2025-2026学年广东省六校高二上学期联合学业质量检测数学试题

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省六校2025-2026学年高二上学期联合学业质量检测数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（）A. B. C. D.2.圆与圆位置关系为（）A.内切 B.相交 C.外切 D.相离3.已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（）A. B.C. D.4.已知直线，互相平行，且之间的距离为，则（）A.或3 B.或4 C.或5 D.或25.设是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于A，B两点，若最大值为5，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.6.已知为正方形的中心，分别为的中点，若将正方形沿对角线翻折，使得二面角的大小为，则此时的值为（）A. B. C. D.7.已知直线与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最大值为（）A. B. C. D.8.如图，曲线是一条“双纽线”，其上的点满足：到点与到点的距离之积为4，则下列结论不正确的是（）A.点在曲线上B.点在上，则C.点在椭圆上，若，则D.过作轴的垂线交于两点，则二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.以下命题中，正确的有（）A.已知是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底B.对空间任意一点和不共线的三点，若，则四点共面C.直线的方向向量可以是D.直线与直线垂直，则10.若实数满足，则（）A. B. C. D.11.如图，正方体的棱长为2，点在侧面的边界及其内部运动.下列说法正确的是（）A.若点为线段上动点，当时，B.若点为线段上的动点，当时，点到平面的距离为C.若点为底面的中心，且，则面积的最大值为D.若，则点的轨迹的长度为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知直线与圆相交，则整数的一个取值可能是__________.13.双曲线的左、右焦点分别为是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2．是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为____________．14.画法几何创始人——法国数学家蒙日发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长、短半轴平方和的算术平方根，这个圆就称为椭圆的蒙日圆，其方程为.已知椭圆的离心率为，点，均在椭圆上，则动点与椭圆的蒙日圆上任意一点的距离最小值为________（用含的式子表示）；若，椭圆的蒙日圆上存在点满足，则的取值范围为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.已知等腰三角形的一个顶点为，底边的一个端点为.（1）求的中垂线的一般方程；（2）求底边的另一个端点的轨迹.16.如图所示，平行六面体中，，分别在和上，，.（1）求证：四边形为平行四边形；（2）若底面为正方形，且，，，与相交于点，求点到直线的距离.17.已知双曲线的一条渐近线为，其虚轴长为为双曲线上任意一点．（1）求双曲线的方程；（2）求证：到两条渐近线的距离之积为定值，并求出此定值；（3）若双曲线的左顶点为，右焦点为，求的最小值．18.如图，在三棱锥中，平面平面，，.（1）证明：；（2）若点，，，都在半径为的球的表面上.（i）求；（ii）求平面与平面夹角的余弦值.19.我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妹”圆锥曲线.已知双曲线与椭圆是“姊妹”圆锥曲线，分别为和的离心率，.（1）求椭圆方程；（2）试确定的取值范围，使得椭圆上有两个不同的点关于直线对称；（3）若，是椭圆上的两动点（两点不关于轴对称），为坐标原点，的斜率分别为，问是否存在非零常数，使得时，的面积为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.广东省六校2025-2026学年高二上学期联合学业质量检测数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（）A. B. C. D.2.圆与圆位置关系为（）A.内切 B.相交 C.外切 D.相离3.已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（）A. B.C. D.4.已知直线，互相平行，且之间的距离为，则（）A.或3 B.或4 C.或5 D.或25.设是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于A，B两点，若最大值为5，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.6.已知为正方形的中心，分别为的中点，若将正方形沿对角线翻折，使得二面角的大小为，则此时的值为（）A. B. C. D.7.已知直线与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最大值为（）A. B. C. D.8.如图，曲线是一条“双纽线”，其上的点满足：到点与到点的距离之积为4，则下列结论不正确的是（）A.点在曲线上B.点在上，则C.点在椭圆上，若，则D.过作轴的垂线交于两点，则二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.以下命题中，正确的有（）A.已知是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底B.对空间任意一点和不共线的三点，若，则四点共面C.直线的方向向量可以是D.直线与直线垂直，则10.若实数满足，则（）A. B. C. D.11.如图，正方体的棱长为2，点在侧面的边界及其内部运动.下列说法正确的是（）A.若点为线段上动点，当时，B.若点为线段上的动点，当时，点到平面的距离为C.若点为底面的中心，且，则面积的最大值为D.若，则点的轨迹的长度为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知直线与圆相交，则整数的一个取值可能是__________.13.双曲线的左、右焦点分别为是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2．是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为____________．14.画法几何创始人——法国数学家蒙日发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长、短半轴平方和的算术平方根，这个圆就称为椭圆的蒙日圆，其方程为.已知椭圆的离心率为，点，均在椭圆上，则动点与椭圆的蒙日圆上任意一点的距离最小值为________（用含的式子表示）；若，椭圆的蒙日圆上存在点满足，则的取值范围为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.已知等腰三角形的一个顶点为，底边的一个端点为.（1）求的中垂线的一般方程；（2）求底边的另一个端点的轨迹.16.如图所示，平行六面体中，，分别在和上，，.（1）求证：四边形为平行四边形；（2）若底面为正方形，且，，，与相交于点，求点到直线的距离.17.已知双曲线的一条渐近线为，其虚轴长为为双曲线上任意一点．（1）求双曲线的方程；（2）求证：到两条渐近线的距离之积为定值，并求出此定值；（3）若双曲线的左顶点为，右焦点为，求的最小值．18.如图，在三棱锥中，平面平面，，.（1）证明：；（2）若点，，，都在半径为的球的表面上.（i）求；（ii）求平面与平面夹角的余弦值.19.我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一