2026年数学建模竞赛复杂系统建模与优化设计解题宝典

2026年数学建模竞赛：复杂系统建模与优化设计解题宝典一、线性规划与整数规划问题（3题，每题12分）题目1：城市应急物资配送路径优化问题背景：某城市在突发事件（如洪灾）后需要紧急向三个受灾区域配送医疗物资。现有两个仓库，分别存储不同种类的物资。配送中心需在4小时内完成物资运输，车辆有限，且需考虑道路拥堵和运输成本。如何设计最优配送路径，在满足需求量的前提下最小化总运输成本？数据：-仓库A库存：药品X1=200箱，药品X2=150箱；仓库B库存：药品X1=100箱，药品X2=250箱。-受灾区域需求：区域1需药品X1=150箱，X2=100箱；区域2需药品X1=100箱，X2=200箱；区域3需药品X1=50箱，X2=150箱。-车辆容量：每辆车最大载重500箱，最小载重200箱。-单位运输成本（元/箱·公里）：仓库A到区域1=2，到区域2=3，到区域3=4；仓库B到区域1=3，到区域2=2，到区域3=5。-路线距离（公里）：A到1=10，到2=15，到3=20；B到1=25，到2=10，到3=5。问题：1.建立线性规划模型，确定各仓库到各区域的配送量，使总运输成本最低。2.若要求每辆车必须满载，模型如何调整？题目2：高校实验室资源调度问题背景：某大学有三个实验室（L1、L2、L3）负责科研项目，每个实验室有不同类型的仪器设备（设备A、B、C）。科研项目需使用特定设备组合，但设备使用时间有限，需优化分配方案以最大化项目完成率。数据：-实验室资源：L1有设备A=5台，B=3台，C=2台；L2有设备A=4台，B=4台，C=3台；L3有设备A=3台，B=2台，C=4台。-项目需求：项目1需A=2,B=1,C=1；项目2需A=1,B=2,C=2；项目3需A=3,B=0,C=1。-每个项目可使用时间：项目1=5天，项目2=4天，项目3=6天。-设备使用效率：L1设备A=0.8,B=0.7,C=0.6；L2设备A=0.75,B=0.8,C=0.7；L3设备A=0.65,B=0.6,C=0.75。问题：1.建立整数规划模型，分配实验室资源给项目，使总项目完成率最高。2.若L3的设备A因故障减少1台，模型如何调整？题目3：工厂生产线排程问题背景：某电子厂生产两种产品（P1、P2），需经过两道工序（工序1、工序2），每件产品耗时不同，设备产能有限。如何安排生产计划以最大化日产量？数据：-工序产能：工序1=100小时/天，工序2=120小时/天。-产品耗时：P1需工序1=0.5小时，工序2=0.7小时；P2需工序1=0.6小时，工序2=0.4小时。-利润：P1=50元/件，P2=60元/件。-原材料限制：P1需原材料A=2kg，P2需原材料A=1kg，总库存=200kg。问题：1.建立线性规划模型，确定每日生产P1和P2的数量，使总利润最大。2.若工序1产能增加至150小时/天，模型如何调整？二、动态规划与分阶段决策问题（3题，每题14分）题目4：旅游路线规划问题背景：某游客计划在5天内游览北京，需选择景点（A、B、C、D、E）并安排每日行程，要求满足时间限制和兴趣偏好。如何规划路线使满意度最高？数据：-景点访问时间：A=2小时，B=1.5小时，C=3小时，D=2.5小时，E=1小时。-每日总游览时间：最多8小时。-景点偏好值：A=80,B=60,C=90,D=70,E=50。-相邻景点时间成本：A→B=0.5,A→C=1,B→D=0.5,C→E=1.5。问题：1.建立动态规划模型，确定最优游览顺序和每日安排，使总满意度最高。2.若每日时间限制放宽至10小时，模型如何调整？题目5：投资组合优化问题背景：某投资者有100万元资金，计划投资三种股票（S1、S2、S3），已知未来收益和风险，需在5年内分阶段投资，使最终财富最大。数据：-初始资金=100万元。-每年收益概率：S1=0.6（收益10%）、0.4（亏损5%）；S2=0.5（收益8%）、0.5（亏损3%）；S3=0.7（收益5%）、0.3（亏损2%）。-每年投资比例限制：每种股票投资不超过50%。问题：1.建立动态规划模型，确定每年各股票投资比例，使5年后的财富期望值最大。2.若投资者风险偏好降低，如何调整模型？题目6：水库调度问题背景：某水库需在汛期（3个月）内调节水量，满足下游农业用水和防洪需求。如何调度放水量以最大化经济效益？数据：-水库初始水量=100亿立方米。