2026年高考数学二轮复习模块二 函数与导数（天津）（解析版）

模块二函数与导数

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的．

1．下列函数中，在其定义域上是奇函数又是减函数的是（）.

1

A．fxx3B．fxx2C．fxD．fx2x

x

【答案】D

3

【详解】对于A，函数fxx在R上单调递增，故A错误；

对于B，函数fxx2是偶函数，故B错误；

1

对于C，函数fx的定义域是x|x0，不是其定义域上的减函数，故C错误；

x

对于D，函数fx2x定义域为R，是奇函数且在R上单调递减，故D正确.

故选：D.

x2,x0

．已知，则的函数值为（）

2fx2f6

x2x,x0

A．312B．174C．36D．174

【答案】C

【详解】f66236.

故选：C

11

3．设2a5b10，则的值为（）

ab

1

A．B．C．2D．10

22

【答案】C

ab

【详解】因为2510，所以alog210,blog510，

1111

log102log105log10102.

ablog210log510

故选：C

4．若偶函数fx在,1上是增函数，则下列关系式中成立的是（）

33

A．ff1f2B．f2ff1

22

33

C．f2f1fD．f1ff2

22

【答案】B

【详解】因为yfx为偶函数，

所以f2f2，

又因为yfx在,1上是增函数，

3

所以f2ff1，

2

3

故f2ff1.

2

故选：B

5．已知命题p:ab0，命题

q:2a2b，则命题

p是命题q

的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】根据题意由指数函数y2x的单调性可知p:ab0能推出q:2a2b，

即充分性成立；

由q:2a2b可推出ab，不能推出p:ab0，即必要性不成立；

因此命题p是命题q的充分不必要条件.

故选：A

6．荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月

累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把(11%)365看作是每天的“进步”率都是1%，一年

365

后是1.0136537.7834；而把(11%)看作是每天“退步”率都是1%，一年后是0.993650.0255；这样，一年后

1.01365

的“进步值”是“退步值”的1481倍.那么当“进步”的值是“退步”的值的2倍，大约经过（）天.

0.99365

（参考数据：lg1012.0043，lg991.9956，lg20.3010)

A．9B．15C．25D．35

【答案】D

1.01

【详解】设经过x天“进步”的值是“退步”的值的2倍，则()x2，

0.99

lg2lg2lg20.30100.3010

xlog235

所以1.011.01101lg101lg992.00431.99560.0087，

0.99lglg

0.9999

故选：D.

7．函数f(x)xlnx的大致图像是（）

A．B．

C．D．

【答案】A

【详解】易得f(x)的定义域为x0，

因为f(x)xlnx，所以f(x)xlnxxlnxf(x)，

则f(x)是奇函数，关于原点对称，故C，D错误，

令f(x)0，解得x1，而当x(0,1)时，f(x)0，故B错误.

故选：A

8．函数fxlnx8x的零点个数为（）

A．0B．1C．2D．3

【答案】C

11x

【详解】由题设fx1且定义域为(0,)，

xx

当0x1时，fx0，当x1时，fx0，

所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,)上单调递减，故f(x)f(1)7，

当x0或时f(x)，故f(x)在定义域上有2个零点.

故选：C

cos(2πx2πa),xa

9．设aR，函数f(x)22，若函数f(x)在区间(0,)内恰有6个零点，

x2(a1)xa5,xa

则a的取值范围是（）

95117511911711

A．(2,](,]B．(,2](,]C．(2,][,3)D．(,2)[,3)

4244244444

【答案】A

【详解】⸪函数fx在区间0,内恰有6个零点，且二次函数最多两个零点，

⸫当xa时，fx0至少有四个根，

π

令f(x)cos2πx2πacos2π(xa)0，则2πxa=+kπ,kZ

2

k1k111

解得：xa，⸪x（0，+），⸫0aa，即2ak，

242422

当xa时，f(x)cos2π(xa)，

179

①若fx有4个零点，此时52a4，即a；

244

1911

②若fx有5个零点，此时62a5，即a；

244

11113

③若fx有6个零点，此时72a6，即a；

244

当xa时，fxx22a1xa25，

令=4(a1)24(a25)8a160，解得：a2，

①若a2，fx没有零点；②若a=2，x3，fx有1个零点；

③若a2，faa22a(a1)a252a5，且对称轴xa1，

5

当2a50时，即2a，fx有2个零点；

2

5

当2a50时，即a，fx有1个零点

2

综上所述，函数fx在区间0,内恰有6个零点需要满足，

79911

aa1113

4444a

或或44

55

2aa2或aa2

22

9511

解得a2,,

424

故选：A.

