2025-2026学年北京市丰台区高一上学期11月期中练习数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1北京市丰台区2025-2026学年高一上学期11月期中练习数学试题一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.集合用列举法可表示为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】故选：C.2.已知集合，下列说法正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，则，，故AD错误，B正确，而，则错误，故C错误.故选：B.3.命题的否定是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以“”的否定是将改成，否定结论，即.故选：D.4.下列函数是幂函数的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】幂函数是形如（为常数）的函数，所以A符合，BCD不符合，故选：A.5.若，则下列不等式成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】选项A：，因为，所以，所以，即，故A错误；选项B：，因为，所以，所以，即，故B错误；选项C：，因为，所以，所以，即，故C正确；选项D：，因为，所以，所以，即，故D错误.故选：C.6.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若，则成立，所以“”是“”的充分条件；若，则或，不一定是，比如：，满足，但，所以“”不是“"的必要条件，综上，“”是“”的充分不必要条件故选：A.7.函数的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由，定义域为，又，所以是奇函数，图象关于原点对称，故排除AC；又，均在上单调递增，故在上单调递增，故B错误.故选：D.8.若不等式的解集为，则对于函数有（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由不等式的解集为，则，所以开口向上，对称轴为，.故选：C.9.若关于的不等式的解集是，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】当时，不等式变为恒成立，符合题意；当时，由不等式的解集为，则，解得，综上，的取值范围为.故选：B.10.设函数.若当时，对于任意，，都有，则实数的最大值为（）A. B. C.1 D.2【答案】B【解析】，开口向上，对称轴为，当时，对于任意，，都有，则，故，得，由对称性得，，即，，即实数的最大值为.故选：B.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数的定义域是________.【答案】且【解析】由题意，要使函数有意义，则，解得，且；故函数的定义域为：且.12.设，则当=_______时，取得最小值，最小值为_______．【答案】；【解析】，，当且仅当，即时，取等号，所以当时，取得最小值，最小值为.故答案为：；.13._______．【答案】【解析】.故答案为：.14.已知函数在上的值域为，则实数的取值范围是_______．【答案】【解析】因为，作出其图象如图，由在上的值域为，结合图象得.故答案为：.15.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一.函数，称为狄利克雷函数，则关于，给出下列四个结论：①的值域为；②；③；④任意一个非零有理数，对任意恒成立.其中所有正确结论的序号是_______.【答案】②③④【解析】对于①：由题意得取值为0或1，即值域为，故①错误；对于②：因为，，为有理数，所以，故②正确；对于③：当x为有理数时，也都是有理数，所以，则，当x为无理数时，也都是无理数，所以，则，所以，故③正确；对于④：当x为有理数时，T为非零有理数，则为有理数，所以，，则，当x为无理数时，则为无理数，所以，则，所以对任意恒成立，故④正确.故答案为：②③④.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知集合，.（1）求，；（2）求，.解：（1）因为，，所以，.（2）由题，可得或，，，或.17.已知函数是定义在上的偶函数，当时，.（1）求，的值；（2）在平面直角坐标系中，画出函数在区间上的图象；（3）写出一组m，n，a的值，使得不等式在区间上恒成立.解：（1）由题，可得，.（2）先画出函数在上的图象，再根据偶函数图象对称性得上的图象；（3）当时，，即，即，显然对恒成立.18.已知二次函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）解关于的不等式．解：（1）当时，，不等式，即，，解得或，所以不等式的解集为.（2）不等式，即，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为.19.某企业生产一种电子产品，根据市场需求进行生产安排（生产量等于销售量）.经市场调研，该电子产品每年的销售量（单位：万件）与售价（单位：元/件）之间满足函数关系.已知企业的生产成本等于直接成本与制造成本的和，第一年的直接成本为70万元，制造成本为12元/件，且要求每件的售价不低于每件的制造成本.（利润=销售量×售价-生产成本）（1）求该电子产品第一年的利润（单位：万元）与售价之间的函数关系式；（2）已知第一年利润不低于30万元，求该电子产品第一年的售价；（3）在（2）基础上，由于技术的进步，该电子产品第二年的制造成本相比第一年下降3元/件，直接成本是第一年的利润全部投入.若第二年售价不低于第一年售价，且不高于25元/件，求第二年利润的最大值.解：（1）由题意可知，制造成本为万元，那么总成本为，销售总收入为万元，所以利润为.即.（2）由题意知，，所以，化简得，即，因为，所以.因此该电子产品第一年的售价为22元/件.（3）第二年制造成本为元/件，直接成本是第一年的利润万元，所以总成本为万元，则第二年利润.因为第二年售价不低于第一年售价，且不高于25元/件，所以.对于二次函数，其对称轴为.因为二次项系数，所以函数图象开口向下，在对称轴右侧随的增大而减小，所以当时，有最大值，万元，因此，第二年利润的最大值为100万元.20.已知函数是定义在上的奇函数，且.（1）求和的值；（2）判断在上的单调性，并用定义证明；（3）设集合，函数在区间上的值域为，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.解：（1）由题，可得，即，解得，，，满足题意..（2）在上单调递增，证明如下：任取，且，则，，，，，，，故，即，所以在上单调递增.（3）由（2）在上单调递增，且，，，又函数在上单调递增，故，若是的充分不必要条件，即，，解得.所以实数的取值范围为.21.设，，集合.若集合S存在两个子集满足以下条件：①；②“存在，使得”与“存在，使得”至少有一个成立，则称是好集合.