关于发车间隔、车速、车辆数的问题，都围绕此等式展开。

★2.发车问题中的“乘客视角”：在车站等车的乘客，遇到迎面而来的相邻两车的间隔时间，就等于发车间隔时间。这是理解“等间隔”的直观方式。

★3.错车问题（相向）模型：两车车头相遇到车尾分离，总路程S_total=甲车长L_甲+乙车长L_乙。所用时间t=S_total÷(v_甲+v_乙)。关键在于将两车视为一个整体，共同走完“长度和”。

★4.超车问题（同向）模型：快车车头追上慢车车尾，到快车车尾离开慢车车头，总路程S_total=L_快+L_慢（与错车相同）。所用时间t=S_total÷(v_快v_慢)。这里追及的是“车尾对车头”的初始位置差。

◉5.易错点辨析：错车与超车，总路程都是两车长之和，区别仅在于速度关系是“和”还是“差”。切勿记混。

★6.钟面问题基本设定：圆形钟面一周为360度，也对应60个“格”（每大格）。这是环形跑道的总长度。

★7.指针速度的两种表述：分针：每分钟走360°÷60=6°，或走1格。时针：每分钟走360°÷(12×60)=0.5°，或走1÷12=1/12格。务必熟记。

★8.钟面追及核心公式：将钟面视为环形跑道，指针追及问题完全类比行程追及。追及时间t=初始角度差（路程差）θ÷速度差Δv，其中Δv=6°0.5°=5.5°/分（或11/12格/分）。

★9.常见“夹角”对应的路程差：重合（0°或0格）→路程差为初始夹角；成直线（180°或30格）→路程差为初始夹角与180°的差值（需考虑追及方向）；成直角（90°或15格）等同理。分析时务必结合具体时刻判断。

▲10.模型思想的升华：间隔发车（匀速点源扩散）、错车/超车（两物体相对运动）、钟面追及（环形追及）三者本质统一于s=v×t及其变式(s和=v和×t),(s差=v差×t)。掌握模型思想，就是掌握将千变万化的具体问题归类、抽象并套用或调整已知解决方案的能力。

▲11.“牛吃草”问题联想：经典的“牛吃草”问题（草在匀速生长）中，原有的草量相当于“固定路程”，新生长的草量需要由部分牛的吃草速度去“抵消”，这类似于“追及”问题中处理“速度差”的思想。建立这种跨问题类型的联想，能极大地加深对模型本质的理解。

▲12.拓展：变速运动与图像（供学有余力者了解）：在更复杂的行程问题中，速度可能变化。此时，在平面直角坐标系中绘制“路程时间”(st)图或“速度时间”(vt)图，通过图形的斜率、面积进行几何分析，是更强大的数学工具，将在初中深入接触。八、教学反思

（一）目标达成度分析：从当堂巩固训练的完成情况看，约85%的学生能独立解决基础层和部分综合层问题，表明知识目标与基础能力目标基本达成。在小组讨论和总结环节，多数学生能准确说出三类模型的核心特征，显示出对模型思想的初步理解。然而，挑战层问题的探索者寥寥，且部分学生在综合层第4题（钟面成特定角）上仍存在困难，说明将模型灵活应用于复杂变式的能力，以及精确转化“路程差”的思维严谨性，仍需在后续练习中加强。

（二）环节有效性评估：导入环节的“矛盾钟面”情境成功激发了普遍的好奇心，起到了“凝神、起兴”的作用。新授环节的四个任务，逻辑链条清晰，从具体到抽象，从特殊到一般，符合认知规律。特别是“任务三”中，运用实物钟表与动画相结合的方式，有效突破了“抽象转化”这一难点，学生那句“原来钟就是圆形跑道！”的惊呼，是教学成功的生动注脚。巩固环节的分层设计照顾了差异，但小组互评环节时间稍显仓促，