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分

lnx,x0

10．函数fx，当fx10时，则x的值为.

x1,x0

【答案】e或0

【详解】由fx10，则fx1，

当x0时，fxlnx1，即xe；

当x0时，fxx11，即x0或x2（舍去）.

综上所述，xe或x0.

故答案为：e或0.

11．设函数fxx22xax2a，其中a0，若只存在两个整数x，使得fx0，则a的取值范围

是．

1

【答案】0,

3

【详解】因为fx0即：x22xax2，

即yx22x的图像只有两个整数点位于yax2的下方，

只有两个整数x，使得fx0，当x1时：12211，

1

此时yax23a，令3a1，解得a，

3

此时有两个整数满足fx0

即x0或x2，

1

结合图像可得a的取值范围是0,，

3

1

故答案为：0,.

3

12．若函数f(x)x3ax2x9在x1处取得极值，则f2．

【答案】1

【详解】解：f'(x)3x22ax1，

因为函数f(x)x3ax2x9在x1处取得极值，

所以，f'(1)32a10，解得a1，

此时，f'(x)3x22x13x1x1，

1

故当x1,时，f'(x)0，f(x)单调递减；

3

1

当x,1和,时，f'(x)0，f(x)单调递增；

3

所以，函数f(x)在x1处取得极小值，满足题意，

所以，f(x)x3x2x9

所以f284291

故答案为：1

13．已知下列命题：

①命题：“x(0，2)，3xx3”的否定是：“x(0，2)，3xx3”；

②若f(x)2x2x，则xR，f(x)f(x)；

1

③若f(x)x，则x(0，)，f(x)1；

x100

④等差数列an的前n项和为Sn，若a43，则S721；

⑤在ABC中，若AB，则sinAsinB.

其中真命题是.（只填写序号）

【答案】①②④⑤

【详解】对于①，全称命题的否定为特称命题，所以命题：“x(0，2)，3xx3”的否定是：“x(0，2)，3xx3”，

故①正确；

对于②，因为f(x)2x2x，所以f(x)2x2x，所以f(x)f(x)，故②正确；

1

111

对于③，x(0，)，所以f(x)xx112x111，当今当x01，

00000x1

x01x01x010

2

即x011，所以x00（舍去），

所以f(x0)1，故③错误；

7a1a7

对于④，等差数列an中，S7a，因为a43，所以S721，故④正确；

724

对于⑤，在ABC中，若AB，则ab，所以2RsinA2RsinB，所以sinAsinB，故⑤正确；

故答案为：①②④⑤

x

14．设函数f(x)xlnx，g(x)xe，若存在x1,x2，使得g(x1)f(x2)，则|x1x2|的最小值为.

【答案】1

【详解】因为g(x)xex，所以g(x)1ex0恒成立，

所以g(x)xex在R上单调递增，

又因为f(x)xlnxelnxlnxglnx，

且存在x1,x2，使得g(x1)f(x2)glnx2，所以x1lnx2，

所以x1x2=lnx2x2，令hxlnxx1x0，

11x

则hx1，

xx

当0x1时，hx0，hx单调递增；

当x1时，hx0，hx单调递减，

所以hxh10，所以lnxx1,即lnxx1,当x1时取等号.

所以x1x2lnx2x2x2lnx2x2lnx21（当x21时取等号，此时x10,gx1fx21满足题意），

所以|x1x2|的最小值为1.

故答案为：1.

log2x,0x2

15．已知函数fx，若fa1f2a10，则实数a的取值范围是.

2x3,x2

1

【答案】a2

2

【详解】因为当x0,2时，fxlog2x是单调递增函数，此时fxf21，

当x2,时，fx2x3是单调递增函数，此时fxf21，

logx,0x2

所以fx2是定义在0,上的单调递增函数，

2x3,x2

所以若fa1f2a10即fa1f2a1，

1

则a12a10，解得a2.

