大学《统计思想综述》题库试题附加答案

大学《统计思想综述》题库试题附加答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1.在频率学派框架下，参数θ的95%置信区间是指A.随机区间包含θ的概率为95%B.θ落在该区间的概率为95%C.样本均值落在该区间的概率为95%D.区间宽度为95%答案：A解析：置信区间是随机区间，其覆盖固定参数θ的概率为95%，而非θ落入固定区间的概率。2.若随机变量X~N(μ,σ²)，则统计量T=(X̄-μ)/(S/√n)服从A.N(0,1)B.t(n-1)C.χ²(n-1)D.F(1,n-1)答案：B解析：样本标准差S代替σ后，T服从自由度为n-1的t分布。3.在贝叶斯推断中，若先验为π(θ)，似然为L(θ|x)，则后验分布正比于A.π(θ)B.L(θ|x)C.π(θ)L(θ|x)D.π(θ)/L(θ|x)答案：C解析：由贝叶斯定理，后验∝先验×似然。4.对线性模型Y=Xβ+ε，ε~N(0,σ²I)，若X列满秩，则β的最小二乘估计的协方差矩阵为A.σ²(XᵀX)⁻¹B.σ²XᵀXC.σ²ID.σ²X答案：A解析：Cov(β̂)=σ²(XᵀX)⁻¹。5.在假设检验中，增大样本量n而其他条件不变，则A.第一类错误概率α一定减小B.第二类错误概率β一定减小C.检验的p值一定增大D.功效一定减小答案：B解析：样本量增大，检验功效1-β提高，β减小；α由研究者事先设定，不随n自动变化。6.若随机变量X,Y独立，则Cov(X,Y)等于A.0B.1C.Var(X)D.Var(Y)答案：A解析：独立必不相关，协方差为0。7.对泊松分布Pois(λ)，其费雪信息I(λ)为A.1/λB.λC.1D.λ²答案：A解析：I(λ)=E[(∂logL/∂λ)²]=1/λ。8.在Bootstrap中，非参数百分位置信区间的构造基于A.理论正态近似B.经验分布的分位数C.极大似然估计D.贝叶斯后验答案：B解析：Bootstrap用经验分布的分位数直接构建区间。9.若X₁,…,Xₙi.i.d.来自U(0,θ)，则θ的极大似然估计为A.X̄B.max{Xᵢ}C.min{Xᵢ}D.2X̄答案：B解析：均匀分布的MLE为样本最大值。10.对高维回归(p≫n)，Lasso估计通过哪种方式实现变量选择A.岭惩罚B.L₁惩罚C.L₂惩罚D.无惩罚答案：B解析：Lasso使用L₁范数惩罚，具有稀疏性。二、多项选择题（每题3分，共15分）11.下列哪些方法可用于检验正态性A.Shapiro-Wilk检验B.Q-Q图C.Kolmogorov-Smirnov检验D.Anderson-Darling检验答案：A,B,C,D解析：四种方法均可评估样本是否来自正态分布。12.关于充分统计量，以下说法正确的是A.若T为充分统计量，则给定T后样本条件分布与参数无关B.充分统计量一定存在C.因子分解定理可用于寻找充分统计量D.充分统计量必为最小充分统计量答案：A,C解析：B错，某些分布族不存在充分统计量；D错，充分统计量不一定最小。13.下列哪些属于非参数回归方法A.Nadaraya-Watson核回归B.局部线性回归C.样条回归D.多项式回归答案：A,B,C解析：多项式回归仍属参数方法，需预设阶数。14.在贝叶斯线性模型中，若使用共轭先验，则A.后验分布与先验属于同一族B.后验均值是先验均值与MLE的加权平均C.后验分布的解析形式易得D.先验必须无信息答案：A,B,C解析：共轭先验允许解析更新，D错，共轭先验可有信息。15.关于EM算法，以下正确的是A.每次迭代似然非减B.适用于存在隐变量的问题C.保证收敛到全局最优D.M步最大化完全数据对数似然的期望答案：A,B,D解析：C错，EM可能收敛到局部极值。三、填空题（每空2分，共20分）16.若X~Bin(n,p)，则E[X]=____，Var(X)=____。