2025-2026学年福建省厦泉四地五校高二上学期11月期中联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1福建省厦泉四地五校2025-2026学年高二上学期11月期中联考数学试题一、单项选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由直线方程知直线的斜率为，因此倾斜角为．故选：A．2.若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7【答案】B【解析】设事件A为不用现金支付，则.故选：B.3.已知点，，则以线段为直径的圆的方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为为直径，所以圆心为，半径，所以圆的方程为.故选：C.4.已知平面外的直线的方向向量是，平面的法向量是，则与的位置关系是（）A. B. C.与相交但不垂直 D.或【答案】B【解析】因为，所以，所以或，由于，所以.故选：B.5.把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，记第一次出现的点数为，第二次出现的点数为，则方程组只有一个解的概率为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】点(a，b)取值的集合共有6×6＝36个元素．方程组只有一个解等价于直线ax＋by＝3与x＋2y＝2相交，即≠，即b≠2a，而满足b＝2a的点只有(1,2)，(2,4)，(3,6)，共3个，故方程组只有一个解的概率为＝.6.若空间向量满足，则在方向上投影的最大值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，设向量的夹角为，所以，可得，解得，所以在方向上的投影为，当且仅当时，即时，等号成立，所以在方向上的投影的最大值为．故选：C.7.过点与圆相切的两条直线的夹角为，则点到原点距离的最小值为（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】圆，设圆心，圆的半径为，因为过点与圆相切的两条直线的夹角为，则，所以，又因为，所以，则，设点，可得，化简可得，设，则点到原点距离，当时，点到原点距离最小值为，故选：B.8.已知是长方体外接球的一条直径，点在长方体表面上运动，长方体的棱长分别是1，1，，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据题意，以D为坐标原点，为x轴正方向，为y轴正方向，为z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图示.设长方体外接球球心为O，则DB1为外接球的一条直径，设O为DB1中点，不妨设M与D重合，N与B1重合.则外接球的直径长为，所以半径r=1；所以.由P在长方体表面上运动，所以，即所以，即故选：B二.多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.洛阳市某中学高二某班有45人，其中男生、女生的人数及其团员人数如下表所示．记事件A:“在班级里随机选一人，选到男生”事件B:“在班级里随机选一人，选到团员”下列说法正确的是（）团员非团员合计男生16925女生14620合计301545A.事件A的对立事件为：“在班级里随机选一人，选到女生”B.事件A与事件B互斥C.D.事件A与事件B相互独立【答案】AC【解析】对于A，由于事件A不发生当且仅当选到的不是男生，故其对立事件正是“在班级里随机选一人，选到女生”，故A正确；对于B，由于存在既是团员也是男生的人，故事件A与事件B可能同时发生，从而不是互斥事件，故B错误；对于C，直接计算即得，，故C正确；对于D，由于，从而事件A与事件B不相互独立，故D错误.故选：AC.10.下列说法错误的是（）A.是直线与直线互相垂直的充要条件B.经过点且在坐标轴上的截距都相等的直线方程是C.直线倾斜角的取值范围是D.曲线与曲线，恰有四条公切线，则实数的取值范围为【答案】ABD【解析】对于，当，两直线方程分别为和，此时两直线平行，并不垂直，故错误；对于，若直线过原点，则直线方程为，此时也满足条件，故错误；对于，直线的斜率，则，即，则，故正确；对于，方程可化为，故曲线