2

1

故答案为：a2

2

三、解答题：（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

1

16．（14分）已知函数f(x)ax(a1)lnx．

x

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若f(x)在0,1内的最大值为2，求a的值；

1

(3)若fxx，求a的取值范围．

x

e1

【答案】(1)答案见解析(2)ae；(3),．

e1

1a1x1ax1

【详解】（1）求导得fxa(x0)，

x2xx2

当a0时，ax-1<0，则f'(x)0，得0x1，f'(x)0，得x1，

所以fx在0,1上单调递增，在1,上单调递减；

1

当a0时，令f'(x)0，解得x1或，

a

111

当0a1时，1，则fx0，得0x1或x，f'(x)0，得1x，

aaa

11

则fx在1,内单调递减，在0,1和,上单调递增；

aa

1

当a1时，1，f'(x)0，则fx在区间(0,）上单调递增；

a

111

当a1时，1，则f'(x)0，得0x或x1，f'(x)0，得x1，

aaa

11

则fx在区间,1内单调递减，在0,和1,上单调递增，

aa

综上，a0时，fx在0,1上单调递增，在1,上单调递减；

11

0a1时，fx在1,内单调递减，在0,1和,上单调递增；

aa

a1时，fx在区间(0,）上单调递增；

11

a1时，fx在区间,1内单调递减，在0,和1,上单调递增.（5分）

aa

（2）由（1）知，当a1时，fx在0,1内单调递增，

则，解得与矛盾；

fxmaxf1a12a3a1

11

当a1时，fx在0,上单调递增，在,1上单调递减，

aa

11

所以fxf1aa1ln2，即a(a1)lna10，

maxaa

1

令gxxx1lnx1(x1)，则gxlnx0，

x

则gx在(1,)上单调递减，

又geee1lne10，故ae；

综上，ae.（10分）

111

（3）由fxx可得axa1lnxx，

xxx

即axlnxxlnx，

1x1

令hxxlnx，则hx1，

xx

则hx0得x1；hx0得0x1，

则hx在0,1上单调递减，在1,上单调递增，

则hxh110，则xlnx0，

xlnxxlnx

故a，令kx，

xlnxxlnx

21lnx

'

则kx2，令k(x)0，解得xe，

xlnx

则当0xe时，k'(x)0，当xe时，k'(x)0，

则kx在0,e上单调递增，在e,+上单调递减，

e1e1

则kxke，所以a，

maxe1e1

e1

故a的取值范围为,．（14分）

e1

17．（15分）已知函数fxax21，其中aR，a0.

(1)若f(1)=-2，求：实数a的值；

(2)若a1时，求不等式fx≤1的解集；

(3)求不等式fx3的解集；

【答案】(1)1(2)2,2(3)答案见解析

【详解】（1）由f1a12，则a1.（3分）

（2）当a1时，fxx21，

由fx≤1，则x211，解得2x2，

≤

所以不等式fx1的解集为2,2.（8分）

（3）由fx3，则ax213，即ax24，

242a2a

当a0时，x，解得x或x；

aaa

当a0时，ax20，不等式无解.

