八年级数学一次函数知识点总结

八年级数学一次函数知识点总结一次函数是我们在八年级数学学习中遇到的一个重要概念，它不仅是对之前所学知识的深化，也为后续更复杂的函数学习打下基础。理解一次函数，关键在于把握其“变化”的本质，以及它在坐标系中的直观体现。下面，我们就来系统地梳理一下一次函数的相关知识点。一、一次函数的概念在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。一般形式：形如y=kx+b(k,b是常数,k≠0)的函数，叫做一次函数。其中，x是自变量，y是因变量。*k的名称与意义：k叫做比例系数，它不能为0，这是一次函数定义的核心条件之一。*b的名称：b叫做常数项。正比例函数与一次函数的关系：当b=0时，一次函数y=kx+b就变成了y=kx(k是常数,k≠0)，这时y叫做x的正比例函数。也就是说，正比例函数是特殊的一次函数，是一次函数在b=0时的情形。*可以理解为：正比例函数一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数。二、一次函数的表达式一次函数的表达式主要有以下几种常见形式，我们需要根据不同的已知条件来确定函数的表达式。1.一般式：即上述的y=kx+b(k≠0)。这是最基本也是最常用的形式。2.点斜式：已知一次函数的图像经过某一点(x₀,y₀)且斜率为k，则其表达式可以写为y-y₀=k(x-x₀)。不过，在八年级阶段，我们更多使用的是通过设一般式，代入点的坐标来求解k和b。3.两点式：若已知一次函数的图像经过两个点(x₁,y₁)和(x₂,y₂)，我们可以通过这两个点的坐标求出k和b的值，从而确定函数表达式。这种方法也叫做待定系数法。待定系数法求一次函数表达式是我们必须掌握的重要方法，其基本步骤如下：*设：设所求一次函数的表达式为y=kx+b(k≠0)。*代：将已知条件（通常是图像上两个点的坐标）代入所设表达式，得到关于k、b的二元一次方程组。*求：解这个方程组，求出k与b的值。*写：将求出的k与b的值代入所设表达式，写出一次函数的表达式。三、一次函数的图像一次函数的图像是一条直线。正因为如此，我们画一次函数图像时，通常只需找出直线上的两个点，然后过这两点画一条直线即可，这种方法叫做“两点法”。画一次函数图像的步骤：1.列表：选取适当的自变量x的值（通常选取能使y计算简便的整数值，如x=0时求y，y=0时求x，即与坐标轴的交点），并计算出对应的y值，列出表格。2.描点：在平面直角坐标系中，根据表格中的对应值描出相应的点(x,y)。3.连线：用直尺把描出的点连接起来，得到一次函数的图像。正比例函数的图像：正比例函数y=kx(k≠0)的图像是经过原点(0,0)的一条直线。因此，画正比例函数图像时，除了原点，再找一个点即可，通常取(1,k)。四、一次函数的性质一次函数的性质主要由其表达式中的系数k和b决定。我们可以从函数的增减性（即y随x的变化情况）和图像经过的象限来描述。1.比例系数k的作用*k的符号决定函数的增减性：*当k>0时，y随x的增大而增大。这时函数的图像从左到右是上升的。*当k<0时，y随x的增大而减小。这时函数的图像从左到右是下降的。*k的绝对值大小决定直线的倾斜程度：*|k|的值越大，直线越陡峭，即函数值y随x的变化越快。*|k|的值越小，直线越平缓，即函数值y随x的变化越慢。2.常数项b的作用常数项b决定了一次函数的图像与y轴的交点位置。*当b>0时，直线与y轴交于正半轴（即(0,b)点在y轴上方）。*当b=0时，直线经过原点（这就是正比例函数的情况）。*当b<0时，直线与y轴交于负半轴（即(0,b)点在y轴下方）。3.一次函数图像经过的象限综合k和b的符号，我们可以判断一次函数图像经过的象限：*当k>0,b>0时，直线经过第一、二、三象限。*当k>0,b=0时，直线经过第一、三象限（正比例函数）。*当k>0,b<0时，直线经过第一、三、四象限。*当k<0,b>0时，直线经过第一、二、四象限。*当k<0,b=0时，直线经过第二、四象限（正比例函数）。*当k<0,b<0时，直线经过第二、三、四象限。记忆这个规律时，可以先根据k的符号确定直线的“上升”或“下降”趋势，大致判断经过的两个象限，再根据b的符号确定与y轴交点的位置，从而补充第三个象限（或确认是否过原点）。五、一次函数与方程、不等式的联系一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间存在着密切的内在联系，这种联系主要体现在它们的解（或解集）与函数图像上点的坐标之间的对应关系。1.一次函数与一元一次方程的联系：任何一个一元一次方程都可以转化为ax+b=0(a,b为常数,a≠0)的形式。从函数的角度看，解这个方程，就是求当一次函数y=ax+b的函数值为0时，自变量x的值。也就是求直线y=ax+b与x轴交点的横坐标。2.一次函数与一元一次不等式的联系：任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0(a,b为常数,a≠0)的形式。从函数的角度看，解不等式ax+b>0，就是求当一次函数y=ax+b的函数值大于0时，自变量x的取值范围。反映在图像上，就是直线y=ax+b在x轴上方部分所有点的横坐标的集合。同理，解不等式ax+b<0，就是求当一次函数y=ax+b的函数值小于0时，自变量x的取值范围，即直线y=ax+b在x轴下方部分所有点的横坐标的集合。六、一次函数的应用一次函数在实际生活中有着广泛的应用，许多实际问题中的数量关系都可以用一次函数来表示。解决这类问题的关键是：1.分析题意：找出问题中的变量，确定哪个是自变量，哪个是因变量。2.建立函数关系：根据题目中给出的数量关系或图像信息，设出一次函数的表达式，利用待定系数法求出k和b的值，从而得到函数关系式。3.利用函数解决问题：根据求出的函数关系式，结合题目要求进行计算、预测或决策。常见的应用场景包括：行程问题中的速度、时间与路程关系（当速度为常数时），工程问题中的工作效率、时间与工作量关系（当工作效率为常数时），销售问题中的单价、数量与销售额或利润关系，以及一些简单的几何图形中的变量关系等。在解决这些问题时，要注意自变量的取值范围需要符合实际意义。---一次函数的知识点虽然