（1）判断集合是否为好集合；（2）若，不是好集合，证明：；（3）若，是好集合，证明：的最小值为243.解：（1）是好集合；是好集合.对，举例，，显然满足条件①，当时，则，满足条件②；对集合，举例显然满足条件①，则，因为，满足条件②，则是好集合.（2）假设，，集合的两个子集与满足，且这两个集合都不包含整数，使得，不妨设，则必有.如果，则因为，所以必有一个子集含整数（不一定相异）使得，矛盾.如果，则，进而，此时矛盾，所以.（3）首先证明，当时，，集合的两个子集与满足，且这两个集合都不包含整数，使得，不妨设，则必有.如果，则因为，所以必有一个子集含整数（不一定相异）使得，矛盾.如果，则，进而，此时矛盾.所以，集合S一定是好集合.当时，令，，与都不包含整数（不一定相异）使得，即此时不是好集合.所以满足是好集合，的最小值为243.北京市丰台区2025-2026学年高一上学期11月期中练习数学试题一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.集合用列举法可表示为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】故选：C.2.已知集合，下列说法正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，则，，故AD错误，B正确，而，则错误，故C错误.故选：B.3.命题的否定是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以“”的否定是将改成，否定结论，即.故选：D.4.下列函数是幂函数的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】幂函数是形如（为常数）的函数，所以A符合，BCD不符合，故选：A.5.若，则下列不等式成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】选项A：，因为，所以，所以，即，故A错误；选项B：，因为，所以，所以，即，故B错误；选项C：，因为，所以，所以，即，故C正确；选项D：，因为，所以，所以，即，故D错误.故选：C.6.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若，则成立，所以“”是“”的充分条件；若，则或，不一定是，比如：，满足，但，所以“”不是“"的必要条件，综上，“”是“”的充分不必要条件故选：A.7.函数的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由，定义域为，又，所以是奇函数，图象关于原点对称，故排除AC；又，均在上单调递增，故在上单调递增，故B错误.故选：D.8.若不等式的解集为，则对于函数有（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由不等式的解集为，则，所以开口向上，对称轴为，.故选：C.9.若关于的不等式的解集是，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】当时，不等式变为恒成立，符合题意；当时，由不等式的解集为，则，解得，综上，的取值范围为.故选：B.10.设函数.若当时，对于任意，，都有，则实数的最大值为（）A. B. C.1 D.2【答案】B【解析】，开口向上，对称轴为，当时，对于任意，，都有，则，故，得，由对称性得，，即，，即实数的最大值为.故选：B.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数的定义域是________.【答案】且【解析】由题意，要使函数有意义，则，解得，且；故函数的定义域为：且.12.设，则当=_______时，取得最小值，最小值为_______．【答案】；【解析】，，当且仅当，即时，取等号，所以当时，取得最小值，最小值为.故答案为：；.13._______．【答案】【解析】.故答案为：.14.已知函数在上的值域为，则实数的取值范围是_______．【答案】【解析】因为，作出其图象如图，由在上的值域为，结合图象得.故答案为：.15.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一.函数，称为狄利克雷函数，则关于，给出下列四个结论：①的值域为；②；③；④任意一个非零有理数，对任意恒成立.其中所有正确结论的序号是_______.【答案】②③④【解析】对于①：由题意得取值为0或1，即值域为，故①错误；对于②：因为，，为有理数，所以，故②正确；对于③：当x为有理数时，也都是有理数，所以，则，当x为无理数时，也都是无理数，所以，则，所以，故③正确；对于④：当x为有理数时，T为非零有理数，则为有理数，所以，，则，当x为无理数时，则为无理数，所以，则，所以对任意恒成立，故④正确.故答案为：②③④.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知集合，.（1）求，；（2）求，.解：（1）因为，，所以，.（2）由题，可得或，，，或.17.已知函数是定义在上的偶函数，当时，.（1）求，的值；（2）在平面直角坐标系中，画出函数在区间上的图象；（3）写出一组m，n，a的值，使得不等式在区间上恒成立.解：（1）由题，可得，.（2）先画出函数在上的图象，再根据偶函数图象对称性得上的图象；（3）当时，，即，即，显然对恒成立.18.已知二次函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）解关于的不等式．解：（1）当时，，不等式，即，，解得或，所以不等式的解集为.（2）不等式，即，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为.19.某企业生产一种电子产品，根据市场需求进行生产安排（生产量等于销售量）.经市场调研，该电子产品每年的销售量（单位：万件）与售价（单位：元/件）之间满足函数关系.已知企业的生产成本等于直接成本与制造成本的和，第一年的直接成本为70万元，制造成本为12元/件，且要求每件的售价不低于每件的制造成本.（利润=销售量×售价-生产成本）（1）求该电子产品第一年的利润（单位：万元）与售价之间的函数关系式；（2）已知第一年利润不低于30万元，求该电子产品第一年的售价；（3）在（2）基础上，由于技术的进步，该电子产品第二年的制造成本相比第一年下降3元/件，直接成本是第一年的利润全部投入.若第二年售价不低于第一年售价，且不高于25元/件，求第二年利润的最大值.解：（1）由题意可知，制造成本为万元，那么总成本为，销售总收入为万元，所以利润为.即.（2）由题意知，，所以，化简得，即，因为，所以.因此该电子产品第一年的售价为22元/件.（3）第二年制造成本为元/件，直接成本是第一年的利润万元，所以总成本为万元，则第二年利润.因为第二年售价不低于第一年售价，且不高于25元/件，所以.对于二次函数，其对称轴为.因为二次项系数，所以函数图象开口向下，在对称轴右侧随的增大而减小，所以当时，有最大值，万元，因此，第二年利润的最大值为100万元.20.已知函数是