2026年自学考试概率论与数理统计模拟试题

2026年自学考试概率论与数理统计模拟试题考试时长：120分钟满分：100分一、单选题（总共10题，每题2分，总分20分）1.设随机变量X的分布律为P(X=k)=c(1/2)^k，k=1,2,3,4，则常数c的值为（）A.8B.16C.1/8D.1/162.若随机变量X～N(μ,σ^2)，且P(X≤μ-σ)=0.2，则P(X>μ+σ)的值为（）A.0.2B.0.8C.0.6D.0.43.设总体X～N(0,σ^2)，样本X1,X2,...,Xn的样本均值为，则样本方差S^2的无偏估计量是（）A.(n-1)∑(Xi-)^2B.∑(Xi-)^2C.n∑(Xi-)^2D.∑Xi^2/n4.设X1,X2,...,Xn是来自总体X～P(λ)的样本，则λ的无偏估计量是（）A.∑Xi/nB.∑Xi^2/nC.(n-1)∑(Xi-)^2D.∑(Xi-)^2/n5.设总体X的分布未知，但已知X的期望E(X)=μ，方差D(X)=σ^2，则样本容量n至少为多少时，才能使样本均值以95%的置信水平估计μ，且误差不超过0.1σ？（）A.385B.96C.64D.166.设X1,X2,...,Xn是来自总体X～N(μ,σ^2)的样本，要检验H0:μ=μ0，应选择的检验统计量是（）A.t=(-μ0)/(S/√n)B.Z=(-μ0)/(σ/√n)C.χ^2=∑(Xi-μ0)^2/(σ^2)D.F=S^2/σ^27.设总体X的分布未知，要检验其是否服从正态分布，常用的方法是（）A.t检验B.F检验C.χ^2拟合优度检验D.Wilcoxon符号秩检验8.设X1,X2,...,Xn是来自总体X～N(μ,σ^2)的样本，若要检验H0:σ^2=σ0^2，应选择的检验统计量是（）A.t=(-μ0)/(S/√n)B.Z=(-μ0)/(σ/√n)C.χ^2=∑(Xi-μ0)^2/(σ0^2)D.F=S^2/σ0^29.设总体X的分布未知，要比较两个总体均值μ1和μ2，且两个总体方差未知但相等，常用的方法是（）A.t检验B.Z检验C.χ^2检验D.Mann-WhitneyU检验10.设总体X的分布未知，要比较两个总体均值μ1和μ2，且两个总体方差未知且不等，常用的方法是（）A.t检验B.Z检验C.χ^2检验D.Wilcoxon符号秩检验二、填空题（总共10题，每题2分，总分20分）1.若随机变量X～B(n,p)，则E(X)=______，D(X)=______。2.设随机变量X～N(0,1)，则P(X>2)=______。3.设总体X的分布未知，但已知X的期望E(X)=μ，方差D(X)=σ^2，则样本均值的标准误为______。4.设X1,X2,...,Xn是来自总体X～N(μ,σ^2)的样本，则样本均值的分布为______。5.设总体X的分布未知，要检验其是否服从正态分布，常用的检验方法是______。6.设总体X的分布未知，要比较两个总体均值μ1和μ2，且两个总体方差未知但相等，常用的检验方法是______。7.设总体X的分布未知，要比较两个总体均值μ1和μ2，且两个总体方差未知且不等，常用的检验方法是______。8.设X1,X2,...,Xn是来自总体X～N(μ,σ^2)的样本，若要检验H0:σ^2=σ0^2，应选择的检验统计量是______。9.设总体X的分布未知，要检验H0:μ=μ0，且总体方差未知，应选择的检验统计量是______。10.设总体X的分布未知，要检验H0:μ=μ0，且总体方差已知，应选择的检验统计量是______。三、判断题（总共10题，每题2分，总分20分）1.设随机变量X～N(μ,σ^2)，则P(X>μ)=0.5。（）2.设总体X的分布未知，但已知X的期望E(X)=μ，方差D(X)=σ^2，则样本均值是μ的无偏估计量。（）3.设X1,X2,...,Xn是来自总体X～N(μ,σ^2)的样本，则样本方差S^2是σ^2的无偏估计量。（）4.设X1,X2,...,Xn是来自总体X～P(λ)的样本，则λ的无偏估计量是样本均值。