2025-2026学年广东省东莞市七校高二上学期联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省东莞市七校2025-2026学年高二上学期联考数学试题一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分．1.椭圆的焦点为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】椭圆方程为，即，可知，且焦点在x轴上，则，所以焦点坐标为.故选：C.2.若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】D【解析】对于A，由，得，则，解得，故A错误；对于B，由，得，则，解得，故B错误；对于C，由，得，则或，故C错误；对于D，由，得，则，故D正确.故选：D.3.若直线被圆C截得的弦长为，则（）A.±2 B. C.2 D.2【答案】A【解析】由题意可得圆的圆心为，半径，则圆心到直线的距离，又因为截得的弦长为，所以，化简得，解得.故选：A.4.如图，三棱锥中，，，点为的中点，记，，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】连接，因为点为的中点，所以即，.故选：C.5.如图，在正方体中，为的中点，在线段上，且，则与所成角的余弦值为（）A.1 B.0C. D.【答案】D【解析】根据题意，可以为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图：不妨设，则，，，.所以，.设直线与所成的角为，则.故选：D.6.已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】设点，由，得为线段中点，则点，而点在圆上，因此，即，所以点的轨迹方程为.故选：B.7.已知是椭圆的焦点，，分别是上第二、四象限上的点．若四边形为矩形，则的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如图：取椭圆的上顶点，因为存在，分别是上第二、四象限上的点，使得四边形为矩形，所以必有.即.所以.所以，又椭圆的离心率，所以.故选：D.8.数学家莱莫恩（Lemoine）在1867年发现并证明：过的三个顶点作它的外接圆的切线分别和边所在的直线相交于点，则三点在同一直线上.这条直线称为该三角形的“莱莫恩（Lemoine）线”.在平面直角坐标系中若某三角形三个顶点的坐标分别为，则该三角形的莱莫恩（Lemoine）线方程为（