表示圆心为，半径

的圆，方程可化为，因为圆

与曲线

有四条公切线，所以曲线也为圆，且圆心为

，半径

同时两圆的位置关系为外离，有

，即

，解得，故错误.故选：.11.在平面直角坐标系中，曲线是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（）A.曲线围成的图形有4条对称轴B.曲线围成的图形的周长是C.曲线上任意两点间的距离最大值是D.若是曲线上任意一点，则的最小值是【答案】ACD【解析】当时，曲线的方程可化为，当时，曲线的方程可化为，当时，曲线的方程可化为，当时，曲线的方程可化为，所以曲线的图象如图所示，对于A，由图可知曲线围成的图形有4条对称轴，故A正确；对于B，曲线由4个半圆组成，其周长为，故B错误；对于C，由图可知曲线上任意两点间的最大距离为，故C正确；对于D，到直线的距离，点到直线的距离为，由圆的性质得曲线上一点到直线的距离最小为，所以的最小值为，故D正确.故选：ACD.三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知事件和事件互斥，若且，则_____________.【答案】或【解析】因为随机事件A和B互斥，且，所以，而，所以.故答案为：.13.直线恒过定点，则直线关于点对称的直线方程为_________．【答案】【解析】由得：，当时，，；设直线关于点对称的直线方程为，，解得：或（舍），直线关于点对称的直线方程为.故答案为：.14.在四面体中，Q为的重心，分别为侧棱PA，PB，PC上的点，若，，，PQ与平面EFG交于点D，则______.【答案】【解析】连接如图，设中点为，，连接，由共面可知，与平面的交点即与的交点.因为，，，设，则，设，则，故，故，解得，代入可得，即.由重心性质可得，设，又，则，故，解得.故，故.故答案为：.四.解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知直线：，：，其中为实数.（1）当时，求直线，之间的距离；（2）当时，求过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程.解：（1）由得，解得，此时直线：，：，不重合，则直线，之间的距离为；（2）当时，：，联立，解得，又直线斜率为，故过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程为，即.16.已知向量，，若向量同时满足下列三个条件：①；②；③与垂直（1）求向量的坐标；（2）若向量与向量共线，求向量与夹角的余弦值.解：（1）设，则由题可知解得或所以或.（2）因为向量与向量共线，所以.又，，所以，，所以，且，，所以与夹角的余弦值为.17.在直角梯形ABCD中，，，，如图①把沿BD翻折，使得平面平面（如图②）.（1）求证：；（2）若点M为线段BC的中点，求点M到平面ACD的距离；（3）在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成的角为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．（1）证明：过作，垂足为，因为，，，所以，所以，，即，所以.因为平面平面，平面平面，且平面，所以平面，又因为平面，所以.（2）以点D为原点，DB所在的直线为x轴，DC所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系，如图，由已知可得，，，，，所以，，，设平面ACD的法向量为，则，即，令，可得，所以点M到平面ACD的距离为.（3）假设在线段BC上存在点N，使得AN与平面ACD所成角为，设，，因为，则，即，所以,又因为平面ACD的一个法向量为，且直线AN与平面ACD所成的角为，所以,整理得，解得或（舍去）综上所述，在线段BC上存在点N，使AN与平面ACD所成角为，此时.18.已知圆C过，，且圆心C在x轴上.（1）求圆C的周长；（2）若直线过点，且被圆C截得的弦长为，求直线的方程；（3）过点C且不与x轴重合的直线与圆C相交于M，N，O为坐标原点，直线，分别与直线相交于P，Q，记的面积为，的面积为，求的最大值.解：（1）由圆心C在x轴上，设圆的方程为，又圆C过，得，解得，，所以圆的方程为，其周长为.（2）因为直线与圆C截得的弦长为，所以圆心C到直线的距离为，

①若直线的斜率不存在时，直线与圆C交点为，直线与圆C截得的弦长为，故直线符合题意；②若直线斜率存在时，设，整理得，所以圆心C到直线的距离为，解得，则直线，即直线，综上所述，直线的方程为或；（3）因为原点在圆上，直线过圆心，且与轴所在直线不重合，，设直线的斜率为，则直线的方程为，