（）5.设总体X的分布未知，要检验其是否服从正态分布，常用的方法是χ^2拟合优度检验。（）6.设总体X的分布未知，要比较两个总体均值μ1和μ2，且两个总体方差未知但相等，常用的方法是t检验。（）7.设总体X的分布未知，要比较两个总体均值μ1和μ2，且两个总体方差未知且不等，常用的方法是t检验。（）8.设X1,X2,...,Xn是来自总体X～N(μ,σ^2)的样本，若要检验H0:σ^2=σ0^2，应选择的检验统计量是χ^2统计量。（）9.设总体X的分布未知，要检验H0:μ=μ0，且总体方差未知，应选择的检验统计量是t统计量。（）10.设总体X的分布未知，要检验H0:μ=μ0，且总体方差已知，应选择的检验统计量是Z统计量。（）四、简答题（总共3题，每题4分，总分12分）1.简述样本均值和样本方差的计算公式及其意义。2.简述假设检验的基本步骤。3.简述χ^2拟合优度检验的基本思想。五、应用题（总共2题，每题9分，总分18分）1.设某工厂生产的灯泡寿命X（单位：小时）服从正态分布N(μ,100^2)，随机抽取25个灯泡，测得样本均值为1200小时。（1）求μ的95%置信区间；（2）若要检验H0:μ=1000，H1:μ>1000，检验水平α=0.05，求检验统计量和拒绝域。2.设某药厂生产两种安眠药A和B，随机抽取10名失眠患者，分别服用A和B，记录其睡眠时间延长的小时数如下：A：2.1，1.5，1.8，2.0，1.9B：1.2，1.4，1.6，1.8，1.5假设两种安眠药的睡眠时间延长小时数均服从正态分布，且方差相等，检验两种安眠药的睡眠时间延长效果是否有显著差异（检验水平α=0.05）。【标准答案及解析】一、单选题1.B解析：由分布律性质∑P(X=k)=1，得c(1/2)+c(1/4)+c(1/8)+c(1/16)=1，解得c=16。2.D解析：由标准正态分布表，P(X≤μ-σ)=0.2，即P(Z≤-1)=0.2，则P(Z>1)=0.8。3.A解析：样本方差S^2=(n-1)∑(Xi-)^2/n是总体方差σ^2的无偏估计量。4.A解析：泊松分布的期望和方差均为λ，样本均值是λ的无偏估计量。5.A解析：由Z分布表，95%置信水平对应Z0.025=1.96，误差不超过0.1σ，即√nσ/0.1σ≥1.96，解得n≥385。6.B解析：当总体方差已知时，检验μ应使用Z统计量。7.C解析：χ^2拟合优度检验用于检验总体分布是否服从某个理论分布。8.D解析：检验σ^2应使用χ^2统计量。9.A解析：当总体方差未知但相等时，比较两个总体均值应使用t检验。10.A解析：当总体方差未知且不等时，比较两个总体均值应使用t检验。二、填空题1.np,np(1-p)2.0.02283.σ/√n4.N(μ,σ^2/n)5.χ^2拟合优度检验6.t检验7.t检验8.χ^2=∑(Xi-μ0)^2/(σ0^2)9.t=(-μ0)/(S/√n)10.Z=(-μ0)/(σ/√n)三、判断题1.√2.√3.×（样本方差应为(n-1)∑(Xi-)^2/n）4.√5.√6.√7.×（应使用t检验，但自由度不同）8.√9.√10.√四、简答题1.样本均值：=∑Xi/n，表示样本数据的平均水平；样本方差：S^2=(n-1)∑(Xi-)^2/n，表示样本数据的离散程度。2.假设检验的基本步骤：（1）提出原假设H0和备择假设H1；（2）选择检验统计量；（3）确定拒绝域；（4）计算检验统计量的值；（5）做出统计决策。3.χ^2拟合优度检验的基本思想：将样本数据分成k组，计算每组的理论频数和实际频数，计算χ^2统计量，若χ^2统计量超过临界值，则拒绝原假设。五、应用题1.（1）由Z分布表，95%置信水平对应Z0.025=1.96，置信区间为(1200-1.96×100/√25,1200+1.96×100/√25)=(1150.4,1250.6)。（2）检验统计量：Z=(1200-1000)/(100/√25)=10，拒绝域为Z>1.96，因10>1.96，拒绝H0。