）A. B.C. D.【答案】D【解析】的外接圆方程设为，，解得，外接圆方程为，即，故外接圆的圆心坐标为，故外接圆在处切线方程为，又，令得，，，在处切线方程为，又，令得，，则三角形的线的方程为，即.故选：D.二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．9.下列说法正确的是（）A.直线在轴上的截距为B.直线与平行，则它们之间的距离为C.经过定点的直线都可以用方程表示D.点关于直线的对称点是【答案】BD【解析】对于选项A：直线在轴上的截距为，故A错误；对于选项B：由两直线平行可得：，解得：或，若，直线与重合，不合题意若，直线与平行，符合题意，综上所述：，它们之间的距离为，故B正确；对于选项C：当经过的直线斜率不存在时，即方程为时，无法用方程来表示，故C错误；对于选项D：设关于直线的对称点为，则，解得：，即关于直线的对称点为，故D正确.故选：BD.10.已知圆，，下列结论正确的是（）A.若且两圆内切，则圆心的轨迹方程为B.若，则两圆有3条公切线C.若，则两圆的公共弦所在直线的方程为D.若，为圆的直径，为圆上的动点，则的最大值为【答案】AC【解析】A.，圆心，，圆心，，两圆内切，所以圆心间距离等于半径相减，所以，A选项正确.B.圆心间距离为，因为，两圆相交，故有2条公切线，B选项错误.C.，圆心间距离为，因为，两圆相交，两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，故C选项正确.D.,的最大值为，所以最大值为，故D选项错误.故选：AC.11.在棱长为2的正方体中，点P满足，则下列结论正确的是（）A.当时，B.当时，平面截正方体所得的截面的面积为C.若且，则当取得最小值时，D.若点P在以的中点O为球心，为半径的球面上，则点P的轨迹的长度为【答案】ABC【解析】以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，，.A选项，当时，，则线段上，根据正方体的性质可知，，所以到平面的距离等于到平面的距离，所以，则，所以A选项正确.B选项，当时，是的中点，设是的中点，连接，则，所以平面截正方体所得的截面为等腰梯形，，到的距离为，所以截面面积为，所以B选项正确.C选项，时，，设分别是的中点，连接，则在线段上，由于，所以是的中点，则，连接，将四边形与四边形展开成平面图形如下图所示，连接，交于，由图可知的最小值是，此时，对应，所以C选项正确.D选项，依题意，，则在正方形上，，设，连接，则，若点P在以的中点O为球心，为半径的球面上，则，，所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，长度，所以D选项错误.故选：ABC.二、填空题：共3小题，每小题5分，共15分．12.如图，线段在平面内，，且，则_____【答案】【解析】连接，如图，在中，根据余弦定理有：，因为，所以，所以.故答案为：.13.已知实数满足，则的最小值为________.【答案】【解析】，，则表示：直线上点到点和的距离之和的最小值，如图所示：设点关于直线的对称点为，得，解得，得，则，等号成立时，三点共线，故答案为：.14.如图，“爱心”图案由函数的图像的一部分及其关于直线的对称图形组成，点是该图案上一动点，是其图象上点关于直线的对称点，连接，则的最大值为_______．【答案】【解析】由对称性可知，求的最大值，转化为该图案上的点到直线距离的最大值的2倍，由对称性不妨设点为图案上上方的点，联立与，得，解得：，所以图案在上方的点的正坐标为，设图案在上方的点，，则点到直线的距离为，当时，取得最大值，所以的最大值为.故答案为：.四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在棱长为2的正方体中，分别是平面，平面的中心．（1）求证：四点共面；（2）求的体积．（1）证明：在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，因此，即，即，所以四点共面.（2）解：正方体的对角面为矩形，且，由（1）知，，，设平面的法向量，则，令，得，因此点F到平面的距离所以的体积是.16.已知圆，直线（1）求证：直线恒过定点；（2）当圆心到直线的距离取得最大值时，求的值；（3）当时，为上一动点，过作圆的两条切线，切点分别为．求四边形面积的最小值．（1）证明：由得由，得.所以直线恒过定点.（2）解：由（1）知，当时，圆心到直线的距离取得最大值，易知圆心为.因为，所以，即.解得.（3）解：当时，直线的方程为，故可设.圆的半径，.圆心到直线的距离.所以，所以.即四边形面积的最小值为.17.已知双曲线过点，左右焦点分别为．（1）求双曲线的方程；（2）过双曲线右焦点作斜率为1的直线l，l与双曲线交于A，B两点，求；（3）若是坐标原点，M，N是双曲线上不同的两点，且直线MN的斜率为常数，线段MN的中点为Q，求直线OQ的斜率．解：（1）根据题意可得，，所以，故双曲线C的方程为.（2）直线的方程为，设，由得，，所以．（3）设，则，则两式相减得．设，则所以，即，所以，所以直线OP的斜率.18.已知两个非零向量，在空间任取一点O，作，则叫做向量与的夹角，记作．定义与的“向量积”为：是一个与、都垂直的向量，且它的模．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，为线段AD上一点．（1）求；（2）若为线段的中点，求二面角的正弦值；（3）线段上是否存在一点，使得，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．解：（1）因为底面为矩形，所以，，又底面，底面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，因为，所以为直线与所成角，即，在直角中，.所以，.（2）因为且为矩形，所以可如图建立空间直角坐标系，则，，设平面的法向量，则，令，得所以，因为所以平面的法向量可取，设二面角的平面角为，则，所以，所以，所以二面角的正弦值为．（3）依题意，，，又，所以，，设，，则，所以，由，得，所以，，由（1）知，又因，所以，所以线段上存在点，使得，此时．19.已知椭圆．（1）结合椭圆的定义以及椭圆与圆的关系，猜想椭圆上的所有点到某个焦点的平均距离和椭圆的面积；（不需证明）（2）已知，请利用（1）的猜想解答下面问题．①求椭圆的方程；②为坐标原点，设点，过右焦点作的垂线交椭圆于两点．求面积的最大值．解：（1）（1）根据椭圆的定义和椭圆与圆的关系（当椭圆退化为圆时，，焦点即为圆心），可以猜想：椭圆上所有点到某个焦点的平均距离

等于半长轴

，即

.椭圆的面积

为

.（2）（2）①由（1）知，，所以所以椭圆的标准方程为．②因为，，所以，因为，所以，故直线的方程为，即，联立并整理得，设，则，所以，所以的面积，令，则，，当且仅当，即时取等号，所以面积的最大值为．广东省东莞市七校2025-2026学年高二上学期联考数学试题一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分．1.椭圆的焦点为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】椭圆方程为，即，可知，且焦点在x轴上，则，所以焦点坐标为.故选：C.2.若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】D【解析】对于A，由，得，则，解得，故A错误；对于B，由，得，则，解得，故B错误；对于C，由，得，则或，故C错误；对于D，由，得，则，故D正确.故选：D.3.若直线被圆C截得的弦长为，则（）A.±2 B. C.2 D.2【答案】A【解析】由题意可得圆的圆心为，半径，则圆心到直线的距离，又因为截得的弦长为，所以，化简得，解得.故选：A.4.如图，三棱锥中，，，点为的中点，记，，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】连接，因为点为的中点，所以即，.故选：C.5.如图，在正方体中，为的中点，在线段上，且，则与所成角的余弦值为（）A.1 B.0C. D.【答案】D【解析】根据题意，可以为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图：不妨设，则，，，.所以，.设直线与所成的角为，则.故选：D.6.已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】设点，由，得为线段中点，则点，而点在圆上，因此，即，所以点的轨迹方程为.故选：B.7.已知是椭圆的焦点，，分别是上第二、四象限上的点．若四边形为矩形，则的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如图：取椭圆的上顶点，因为存在，分别是上第二、四象限上的点，使得四边形为矩形，所以必有.即.所以.所以，又椭圆的离心率，所以.故选：D.8.数学家莱莫恩（Lemoine）在1867年发现并证明：过的三个顶点作它的外接圆的切线分别和边所在的直线相交于点，则三点在同一直线上.这条直线称为该三角形的“莱莫恩（Lemoine）线”.在平面直角坐标系中若某三角形三个顶点的坐标分别为，则该三角形的莱莫恩（Lemoine）线方程为（