由，得，解得或，则点的坐标为，又直线的斜率为，则直线的方程为，由，得，解得或，则点的坐标为，由题可知：，，故，又因为，，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为.19.近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐．传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的权利，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率．假设最终进入到半决赛有四支队伍，淘汰赛制下会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入到总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军．双败赛制下，两两分组，胜者进入到胜者组，败者进入到败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入到总决赛，败者进入到败者组．之前进入到败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军．双败赛制下会发现一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其它的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？这里我们简单研究一下两个赛制．假设四支队伍分别为，其中对阵其他三个队伍获胜概率均为，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜概率均为．最初分组时同组，同组．（1）若，在淘汰赛赛制下，获得冠军概率分别为多少？（2）分别计算两种赛制下获得冠军的概率（用表示），并据此简单分析一下双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”?解：（1）获得冠军：组获胜，再由与组胜者决赛并胜出，获得冠军的概率为，获得冠军：组获胜，再由与组胜者决赛并胜出，获得冠军的概率为.（2）淘汰赛赛制下，获得冠军的概率为，“双败赛制”赛制下，讨论A进入胜者组、败者组两种情况，当A进入胜者组，若在胜者组A失败，后两局都胜，方可得冠军；若在胜者组A胜利，后一局（与败者组胜者比赛）胜，方可得冠军；当A进入败者组，后三局都胜，方可得冠军；综上，获得冠军的概率.令，若为强队，则，故，所以，双败赛制下对强者更有利.福建省厦泉四地五校2025-2026学年高二上学期11月期中联考数学试题一、单项选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由直线方程知直线的斜率为，因此倾斜角为．故选：A．2.若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7【答案】B【解析】设事件A为不用现金支付，则.故选：B.3.已知点，，则以线段为直径的圆的方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为为直径，所以圆心为，半径，所以圆的方程为.故选：C.4.已知平面外的直线的方向向量是，平面的法向量是，则与的位置关系是（）A. B. C.与相交但不垂直 D.或【答案】B【解析】因为，所以，所以或，由于，所以.故选：B.5.把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，记第一次出现的点数为，第二次出现的点数为，则方程组只有一个解的概率为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】点(a，b)取值的集合共有6×6＝36个元素．方程组只有一个解等价于直线ax＋by＝3与x＋2y＝2相交，即≠，即b≠2a，而满足b＝2a的点只有(1,2)，(2,4)，(3,6)，共3个，故方程组只有一个解的概率为＝.6.若空间向量满足，则在方向上投影的最大值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，设向量的夹角为，所以，可得，解得，所以在方向上的投影为，当且仅当时，即时，等号成立，所以在方向上的投影的最大值为．故选：C.7.过点与圆相切的两条直线的夹角为，则点到原点距离的最小值为（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】圆，设圆心，圆的半径为，因为过点与圆相切的两条直线的夹角为，则，所以，又因为，所以，则，设点，可得，化简可得，设，则点到原点距离，当时，点到原点距离最小值为，故选：B.8.已知是长方体外接球的一条直径，点在长方体表面上运动，长方体的棱长分别是1，1，，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据题意，以D为坐标原点，为x轴正方向，为y轴正方向，为z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图示.设长方体外接球球心为O，则DB1为外接球的一条直径，设O为DB1中点，不妨设M与D重合，N与B1重合.则外接球的直径长为，所以半径r=1；所以.由P在长方体表面上运动，所以，即所以，即故选：B二.多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.洛阳市某中学高二某班有45人，其中男生、女生的人数及其团员人数如下表所示．记事件A:“在班级里随机选一人，选到男生”事件B:“在班级里随机选一人，选到团员”下列说法正确的是（）团员非团员合计男生16925女生14620合计301545A.事件A的对立事件为：“在班级里随机选一人，选到女生”B.事件A与事件B互斥C.D.事件A与事件B相互独立【答案】AC【解析】对于A，由于事件A不发生当且仅当选到的不是男生，故其对立事件正是“在班级里随机选一人，选到女生”，故A正确；对于B，由于存在既是团员也是男生的人，故事件A与事件B可能同时发生，从而不是互斥事件，故B错误；对于C，直接计算即得，，故C正确；对于D，由于，从而事件A与事件B不相互独立，故D错误.故选：AC.10.下列说法错误的是（）A.是直线与直线互相垂直的充要条件B.经过点且在坐标轴上的截距都相等的直线方程是C.直线倾斜角的取值范围是D.曲线与曲线，恰有四条公切线，则实数的取值范围为【答案】ABD【解析】对于，当，两直线方程分别为和，此时两直线平行，并不垂直，故错误；对于，若直线过原点，则直线方程为，此时也满足条件，故错误；对于，直线的斜率，则，即，则，故正确；对于，方程可化为，故曲线