-汛期降雨量预测：每月P1=20亿、P2=30亿、P3=10亿。-需求：农业用水每月最低5亿，防洪限制每月最高40亿。-收益：农业用水=0.8元/立方米，防洪=0.2元/立方米。问题：1.建立动态规划模型，确定每月最优放水量，使总收益最大。2.若防洪限制降至每月30亿，模型如何调整？三、图论与网络优化问题（3题，每题16分）题目7：城市交通信号灯优化问题背景：某十字路口有四个方向（红、黄、绿）的信号灯，需在30秒内完成一轮切换，要求最小化平均等待时间。数据：-方向流量：东=100辆/分钟，南=80辆/分钟，西=70辆/分钟，北=60辆/分钟。-红灯时间：至少20秒，黄灯时间固定5秒。-等待成本：每辆车等待1秒=0.1元。问题：1.建立图论模型，确定各方向的红绿黄灯时长，使总等待成本最小。2.若北向流量增加至90辆/分钟，模型如何调整？题目8：物流网络选址问题背景：某电商公司计划在华北、华东、华南建配送中心，覆盖全国主要城市，需选择最少站点使配送成本最低。数据：-城市间距离（公里）：华北→北京=0,天津=50；华东→上海=0,杭州=200,南京=150；华南→广州=0,深圳=100。-配送成本：每公里10元，每件商品2元。-需求：北京=1000件，天津=800件，上海=1500件，杭州=1200件，南京=1000件，深圳=900件。问题：1.建立图论模型，确定配送中心选址，使总成本最低。2.若新增武汉（与上海距离200公里），模型如何调整？题目9：电力网络优化问题背景：某电网需从三个发电站（G1、G2、G3）向五个城市（C1-C5）供电，需选择最少线路使供电成本最低。数据：-线路成本（元/公里）：G1→C1=50,C1→C2=30；G2→C2=40,C2→C3=50；G3→C3=60,C3→C4=20；C4→C5=40。-需求：C1=100MW,C2=120MW,C3=80MW,C4=90MW,C5=110MW。-发电限制：G1=200MW,G2=150MW,G3=180MW。问题：1.建立图论模型，确定最优线路布局，使总成本最低。2.若G2发电能力降至100MW，模型如何调整？四、随机规划与模拟问题（3题，每题18分）题目10：港口装卸效率优化问题背景：某港口每日需装卸船只，但天气和设备故障会随机影响效率。如何安排计划以最小化平均延误时间？数据：-正常装卸时间：船只A=2小时，B=3小时。-随机事件：天气恶劣（概率20%）使A延长1小时，B延长1.5小时；设备故障（概率10%）使A延长0.5小时，B延长1小时。-每日船只到达：A=5艘，B=3艘。问题：1.建立随机规划模型，确定每日装卸顺序，使平均延误时间最小。2.若天气恶劣概率降至15%，模型如何调整？题目11：医院急诊资源分配问题背景：某医院急诊室需处理三类病人（轻、中、重），但急诊医生数量有限，且病人到达时间随机。如何分配医生以最小化平均等待时间？数据：-病人到达率：轻=10人/小时，中=5人/小时，重=2人/小时。-处理时间：轻=15分钟，中=30分钟，重=45分钟。-医生数量：医生A=3人（可处理轻、中），医生B=2人（可处理中、重）。问题：1.建立随机规划模型，确定医生分配方案，使平均等待时间最小。2.若新增1名医生B，模型如何调整？题目12：农业种植收益优化问题背景：某农场需种植三种作物（A、B、C），但降雨量随机影响产量。如何安排种植面积以最大化期望收益？数据：-面积限制：总耕地=100亩。-单价：A=0.5元/斤，B=0.8元/斤，C=1元/斤。-产量概率：A=干旱（30%）→0.5斤/亩，正常（70%）→1斤/亩；B=干旱（40%）→0.6斤/亩，正常（60%）→1.2斤/亩；C=干旱（50%）→0.7斤/亩，正常（50%）→1.3斤/亩。问题：1.建立随机规划模型，确定各作物种植面积，使期望收益最大。2.若干旱概率降至35%，模型如何调整？答案与解析（此处省略详细解答，仅提供关键步骤）题目1：城市应急物资配送路径优化问题1.线性规划模型：设xij为仓库i到区域j的配送量，目标函数为minZ=2xA1+3xA2+4xAv+3xB1+2xB2+5xB3，约束条件包括库存、需求、车辆容量等。2.整数规划调整：增加整数约束0≤xij≤500。题目2：高校实验室资源调度问题1.动态规划模型：设f[i][j]为使用前i个实验室分配给项目j的最大效率，转移方程f[i][j]=max{f[i-1][j],f[i-1][