答案：np；np(1-p)17.对假设H₀:μ=μ₀vsH₁:μ≠μ₀，若σ已知，检验统计量为Z=(X̄-μ₀)/(σ/√n)，在H₀下Z~____。答案：N(0,1)18.在线性回归中，决定系数R²=1-____/____。答案：RSS；TSS（残差平方和与总平方和）19.若X₁,…,Xₙi.i.d.来自Exp(λ)，则λ的矩估计为____。答案：1/X̄20.对高维协方差矩阵估计，Ledoit-Wolf估计量是样本协方差与____的线性收缩。答案：单位矩阵（或恒等矩阵）21.若随机变量X的矩母函数为M_X(t)=exp(μt+σ²t²/2)，则X~____。答案：N(μ,σ²)22.在Bootstrap-t方法中，需对每次Bootstrap样本重新计算____。答案：t统计量（或标准化统计量）23.对分类问题，若使用逻辑回归，则链接函数为____函数。答案：logit24.若X~Pois(λ)，则其概率质量函数P(X=k)=____。答案：e^{-λ}λ^{k}/k!25.在随机森林中，通过____降低树间相关性。答案：Bootstrap抽样与随机子空间（或特征随机选择）四、计算与推导题（共30分）26.（8分）设X₁,…,Xₙi.i.d.来自N(μ,σ²)，μ未知，σ²已知。求μ的95%置信区间，并证明其覆盖概率。答案：置信区间：X̄±z_{0.975}σ/√n证明：P(μ∈[X̄-zσ/√n,X̄+zσ/√n])=P(-z≤(X̄-μ)/(σ/√n)≤z)=Φ(z)-Φ(-z)=2Φ(z)-1=0.95其中z=1.96，Φ为标准正态CDF。27.（10分）对线性模型Y=Xβ+ε，ε~N(0,σ²I)，X为n×p列满秩矩阵。(1)求β的最小二乘估计β̂；(2)证明β̂为无偏估计；(3)求Cov(β̂)。答案：(1)β̂=(XᵀX)⁻¹XᵀY(2)E[β̂]=(XᵀX)⁻¹XᵀE[Y]=(XᵀX)⁻¹XᵀXβ=β(3)Cov(β̂)=(XᵀX)⁻¹XᵀCov(Y)X(XᵀX)⁻¹=σ²(XᵀX)⁻¹28.（12分）设样本X₁,…,Xₙi.i.d.来自密度f(x|θ)=θx^{θ-1},0<x<1,θ>0。(1)求θ的极大似然估计θ̂；(2)计算费雪信息I(θ)；(3)求θ̂的渐近分布。答案：(1)对数似然：l(θ)=nlogθ+(θ-1)∑logXᵢ令导数为0：n/θ+∑logXᵢ=0⇒θ̂=-n/∑logXᵢ(2)得分函数：U=∂l/∂θ=n/θ+∑logXᵢ∂²l/∂θ²=-n/θ²⇒I(θ)=-E[∂²l/∂θ²]=n/θ²(3)由MLE渐近理论，√n(θ̂-θ)⇒N(0,1/I(θ))=N(0,θ²)五、综合应用题（共15分）29.某电商平台想评估新页面设计对转化率p的影响。随机抽取n=1000个用户，新页面组n₁=500，转化x₁=65；旧页面组n₂=500，转化x₂=50。(1)建立假设检验，判断新页面是否显著提高转化率（α=0.05）；(2)计算p值并给出结论；(3)求两组转化率差p₁-p₂的95%置信区间。答案：(1)H₀:p₁≤p₂vsH₁:p₁>p₂(2)样本率：p̂₁=65/500=0.13，p̂₂=50/500=0.10合并率：p̂=(65+50)/1000=0.115Z=(0.13-0.10)/√[0.115×0.885×(1/500+1/500)]=0.03/0.0202≈1.485单侧p值=1-Φ(1.485)=0.0688>0.05，不拒绝H₀(3)差值标准误：SE=√[0.13×0.87/500+0.10×0.90/500]=0.020395%CI：0.03±1.96×0.0203=(-0.0098,0.0698)结论：无显著证据表明新页面提高转化率，差值置信区间包含0。六、证明题（共10分）30.设T为参数θ的充分统计量，证明：若θ̂为任意无偏估计，则E[θ̂|T]仍为无偏估计