高考试题我来编-教材三门问题拓展

高考试题我来编——教材三门问题拓展题目在高中数学A版选择性必修三第54页中，有一道抽奖游戏题目，其实就是三门问题。三门问题是一个源自博弈论的数学奇论，曾经引起广泛关注和讨论。在广义三门问题中，主持人在编号为1,2,3的三个外观相同的门中选择一个，放入一辆跑车，假设1,2,3号门后有车的概率分别为0.4,0.1,0.5，抽奖人不知道哪个门里是跑车，主持人知道跑车在哪个门里。假设你是抽奖人，你等可能在三个门中选择一个。在打开此门之前，主持人先打开了另外两个门中的一个羊门，按游戏规定：主持人只打开你的选择之外的羊门，当两个都是羊门时，他随机选择其中一个打开。（1）假设你先选择了1号门，主持人打开的是3号门，现在给你一次重新选择的机会，你是坚持选原门，还是选择换门？你要不要改变选择，应以得到跑车的概率最大为准则。（2）假设你先选择了1号门，主持人打开除1号的羊门，现在给你一次重新选择的机会，你是坚持选原门，还是选择换门？你要不要改变选择，应以得到跑车的概率最大为准则。（3）假设你先选择了一个门，主持人打开除你选择之外的一羊门，现在给你一次重新选择的机会，你是坚持选原门，还是选择换门？你要不要改变选择，应以得到跑车的概率最大为准则。解析：（1）解一：用分别表示1,2,3号门里有车，用分别表示主持人打开1,2,3号门。，，此为先验概率。若车在1号门里，主持人可打开2,3号门，故；若车在2号门里，主持人只能打开3号门，故；若车在3号门里，则，则。再根据贝叶斯公式，在3号门打开的条件下，1号门和2号门里有车的条件概率分别为，所以在抽奖人选择了1号门主持人打开3号门条件下，1号门有车概率为，2号门有车概率为，抽奖人应选原门。解二：样本空间为：{(嘉宾选1号门,主持人打开3号门,车位置k（k=1，2)}，包含2个游戏路径（具体看下表）。在此空间求解原门和换门有车概率，称为战术决策概率。用表示k号门里有跑车，用表示主持人打开号门。用表示嘉宾先选号门，因为嘉宾等可能选择了一门，故。事件与相互独立。设“嘉宾选1号门主持人打开3号门且车在1号门”为事件M，“嘉宾选1号门主持人打开3号门且车在2号门”为事件N。根据概率乘法公式，则,。路径编号嘉宾选择汽车位置主持人开门路径概率原门有车换门有车1113是否2123否是根据条件概率，在嘉宾选1号门主持人打3号门条件下，原门有车概率为，在嘉宾选1号门主持人打开3号门条件下，换门有车概率。抽奖人应选原门。（2）解一：用分别表示1,2,3号门里有车，用表示主持人打开除1号羊门。，，。若车在1号门里，主持人可打开2或3号羊门，故；若车在2号门里，主持人能打开3号羊门，故；若车在3号门里，主持人能打开2号羊门则，则。再根据条件概率公式，在主持人打开羊门的条件下，原门和换门里有车的条件概率分别为，所以在抽奖人选择了1号门主持人打开除1号的羊门条件下，原门有车概率为0.4，换门有车概率为0.6，抽奖人应换门。解二：样本空间为：{(嘉宾选1号门,主持人打开j门（j=2,3）,车在k门,（k=1,2,3,且k≠j）}，包含4个游戏路径（具体看下表）。在此空间求解求解原门和换门有车概率，称为战役决策概率。用表示k号门里有跑车，用表示主持人打开号门。用表示嘉宾先选号门，因为嘉宾等可能选择了一门，故。事件与相互独立。有4个路径，路径编号3,4概率解析同路径编号1和2方法。由解析（1）解二嘉宾选1号门主持人打开3号门且车在1号门概率为，“嘉宾选1号门主持人打开3号门且车在2号门”概率为。设“嘉宾选1号门主持人打开2号门且车在1号门”为事件M，“嘉宾选1号门主持人打开2号门且车在3号门”为事件N。根据概率乘法公式，则,。路径编号3,4概率解析同路径编号1和2方法路径编号嘉宾选择汽车位置主持人开门路径概率原门有车换门有车1113是否2123否是3112是否4132否是可知原门有车路径2个，换门有车路径2个，根据条件概率，在嘉宾选1号门主持人打开除1号门的羊门条件下，原门有车概率为，在嘉宾选1号门主持人打开除1号门的一羊门条件下，换门有车概率。抽奖人应换门。（3）战略样本空间为：{(嘉宾选i门(i=1,2,3),主持人打开j门（j=1,2,3,且j≠i）,车位置k门,（k=1,2,3,且k≠j）}，包含所有共12个游戏路径（12种情况），这些路径对应的事件在结构上是完备的互斥事件。在此空间求解原门和换门有车概率，称为战略决策概率。由（2）知：若抽奖人先选1号门，原门有车概率为0.4，换门有车概率为0.6，若抽奖人先选2号门，方法同(2)解二，原门有车概率为0.1，换门有车概率为0.9，若抽奖人先选3号门，方法同(2)解二，原门有车概率为0.5，换门有车概率为0.5.因为抽奖人先等可能选择门，根据全概率公式，原门有车概率，换门有车概率，抽奖人应换门。说明：（1）此题源于人教版高中数学A版选择性必修三第54页三门问题。主要想考查条件概率、贝叶斯法、全概率公式解决问题和灵活运用能力。理解三门问题在不同样本空间求解等价的极端条件—初始概率均匀，嘉宾等可能选门和主持人无偏向行为。若均匀概率有打破，缩小的样本空间里解析未必等价。难度较大，以期重新认识理解三门问题诸多解法及样本空间、随机试验等知识。（2）在广义三门问题中，假设1,2,3号门后有车的初始概率分别为，满足和，不失一般性，设，嘉宾选1,2,3号门的概率分别为，其中和，当主持人在两扇可选的羊门时，打开号大的羊门概率为，。有如下结论：（1）在嘉宾选