2a2a

综上所述，当a0时，不等式fx3的解集为,,；

aa

当a0时，不等式fx3的解集为.（15分）

1

18．（15分）已知函数f(x)exaex(a1)x2(a1)x(a1)，其中aR．

2

(1)当a0时，求曲线yf(x)在x1处的切线方程；

(2)当a1时，证明对于任意的实数x，总有f(x)0；

(3)若x0是f(x)的极值点，求a的值．

121

【答案】(1)yx(2)证明见解析(3)a1

ee2

1

【详解】（1）当a0时，f(x)exx2x1，f(x)exx1，

2

111

则f(1)，f(1)，

e2e

111121

所以曲线yf(x)在x1处的切线方程为y(x1)，即yx．（4分）

e2eee2

（2）当a1时，f(x)exexx22，

则f(x)exex2x，令g(x)exex2x，

则g(x)exex22exex20，当且仅当x0时等号成立．

所以f(x)在R上单调递增．

又f(0)0，所以当x0时，f(x)0；当x0时，f(x)0．

所以f(x)在(,0)上单调递减，在0,上单调递增．

所以fxf00．（9分）

（3）f(x)exaex(a1)x(a1)，则f(0)0．

当a0时，可证exx1恒成立，

令(x)exx1，则(x)ex1，

当x0时，(x)0，函数(x)exx1在,0上单调递减，

当x0时，(x)0，函数(x)exx1在0,上单调递增，

所以(x)(0)，所以exx10，所以exx1，当且仅当x0时取到等号，

所以exx1，aexaxa．

所以fxx1axaa1xa10．

可得f(x)在R上单调递增，与题意矛盾，舍去；

当a0时，令h(x)exaex(a1)x(a1)，

则h(x)exaex(a1)，且h(0)0．

令(x)exaex(a1)，则(x)exaex．

显然，(x)在R上单调递增．

1

令(x)exaex0，解得xlna．

2

1

①当a(0,1)时，lna0，

2

11

可得当xlna,时，(x)0，故h(x)在lna,上单调递增．

22

又h(0)0，

1

故当xlna,0时，h(0)0，

2

当x(0,)时，h(x)0．

1

所以f(x)在lna,0上单调递减，在(0,)上单调递增．

2

11

又f(0)0，所以当xlna,时，f(x)0，f(x)在lna,上单调递增，故x0不是极值点，

22

不合题意；

1

②当a(1,)时，lna0，

2

1

可得当x,lna时，(x)0，

2

1

故h(x)在,lna上单调递减．

2

又h(0)0，故当x(,0)时，h(x)0，

1

当x0,lna时，h(x)0．

2

1

所以f(x)在,0上单调递增，在0,lna上单调递减．

2

1

又f(0)0，所以当x,lna时，f(x)0，

2

1

f(x)在,lna上单调递减，故x0不是极值点，不合题意；

2

1

③当a1时，lna0，

2

可得当x(,0)时，(x)0，

当x(0,)时，(x)0．

所以h(x)在,0上单调递减，在0,上单调递增．

又h(0)0，所以h(x)0，则f(x)在R上单调递增．

又f(0)0，所以当x,0时，f(x)0，

当x0,时，f(x)0．

所以f(x)在,0上单调递减，在0,上单调递增．

所以x0是f(x)的一个极小值点，满足题意．

综上，当且仅当a1时，x0是f(x)的极值点．（15分）

31

19．（15分）已知函数fx2x2ax10，gxx2x，（aR）

4

(1)当a1时，求f2的值；

(2)若对任意xR，都有fxgx成立，求实数a的取值范围；

(3)若x10,2，x20,1，使得不等式fx1gx2成立，求实数a的取值范围．

【答案】(1)16；(2)2a4；(3)a25.

【详解】（1）由题设fx2x2x10，则f222221016；（2分）

319

（2）由题设2x2ax10x2x恒成立，即x2(1a)x0恒成立，

44

9

所以，只需(1a)241a22a8(a2)(a4)0，可得2a4；（6分）

4

（）由题设，在，，有成立，

3x10,2x20,1fx1mingx2min

31115115

对于gxx2x(x)2，x0,1，易知gxg()，

422min22

aa2

对于fx2x2ax102(x)210，x0,2，

48

a15

当0，a0时，f(x)f(0)10，显然10，满足；

42

aaa2a215

当02，0a8时，f(x)f()10，只需10，可得0a25；

44882

a15

当2，a8时，f(x)f(2)182a，只需182a，无解；

42

综上，a25.（15分）

20．（16分）已知函数fxx21aln1x，

(1)若曲线yfx在点0,1处的切线与直线3x2y10垂直，求实数a的值；

(2)当a4时，讨论函数单调性

(3)当a2时，若对任意x1,，不等式fxx2bexlnb恒成立，求b的最小值；

(4)若fx存在两个不同的极值点x1,x2,x1x2，且fx1mx2，求实数m取值范围．

243

【答案】(1)(2)在区间1,上单调递增，在区间1,1上单调递减(3)(4)m|mln2

3e2

a

【详解】（1）由fxx21aln1x得：fx2x，

1x

3

则f0a，又由直线3x2y10的斜率为，

2

32

根据题意可知：a1a；（4分）

23

42x22x4

（2）由（1）可知fx2x(x1)，

1x1x

令fx0，得x1，故函数fx在区间1,上单调递增，

令fx0，得1x1，故函数fx在区间1,1上单调递减，

综上，函数fx在区间1,上单调递增，在区间1,1上单调递减；（9分）

（3）当a2时，不等式可化为x212ln1xx2bexlnb，

22

变形为x22x12ln1xbexlnbxx1ln1xbexlnbex

1

同构函数gttlnt，求导得gt10，

t

2

所以gttlnt在0,上是增函数，而原不等式可化为gx1gbex，

2

2x1

根据单调性可得：x1bexb，x1,

ex

2

22x1exx1exx21

x1hx

再构造hx，则2x，x1,

exexe

2

x21x1

当x1,1时，hx0，则hx在x1,1上单调递增，

exex

2

x21x1

当x1,时，hx0，则hx在