2025-2026学年广东省东莞市七校高二上学期联考数学试题

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省东莞市七校2025-2026学年高二上学期联考数学试题一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分．1.椭圆的焦点为（）A. B. C. D.2.若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则3.若直线被圆C截得的弦长为，则（）A.±2 B. C.2 D.24.如图，三棱锥中，，，点为的中点，记，，，则（）A. B. C. D.5.如图，在正方体中，为的中点，在线段上，且，则与所成角的余弦值为（）A.1 B.0C. D.6.已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（）A. B.C. D.7.已知是椭圆的焦点，，分别是上第二、四象限上的点．若四边形为矩形，则的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.8.数学家莱莫恩（Lemoine）在1867年发现并证明：过的三个顶点作它的外接圆的切线分别和边所在的直线相交于点，则三点在同一直线上.这条直线称为该三角形的“莱莫恩（Lemoine）线”.在平面直角坐标系中若某三角形三个顶点的坐标分别为，则该三角形的莱莫恩（Lemoine）线方程为（

）A. B.C. D.二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．9.下列说法正确的是（）A.直线在轴上的截距为B.直线与平行，则它们之间的距离为C.经过定点的直线都可以用方程表示D.点关于直线的对称点是10.已知圆，，下列结论正确的是（）A.若且两圆内切，则圆心的轨迹方程为B.若，则两圆有3条公切线C.若，则两圆的公共弦所在直线的方程为D.若，为圆的直径，为圆上的动点，则的最大值为11.在棱长为2的正方体中，点P满足，则下列结论正确的是（）A.当时，B.当时，平面截正方体所得的截面的面积为C.若且，则当取得最小值时，D.若点P在以中点O为球心，为半径的球面上，则点P的轨迹的长度为二、填空题：共3小题，每小题5分，共15分．12.如图，线段在平面内，，且，则_____.13.已知实数满足，则的最小值为________.14.如图，“爱心”图案由函数的图像的一部分及其关于直线的对称图形组成，点是该图案上一动点，是其图象上点关于直线的对称点，连接，则的最大值为_______．四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在棱长为2的正方体中，分别是平面，平面的中心．（1）求证：四点共面；（2）求的体积．16已知圆，直线（1）求证：直线恒过定点；（2）当圆心到直线的距离取得最大值时，求的值；（3）当时，为上一动点，过作圆的两条切线，切点分别为．求四边形面积的最小值．17.已知双曲线过点，左右焦点分别．（1）求双曲线的方程；（2）过双曲线的右焦点作斜率为1的直线l，l与双曲线交于A，B两点，求；（3）若是坐标原点，M，N是双曲线上不同的两点，且直线MN的斜率为常数，线段MN的中点为Q，求直线OQ的斜率．18.已知两个非零向量，在空间任取一点O，作，则叫做向量与的夹角，记作．定义与的“向量积”为：是一个与、都垂直的向量，且它的模．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，为线段AD上一点．（1）求；（2）若为线段的中点，求二面角的正弦值；（3）线段上是否存在一点，使得，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．19已知椭圆．（1）结合椭圆的定义以及椭圆与圆的关系，猜想椭圆上的所有点到某个焦点的平均距离和椭圆的面积；（不需证明）（2）已知，请利用（1）的猜想解答下面问题．①求椭圆的方程；②为坐标原点，设点，过右焦点作的垂线交椭圆于两点．求面积的最大值．广东省东莞市七校2025-2026学年高二上学期联考数学试题一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分．1.椭圆的焦点为（）A. B. C. D.2.若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则3.若直线被圆C截得的弦长为，则（）A.±2 B. C.2 D.24.如图，三棱锥中，，，点为的中点，记，，，则（）A. B. C. D.5.如图，在正方体中，为的中点，在线段上，且，则与所成角的余弦值为（）A.1 B.0C. D.6.已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（）A. B.C. D.7.已知是椭圆的焦点，，分别是上第二、四象限上的点．若四边形为矩形，则的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.8.数学家莱莫恩（Lemoine）在1867年发现并证明：过的三个顶点作它的外接圆的切线分别和边所在的直线相交于点，则三点在同一直线上.这条直线称为该三角形的“莱莫恩（Lemoine）线”.在平面直角坐标系中若某三角形三个顶点的坐标分别为，则该三角形的莱莫恩（Lemoine）线方程为（

）A. B.C. D.二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．9.下列说法正确的是（）A.直线在轴上的截距为B.直线与平行，则它们之间的距离为C.经过定点的直线都可以用方程表示D.点关于直线的对称点是10.已知圆，，下列结论正确的是（）A.若且两圆内切，则圆心的轨迹方程为B.若，则两圆有3条公切线C.若，则两圆的公共弦所在直线的方程为D.若，为圆的直径，为圆上的动点，则的最大值为11.在棱长为2的正方体中，点P满足，则下列结论正确的是（）A.当时，B.当时，平面截正方体所得的截面的面积为C.若且，则当取得最小值时，D.若点P在以中点O为球心，为半径的球面上，则点P的轨迹的长度为二、填空题：共3小题，每小题5分，共15分．12.如图，线段在平面内，，且，则_____.13.已知实数满足，则的最小值为________.14.如图，“爱心”图案由函数的图像的一部分及其关于直线的对称图形组成，点是该图案上一动点，是其图象上点关于直线的对称点，连接，则的最大值为_______．四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在棱长为2的正方体中，分别是平面，平面的中心．（1）求证：四点共面；（2）求的体积．16已知圆，直线（1）求证：直线恒过定点；（2）当圆心到直线的距离取得最大值时，求的值；（3）当时，为上一动点，过作圆的两条切线，切点分别为．求四边形面积的最小值．17.已知双曲线过点，左右焦点分别．（1）求双曲线的方程；（2）过双曲线的右焦点作斜率为1的直线l，l与双曲线交于A，B两点，求；（3）若是坐标原点，M，N是双曲线上不同的两点，且直线MN的斜率为常数，线段MN的中点为Q，求直线OQ的斜率．18.已知两个非零向量，在空间任取一点O，作，则叫做向量与的夹角，记作．定义与的“向量积”为：是一个与、都垂直的向量，且它的模．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，为线段AD上一点．（1）求；（2）若为线段的中点，求二面角