表示圆心为，半径

的圆，方程可化为，因为圆

与曲线

有四条公切线，所以曲线也为圆，且圆心为

，半径

同时两圆的位置关系为外离，有

，即

，解得，故错误.故选：.11.在平面直角坐标系中，曲线是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（）A.曲线围成的图形有4条对称轴B.曲线围成的图形的周长是C.曲线上任意两点间的距离最大值是D.若是曲线上任意一点，则的最小值是【答案】ACD【解析】当时，曲线的方程可化为，当时，曲线的方程可化为，当时，曲线的方程可化为，当时，曲线的方程可化为，所以曲线的图象如图所示，对于A，由图可知曲线围成的图形有4条对称轴，故A正确；对于B，曲线由4个半圆组成，其周长为，故B错误；对于C，由图可知曲线上任意两点间的最大距离为，故C正确；对于D，到直线的距离，点到直线的距离为，由圆的性质得曲线上一点到直线的距离最小为，所以的最小值为，故D正确.故选：ACD.三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知事件和事件互斥，若且，则_____________.【答案】或【解析】因为随机事件A和B互斥，且，所以，而，所以.故答案为：.13.直线恒过定点，则直线关于点对称的直线方程为_________．【答案】【解析】由得：，当时，，；设直线关于点对称的直线方程为，，解得：或（舍），直线关于点对称的直线方程为.故答案为：.14.在四面体中，Q为的重心，分别为侧棱PA，PB，PC上的点，若，，，PQ与平面EFG交于点D，则______.【答案】【解析】连接如图，设中点为，，连接，由共面可知，与平面的交点即与的交点.因为，，，设，则，设，则，故，故，解得，代入可得，即.由重心性质可得，设，又，则，故，解得.故，故.故答案为：.四.解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知直线：，：，其中为实数.（1）当时，求直线，之间的距离；（2）当时，求过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程.解：（1）由得，解得，此时直线：，：，不重合，则直线，之间的距离为；（2）当时，：，联立，解得，又直线斜率为，故过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程为，即.16.已知向量，，若向量同时满足下列三个条件：①；②；③与垂直（1）求向量的坐标；（2）若向量与向量共线，求向量与夹角的余弦值.解：（1）设，则由题可知解得或所以或.（2）因为向量与向量共线，所以.又，，所以，，所以，且，，所以与夹角的余弦值为.17.在直角梯形ABCD中，，，，如图①把沿BD翻折，使得平面平面（如图②）.（1）求证：；（2）若点M为线段BC的中点，求点M到平面ACD的距离；（3）在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成的角为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．（1）证明：过作，垂足为，因为，，，所以，所以，，即，所以.因为平面平面，平面平面，且平面，所以平面，又因为平面，所以.（2）以点D为原点，DB所在的直线为x轴，DC所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系，如图，由已知可得，，，，，所以，，，设平面ACD的法向量为，则，即，令，可得，所以点M到平面ACD的距离为.（3）假设在线段BC上存在点N，使得AN与平面ACD所成角为，设，，因为，则，即，所以,又因为平面ACD的一个法向量为，且直线AN与平面ACD所成的角为，所以,整理得，解得或（舍去）综上所述，在线段BC上存在点N，使AN与平面ACD所成角为，此时.18.已知圆C过，，且圆心C在x轴上.（1）求圆C的周长；（2）若直线过点，且被圆C截得的弦长为，求直线的方程；（3）过点C且不与x轴重合的直线与圆C相交于M，N，O为坐标原点，直线，分别与直线相交于P，Q，记的面积为，的面积为，求的最大值.解：（1）由圆心C在x轴上，设圆的方程为，又圆C过，得，解得，，所以圆的方程为，其周长为.（2）因为直线与圆C截得的弦长为，所以圆心C到直线的距离为，

①若直线的斜率不存在时，直线与圆C交点为，直线与圆C截得的弦长为，故直线符合题意；②若直线斜率存在时，设，整理得，所以圆心C到直线的距离为，解得，则直线，即直线，综上所述，直线的方程为或；（3）因为原点在圆上，直线过圆心