）A. B.C. D.【答案】D【解析】的外接圆方程设为，，解得，外接圆方程为，即，故外接圆的圆心坐标为，故外接圆在处切线方程为，又，令得，，，在处切线方程为，又，令得，，则三角形的线的方程为，即.故选：D.二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．9.下列说法正确的是（）A.直线在轴上的截距为B.直线与平行，则它们之间的距离为C.经过定点的直线都可以用方程表示D.点关于直线的对称点是【答案】BD【解析】对于选项A：直线在轴上的截距为，故A错误；对于选项B：由两直线平行可得：，解得：或，若，直线与重合，不合题意若，直线与平行，符合题意，综上所述：，它们之间的距离为，故B正确；对于选项C：当经过的直线斜率不存在时，即方程为时，无法用方程来表示，故C错误；对于选项D：设关于直线的对称点为，则，解得：，即关于直线的对称点为，故D正确.故选：BD.10.已知圆，，下列结论正确的是（）A.若且两圆内切，则圆心的轨迹方程为B.若，则两圆有3条公切线C.若，则两圆的公共弦所在直线的方程为D.若，为圆的直径，为圆上的动点，则的最大值为【答案】AC【解析】A.，圆心，，圆心，，两圆内切，所以圆心间距离等于半径相减，所以，A选项正确.B.圆心间距离为，因为，两圆相交，故有2条公切线，B选项错误.C.，圆心间距离为，因为，两圆相交，两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，故C选项正确.D.,的最大值为，所以最大值为，故D选项错误.故选：AC.11.在棱长为2的正方体中，点P满足，则下列结论正确的是（）A.当时，B.当时，平面截正方体所得的截面的面积为C.若且，则当取得最小值时，D.若点P在以的中点O为球心，为半径的球面上，则点P的轨迹的长度为【答案】ABC【解析】以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，，.A选项，当时，，则线段上，根据正方体的性质可知，，所以到平面的距离等于到平面的距离，所以，则，所以A选项正确.B选项，当时，是的中点，设是的中点，连接，则，所以平面截正方体所得的截面为等腰梯形，，到的距离为，所以截面面积为，所以B选项正确.C选项，时，，设分别是的中点，连接，则在线段上，由于，所以是的中点，则，连接，将四边形与四边形展开成平面图形如下图所示，连接，交于，由图可知的最小值是，此时，对应，所以C选项正确.D选项，依题意，，则在正方形上，，设，连接，则，若点P在以的中点O为球心，为半径的球面上，则，，所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，长度，所以D选项错误.故选：ABC.二、填空题：共3小题，每小题5分，共15分．12.如图，线段在平面内，，且，则_____【答案】【解析】连接，如图，在中，根据余弦定理有：，因为，所以，所以.故答案为：.13.已知实数满足，则的最小值为________.【答案】【解析】，，则表示：直线上点到点和的距离之和的最小值，如图所示：设点关于直线的对称点为，得，解得，得，则，等号成立时，三点共线，故答案为：.14.如图，“爱心”图案由函数的图像的一部分及其关于直线的对称图形组成，点是该图案上一动点，是其图象上点关于直线的对称点，连接，则的最大值为_______．【答案】【解析】由对称性可知，求的最大值，转化为该图案上的点到直线距离的最大值的2倍，由对称性不妨设点为图案上上方的点，联立与，得，解得：，所以图案在上方的点的正坐标为，设图案在上方的点，，则点到直线的距离为，当时，取得最大值，所以的最大值为.故答案为：.四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在棱长为2的正方体中，分别是平面，平面的中心．（1）求证：四点共面；（2）求的体积．（1）证明：在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，因此，即，即，所以四点共面.（2）解：正方体的对角面为矩形，且，由（1）知，，，设平面的法向量，则，令，得，因此点F到平面的距离所以的体积是.16.已知圆，直线（1）求证：直线恒过定点；（2）当圆心到直线的距离取得最大值时，求的值；（3）当时，为上一动点，过作圆的两条切线，切点分别为．求四边形面积的最小值．（1）证明：由得由，得.所以直线恒过定点.（2）解：由（1）知，当时，圆心到直线的距离取得最大值，易知圆心为.因为，所以，即.解得.（3）解：当时，直线的方程为，故可设.圆的半径，.圆心到直线的距离.所以，所以.即四边形面积的最小值为.17.已知双曲线过点，左右焦点分别为．（1）求双曲线的方程；（2）过双曲线右焦点作斜率为1的直线l，l与双曲线交于A，B两点，求；（3）若是坐标原点，M，N是双曲线上不同的两点，且直线MN的斜率为常数，线段MN的中点为Q，求直线OQ的斜率．解：（1）根据题意可得，，所以，故双